Feuille d'entraînement : Instruments d'optique

Corrigés

1. Exercice 1ENS Physique-Chimie L PC 2022, Q13

   L'utilisation d'un télescope de grand diamètre D présente deux intérêts physiques majeurs :

   1. Augmentation du pouvoir collecteur (luminosité) : La surface collectrice du miroir primaire est proportionnelle au carré de son diamètre :

      S = \frac{\pi D^2}{4}

      Le flux lumineux collecté en provenance d'un objet céleste lointain est donc proportionnel à D^2. Un diamètre plus grand permet de capter des flux très faibles, rendant ainsi observables des objets très peu lumineux (étoiles de magnitude élevée, galaxies lointaines) ou de diminuer les temps d'exposition nécessaires pour un rapport signal sur bruit donné.

   2. Amélioration du pouvoir de résolution angulaire (séparation) : L'image d'un point à l'infini à travers une pupille circulaire de diamètre D est limitée par la diffraction sous la forme d'une tache d'Airy dont le demi-angle d'ouverture est donné par le critère de Rayleigh :

      \theta_{\min} \simeq 1{,}22\,\frac{\lambda}{D}

      Augmenter le diamètre D diminue la diffraction et permet ainsi de séparer des sources angulairement très proches ou de distinguer des détails plus fins de l'objet observé.

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2CentraleSupélec Physique 2 PC 2021, Q1

   Pour un œil standard (emmétrope), une observation sans fatigue, dite « sans accommodation », s'effectue lorsque le système optique renvoie l'image finale à l'infini (au punctum remotum de l'œil).

   L'image intermédiaire A_1B_1, conjuguée de l'objet AB par l'objectif, joue le rôle d'objet pour l'oculaire. Pour qu'une lentille mince donne d'un objet une image située à l'infini, cet objet doit être placé dans son plan focal objet.

   L'image intermédiaire donnée par l'objectif doit donc se former dans le plan focal objet de l'oculaire (le point A_1 étant situé au foyer principal objet F_2 de l'oculaire) :

   \boxed{A_1 \text{ est confondu avec le foyer objet } F_2 \text{ de l'oculaire.}}

   Résultat

   $$A_1\text{ est confondu avec le foyer objet }{F}_2\text{ de l’oculaire.}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3CentraleSupélec Physique 2 PC 2021, Q2

   L'objet AB est placé perpendiculairement à l'axe optique, en avant du foyer principal objet F_1 de l'objectif L_1.

   1. Construction de l'image intermédiaire A_1B_1 par l'objectif L_1 : Pour déterminer la position du point image B_1, on trace deux rayons issus de B :

   • le rayon passant par le centre optique O_1, qui n'est pas dévié ;
   • le rayon parallèle à l'axe optique, qui émerge de L_1 en passant par le foyer principal image F'_1.

   Ces deux rayons se coupent en B_1. Le point A_1 étant le projeté orthogonal de B_1 sur l'axe optique, il est confondu avec le foyer principal objet de l'oculaire :

   A_1 = F_2

   L'image intermédiaire A_1B_1 est réelle, inversée et fortement agrandie.

   2. Construction de l'image définitive à travers l'oculaire L_2 : Le point B_1 appartenant au plan focal objet de L_2, l'oculaire en donne une image à l'infini :

   • les deux rayons précédemment tracés se propagent au-delà de B_1 et rencontrent la lentille L_2 ;
   • ils émergent de L_2 parallèlement entre eux, inclinés d'un angle \alpha' par rapport à l'axe optique, parallèlement au rayon fictif non dévié passant par B_1 et le centre optique O_2.

   L'image finale A'B' est donc rejetée à l'infini :

   \boxed{AB \xrightarrow{L_1} A_1 B_1 \text{ (dans le plan focal objet de } L_2) \xrightarrow{L_2} A_\infty B_\infty \text{ (à l'infini)}}

   Résultat

   $$AB\stackrel{L_1}{\to }{A}_1{B}_1\text{ (dans le plan focal objet de }{L}_2)\stackrel{L_2}{\to }{A}_{\infty }{B}_{\infty }\text{ (aˋ l’infini)}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4CentraleSupélec Physique 2 PC 2021, Q22

   Lors du balayage de l'échantillon dans le plan focal (z = 0), une molécule fluorescente quasi-ponctuelle sonde l'intensité du faisceau laser d'excitation. Le signal de fluorescence détecté est proportionnel à l'intensité locale I(r, 0) reçue par la molécule :

   I(r, 0) = I_0 \exp\left(-2\frac{r^2}{\omega_r^2}\right)

   Le profil de coups détectés représenté sur la figure 3 correspond donc au profil gaussien d'intensité du faisceau laser au point de focalisation.

   1. Évaluation de l'ouverture numérique :

   Le maximum du profil atteint environ 250\text{ coups}. La demi-hauteur correspond à I \approx 125\text{ coups} (niveau repéré par la graduation 128). On lit sur l'axe des abscisses les positions pour lesquelles le signal vaut la moitié de son maximum :

   x_1 \approx 0{,}68\ \mu\text{m} \quad \text{et} \quad x_2 \approx 1{,}08\ \mu\text{m}

   La largeur à mi-hauteur (FWHM) vaut ainsi :

   \Delta x_{1/2} = x_2 - x_1 \approx 0{,}40\ \mu\text{m}

   Pour un profil de la forme I(r) = I_0 \exp\left(-2 r^2/\omega_r^2\right), la largeur à mi-hauteur est reliée à \omega_r par :

   \begin{aligned} \exp\left(-2\frac{(\Delta x_{1/2}/2)^2}{\omega_r^2}\right) = \frac{1}{2} &\implies \frac{\Delta x_{1/2}^2}{2\omega_r^2} = \ln 2 \\ &\implies \Delta x_{1/2} = \omega_r \sqrt{2\ln 2} \approx 1{,}18\,\omega_r \end{aligned}

   On en déduit le rayon du col :

   \omega_r = \frac{\Delta x_{1/2}}{\sqrt{2\ln 2}} \approx \frac{0{,}40\ \mu\text{m}}{1{,}18} \approx 0{,}34\ \mu\text{m} = 340\text{ nm}

   D'après la formule donnée dans le préambule de la sous-partie I.E, \omega_r = 0{,}5\,\frac{\lambda}{\sin\theta} = 0{,}5\,\frac{\lambda}{\mathrm{ON}}. L'ouverture numérique s'exprime donc par :

   \begin{aligned} \mathrm{ON} = \sin\theta = 0{,}5\,\frac{\lambda}{\omega_r} \end{aligned}

   Avec \lambda = 532\text{ nm} = 0{,}532\ \mu\text{m} :

   \mathrm{ON} \approx 0{,}5 \times \frac{0{,}532\ \mu\text{m}}{0{,}34\ \mu\text{m}} \approx 0{,}78

   Compte tenu des incertitudes de lecture graphique sur la figure 3 :

   \boxed{\mathrm{ON} \approx 0{,}8}

   (une valeur comprise entre 0{,}7 et 0{,}85 est tout à fait acceptable).

   2. Intérêt d'une ouverture numérique élevée :

   L'utilisation d'un objectif de grande ouverture numérique est primordiale pour deux raisons principales :

   • Efficacité de collecte des photons : La fluorescence d'une molécule individuelle est émise de manière quasi-isotrope dans tout l'espace (4\pi\text{ sr}). L'objectif ne collecte la lumière que dans le cône d'angle au sommet 2\theta, correspondant à un angle solide \Omega = 2\pi(1-\cos\theta). Une valeur élevée de \mathrm{ON} = \sin\theta maximise l'angle solide de collecte, ce qui augmente directement l'efficacité de détection \eta_D et permet de capter un nombre suffisant de photons par molécule.
   • Résolution spatiale et réjection du bruit de fond : La dimension de la tache focale \omega_r \propto 1/\mathrm{ON} diminue quand \mathrm{ON} augmente. D'une part, cela améliore la résolution spatiale (limite de diffraction) en évitant d'illuminer plusieurs fluorophores simultanément. D'autre part, cela réduit le volume focal excité V, limitant ainsi la diffusion parasite du substrat S_d \propto V et augmentant considérablement le rapport signal sur bruit.

   Résultat

   $$\mathrm{ON}\approx 0,8$$

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5. Exercice 5Mines-Ponts Physique 1 PC 2021, Q22

   Pour former une image finale A_2 B_2 rejetée à l'infini à travers l'oculaire convergent L_2, l'image intermédiaire A_1 B_1 doit se situer dans le plan focal objet de L_2. Le point A_1 est donc confondu avec le foyer objet F_2 (A_1 = F_2).

   La construction des rayons lumineux issus du point objet B s'effectue en deux étapes :

   • À travers l'objectif L_1 :

     • Le rayon incident issu de B et passant par le centre optique O_1 n'est pas dévié.
     • Le rayon incident issu de B et parallèle à l'axe optique émerge de L_1 en passant par le foyer image F'_1.
     • L'intersection de ces deux rayons définit la position de l'image intermédiaire B_1, qui est réelle et renversée.

   • À travers l'oculaire L_2 :

     • Le rayon passant par B_1 et le centre optique O_2 traverse L_2 sans déviation.
     • Tous les autres rayons issus de B_1 (notamment ceux provenant de L_1) émergent de L_2 parallèlement à cette direction B_1 O_2. Le faisceau émergeant est constitué de rayons parallèles entre eux, formant une image à l'infini vue sous le diamètre apparent \alpha'.

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6ENS Physique C PC 2020, Q26

   Par définition, un angle d'une seconde d'arc vaut :

   \theta = 1'' = \left(\frac{1}{60}\right)' = \left(\frac{1}{3600}\right)^\circ = \frac{\pi}{180 \times 3600} \text{ rad}

   Sous l'approximation des petits angles, la distance d = 1\text{ pc} associée à la base D_{T-S} vue sous l'angle \theta vérifie :

   \theta \simeq \tan \theta = \frac{D_{T-S}}{1\text{ pc}} \implies 1\text{ pc} = \frac{D_{T-S}}{\theta} = \frac{180 \times 3600}{\pi} D_{T-S}

   Avec D_{T-S} = 150 \times 10^6\text{ km} = 1{,}50 \times 10^{11}\text{ m} et \pi \approx 3{,}14 :

   \begin{aligned} \theta &\approx \frac{3{,}14}{6{,}48 \times 10^5} \approx 4{,}85 \times 10^{-6}\text{ rad} \\ 1\text{ pc} &\approx \frac{1{,}50 \times 10^{11}}{4{,}85 \times 10^{-6}} \approx 3{,}09 \times 10^{16}\text{ m} \end{aligned}

   En ne conservant qu'un seul chiffre significatif comme demandé :

   \boxed{1\text{ pc} \approx 3 \times 10^{16}\text{ m}}

   Résultat

   $$1\text{ pc}\approx 3\times 10^{16}\text{ m}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7Mines-Ponts Physique 2 PC 2020, Q2

   La pupille d'entrée de l'œil, assimilable à une ouverture circulaire de diamètre D, diffracte la lumière émise par chaque source ponctuelle. L'image sur la rétine est une tache d'Airy dont le rayon angulaire du premier anneau sombre est donné d'après le document 2 par :

   \theta = 1{,}22 \frac{\bar{\lambda}}{D}

   D'après le critère de Rayleigh (illustré par le cas limite (b) du document 3), deux sources ponctuelles incohérentes sont discernables lorsque le maximum central de la figure de diffraction de l'une coïncide avec le premier zéro de celle de l'autre. La séparation angulaire minimale est donc :

   \boxed{\alpha_2 = 1{,}22 \frac{\bar{\lambda}}{D}}

   Avec \bar{\lambda} = 500\text{ nm} = 5{,}0 \times 10^{-7}\text{ m} et D = 3\text{ mm} = 3 \times 10^{-3}\text{ m} :

   \alpha_2 = 1{,}22 \times \frac{5{,}0 \times 10^{-7}}{3 \times 10^{-3}} \approx 2{,}0 \times 10^{-4}\text{ rad}

   Sachant que 1' = 2{,}9 \times 10^{-4}\text{ rad}, on obtient :

   \alpha_2 = \frac{2{,}03 \times 10^{-4}}{2{,}9 \times 10^{-4}} \approx 0{,}70' \approx 1'

   Comparaison avec \alpha_1 : On constate que la limite imposée par la diffraction est du même ordre de grandeur que la limite imposée par le pavage des récepteurs rétiniens obtenue à la question 1 :

   \boxed{\alpha_2 \sim \alpha_1 \approx 1'}

   Résultat

   $${\alpha }_2=1,22\frac{\bar{\lambda }}{D}$$

   $${\alpha }_2\sim {\alpha }_1\approx 1^{\prime }$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8Mines-Ponts Physique 2 PC 2020, Q4

   Le microscope simple de Van Leeuwenhoek fonctionne sur le principe d'une loupe de très courte distance focale f'_L.

   L'intérêt d'interposer cette lentille entre l'échantillon et l'observateur est double :

   • Observation sans fatigue visuelle : En plaçant l'échantillon AB dans le plan focal objet de la lentille (A=F), l'image A'B' est rejetée à l'infini. Un œil emmétrope placé juste derrière la lentille observe ainsi l'image sans accommoder.

   • Augmentation spectaculaire de l'angle apparent (grossissement) : À l'œil nu, pour voir un objet le plus gros possible, l'observateur doit le placer au punctum proximum (d_{PP} \approx 25\text{ cm}), sous un angle apparent :

     \alpha_{\text{nu}} \approx \frac{AB}{d_{PP}}

     Avec la lentille boule, l'angle sous lequel est vue l'image à l'infini s'exprime dans les conditions de Gauss par :

     \alpha' \approx \frac{AB}{f'_L}

     Le grossissement commercial associé est alors :

     \boxed{G_c = \frac{\alpha'}{\alpha_{\text{nu}}} = \frac{d_{PP}}{f'_L}}

   Comme le rayon de la bille de silice est millimétrique, sa distance focale f'_L est extrêmement courte (f'_L \approx 1\text{ mm}), ce qui procure un grossissement commercial considérable (G_c \approx 250). Des détails microscopiques invisibles à l'œil nu deviennent ainsi discernables.

   Résultat

   $$G_c=\frac{{\alpha }^{\prime }}{{\alpha }_{\text{nu}}}=\frac{d_{PP}}{f_L^{\prime }}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9CentraleSupélec Physique 2 PC 2026, Q1

   Plusieurs raisons physiques et techniques justifient l'utilisation de miroirs concaves plutôt que de lentilles dans les télescopes :

   • Absence d'aberrations chromatiques : les lois de la réflexion (lois de Snell-Descartes) sont rigoureusement indépendantes de la longueur d'onde \lambda. À l'inverse, la réfraction dans une lentille dépend de l'indice n(\lambda) du verre (phénomène de dispersion), ce qui focalise les différentes couleurs à des distances différentes.
   • Absence d'absorption dans le matériau : le faisceau lumineux ne traverse pas l'épaisseur du verre mais se réfléchit sur une surface traitée. Dans l'infrarouge (domaine d'étude privilégié du JWST), la plupart des verres optiques usuels absorbent fortement le rayonnement.
   • Contraintes mécaniques et thermiques : un miroir peut être soutenu sur toute sa face arrière et allégé (structure alvéolaire, miroirs segmentés comme sur le JWST), alors qu'une lentille de grand diamètre ne peut être maintenue que par ses bords et se déforme sous son propre poids. De plus, seul l'état de surface d'un miroir doit être parfait, sans exiger l'homogénéité du matériau dans la masse.

   Une seule de ces raisons suffit pour répondre à la question ; l'absence totale d'aberration chromatique constitue l'argument optique principal.

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10. Exercice 10Polytechnique Physique A PC 2024, Q18

    Le capteur étant carré et formé de N = 1024 pixels de pas p = 21\text{ }\mu\text{m}, son côté mesure :

    L = N \, p = 1024 \times 21 \times 10^{-6}\text{ m} \approx 2{,}15 \times 10^{-2}\text{ m} \approx 2 \times 10^{-2}\text{ m} = 2\text{ cm}.

    Le Soleil étant situé à l'infini par rapport au télescope, son image se forme dans le plan focal de la lentille équivalente. Dans l'approximation paraxiale (angles petits), le diamètre D de l'image du Soleil sur le capteur vaut :

    D = f \Delta.

    Numériquement, avec f = 1{,}867\text{ m} et \Delta = 9 \times 10^{-3}\text{ rad} :

    D = 1{,}867 \times 9 \times 10^{-3}\text{ m} \approx 1{,}68 \times 10^{-2}\text{ m} \approx 2 \times 10^{-2}\text{ m} = 1{,}7\text{ cm}.

    En comparant les dimensions :

    D \approx 16{,}8\text{ mm} < L \approx 21{,}5\text{ mm}.

    Le diamètre de l'image du Soleil est inférieur au côté du capteur carré : le disque solaire est donc intégralement inscrit dans le capteur.

    \boxed{\text{Oui, les dimensions du capteur permettent d'observer l'intégralité de la photosphère solaire.}}

    Résultat

    $$\text{Oui, les dimensions du capteur permettent d’observer l’inteˊgraliteˊ de la photospheˋre solaire.}$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question