Feuille d'entraînement : Magnétostatique

Corrigés

1. Exercice 1CCINP Physique-Chimie MPI 2026, Q31

   Par définition, une ligne de champ est une courbe tangente en chacun de ses points au vecteur champ magnétique \vec{B}. Le déplacement élémentaire le long de la ligne s'écrit en coordonnées sphériques :

   \mathrm{d}\vec{\ell} = \mathrm{d}r\,\vec{u}_r + r\,\mathrm{d}\theta\,\vec{u}_\theta + r\sin\theta\,\mathrm{d}\varphi\,\vec{u}_\varphi

   La condition de colinéarité \mathrm{d}\vec{\ell} \wedge \vec{B} = \vec{0} se traduit par :

   \frac{\mathrm{d}r}{B_r} = \frac{r\,\mathrm{d}\theta}{B_\theta} = \frac{r\sin\theta\,\mathrm{d}\varphi}{B_\varphi}

   Puisque B_\varphi = 0 (d'après la question Q30), on a \mathrm{d}\varphi = 0 : les lignes de champ sont planes et contenues dans les plans méridiens (\varphi = \text{cte}).

   Dans un plan méridien, l'équation différentielle s'écrit :

   \frac{\mathrm{d}r}{B_r} = \frac{r\,\mathrm{d}\theta}{B_\theta} \iff \frac{\mathrm{d}r}{r} = \frac{B_r}{B_\theta}\,\mathrm{d}\theta

   En injectant les composantes établies en Q30 :

   \begin{aligned} \frac{B_r}{B_\theta} &= \frac{-\dfrac{\mu_0 m}{2\pi r^3}\cos\theta}{-\dfrac{\mu_0 m}{4\pi r^3}\sin\theta} = 2\,\frac{\cos\theta}{\sin\theta} \end{aligned}

   On obtient :

   \frac{\mathrm{d}r}{r} = 2\,\frac{\cos\theta}{\sin\theta}\,\mathrm{d}\theta = 2\,\frac{\mathrm{d}(\sin\theta)}{\sin\theta}

   En intégrant entre un point quelconque (r,\theta) et l'équateur (\theta = \pi/2) où le rayon atteint sa valeur maximale notée r_0 :

   \begin{aligned} \ln\left(\frac{r}{r_0}\right) &= 2\ln(\sin\theta) = \ln(\sin^2\theta) \end{aligned}

   D'où l'équation de la ligne de champ :

   \boxed{r(\theta) = r_0\sin^2\theta}

   où r_0 est une constante d'intégration représentant la distance au centre à l'équateur (\theta = \pi/2).

   Orientation et tracé D'après les expressions de Q30 :

   • Au pôle Nord géographique (\theta = 0) : \vec{u}_r = \vec{u}_z, et B_r = -\dfrac{\mu_0 m}{2\pi r^3} < 0. Le champ est dirigé vers le centre de la Terre (il entre dans la Terre).
   • Au pôle Sud géographique (\theta = \pi) : \vec{u}_r = -\vec{u}_z, et B_r = +\dfrac{\mu_0 m}{2\pi r^3} > 0. Le champ est centrifuge (il sort de la Terre).
   • À l'équateur (\theta = \pi/2) : B_r = 0 et B_\theta = -\dfrac{\mu_0 m}{4\pi r^3} < 0. Comme \vec{u}_\theta est orienté du Nord vers le Sud, le champ est dirigé vers le Nord.

   Les lignes de champ sortent ainsi de l'hémisphère Sud et rentrent dans l'hémisphère Nord.

   Résultat

   $$r(\theta )=r_0{\sin }^2\theta$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2CCINP Physique-Chimie TSI 2026, Q50

   Énoncé du théorème d'Ampère :
   La circulation du champ magnétique \vec{B} le long d'un contour fermé orienté \mathcal{C} est égale au produit de la perméabilité magnétique du vide \mu_0 par l'intensité algébrique totale du courant enlacé par ce contour :

   \boxed{\oint_{\mathcal{C}} \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{\ell} = \mu_0 I_{\text{enlacé}}}

   où I_{\text{enlacé}} est le flux du vecteur densité volumique de courant \vec{\jmath} à travers une surface quelconque \Sigma s'appuyant sur \mathcal{C} et orientée en accord avec celui-ci selon la règle de la main droite :

   I_{\text{enlacé}} = \iint_{\Sigma} \vec{\jmath} \cdot \mathrm{d}\vec{S}

   Établissement à partir d'une équation de Maxwell :
   En régime stationnaire, les dérivées temporelles sont nulles (\partial/\partial t = 0). L'équation de Maxwell-Ampère locale s'écrit alors :

   \vec{\operatorname{rot}}\vec{B} = \mu_0 \vec{\jmath}

   En intégrant les deux membres sur une surface ouverte \Sigma orientée, s'appuyant sur le contour fermé \mathcal{C} :

   \iint_{\Sigma} \vec{\operatorname{rot}}\vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{S} = \mu_0 \iint_{\Sigma} \vec{\jmath} \cdot \mathrm{d}\vec{S}

   D'après le théorème de Stokes rappelé dans le formulaire :

   \iint_{\Sigma} \vec{\operatorname{rot}}\vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{S} = \oint_{\mathcal{C}} \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{\ell}

   Par définition, le flux de \vec{\jmath} à travers \Sigma correspond au courant algébrique traversant cette surface, soit le courant enlacé I_{\text{enlacé}} par \mathcal{C} :

   \iint_{\Sigma} \vec{\jmath} \cdot \mathrm{d}\vec{S} = I_{\text{enlacé}}

   On en déduit l'expression intégrale du théorème d'Ampère :

   \boxed{\oint_{\mathcal{C}} \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{\ell} = \mu_0 I_{\text{enlacé}}}

   Résultat

   $${\oint }_{\mathcal{C}}\vec{B}\cdot \mathrm{d}\vec{\ell }={\mu }_0{I}_{\text{enlaceˊ}}$$

   $${\oint }_{\mathcal{C}}\vec{B}\cdot \mathrm{d}\vec{\ell }={\mu }_0{I}_{\text{enlaceˊ}}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3CCINP Physique-Chimie TSI 2026, Q51

   1. Invariances et symétries de la distribution de courant

   On utilise les coordonnées cylindriques (x, r, \theta) d'axe (Ox).

   • Invariances : Le solénoïde étant considéré comme infini et invariant par rotation autour de son axe, la distribution de courant est invariante par toute translation selon \vec{e}_x et par toute rotation d'angle \theta autour de (Ox). Par conséquent, le champ magnétique ne dépend que de la coordonnée radiale r :

     \vec{B}_s(M) = \vec{B}_s(r).

   • Symétries : Les spires étant circulaires, les lignes de courant sont orthoradiales (\vec{j} = j_\theta\,\vec{e}_\theta). Tout plan perpendiculaire à l'axe (Ox) est donc un plan de symétrie pour la distribution de courant (une réflexion par rapport à ce plan conserve les vecteurs situés dans le plan).

     Le champ magnétique \vec{B}_s étant un champ axial (pseudovecteur), un plan de symétrie de courants est un plan d'anti-symétrie pour le champ magnétique. En tout point d'un tel plan, \vec{B}_s lui est nécessairement orthogonal. Le champ magnétique est donc purement axial :

     \vec{B}_s(M) = B_x(r)\,\vec{e}_x.

   2. Application du théorème d'Ampère

   Considérons un contour rectangulaire fermé \mathcal{C} = M_1 M_2 M_3 M_4 situé dans un plan contenant l'axe (Ox) :

   • un segment intérieur [M_1 M_2] de longueur h, parallèle à l'axe (Ox) et orienté selon +\vec{e}_x ;
   • deux segments radiaux [M_2 M_3] et [M_4 M_1], orthogonaux à l'axe (Ox) ;
   • un segment extérieur [M_3 M_4] de longueur h, parallèle à (Ox) et orienté selon -\vec{e}_x.

   Calculons la circulation de \vec{B}_s le long de \mathcal{C} :

   • Sur les segments radiaux, \vec{B}_s \cdot \mathrm{d}\vec{\ell} = 0 car \vec{B}_s est orthogonal à la direction radiale.
   • Sur le segment extérieur, le champ est nul par hypothèse : \vec{B}_{\text{ext}} = \vec{0}.
   • Sur le segment intérieur, \int_{M_1}^{M_2} \vec{B}_s \cdot \mathrm{d}\vec{\ell} = B_x(r)\,h.

   La circulation totale vaut ainsi :

   \oint_{\mathcal{C}} \vec{B}_s \cdot \mathrm{d}\vec{\ell} = B_x(r)\,h.

   3. Courant enlacé et résultat

   Le contour de longueur h enlace N = n\,h spires du solénoïde.

   D'après la figure 5, le sens d'enroulement et le sens du courant i_s = I_s montrent que le courant traverse la surface orientée par le contour d'Ampère dans le sens négatif (par la règle de la main droite, le champ créé à l'intérieur s'oppose à \vec{e}_x) :

   I_{\text{enlacé}} = -n\,h\,I_s.

   D'après le théorème d'Ampère établi en Q50 :

   \oint_{\mathcal{C}} \vec{B}_s \cdot \mathrm{d}\vec{\ell} = \mu_0 I_{\text{enlacé}} \implies B_x(r)\,h = -\mu_0 n\,h\,I_s,

   soit :

   B_x(r) = -\mu_0 n I_s.

   Le champ est uniforme à l'intérieur du solénoïde, et son expression vectorielle est :

   \boxed{\vec{B}_s(M) = -\mu_0 n I_s\,\vec{e}_x}

   Résultat

   $${\vec{B}}_s(M)=-{\mu }_{0}n{I}_s{\vec{e}}_x$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4E3A Physique-Chimie PC 2026, Q3

   1. Invariances

   • Le fil étant supposé infini suivant l'axe (Oz), la distribution de courant est invariante par translation selon z.
   • La distribution présente une symétrie de révolution autour de l'axe (Oz) : elle est invariante par rotation d'angle \theta.

   Le champ magnétique ne dépend donc que de la coordonnée radiale r :

   \vec{B}(M) = \vec{B}(r) = B_r(r)\,\vec{e}_r + B_\theta(r)\,\vec{e}_\theta + B_z(r)\,\vec{e}_z.

   2. Symétries

   • Tout plan contenant le fil, en particulier le plan (M, \vec{e}_r, \vec{e}_z), est un plan de symétrie pour la distribution de courant (P_{\mathrm{sym}}).

   • Le champ magnétique étant un vecteur axial (ou pseudovecteur), il est orthogonal en tout point M à tout plan de symétrie passant par M :

     \vec{B}(M) \perp (M, \vec{e}_r, \vec{e}_z) \implies B_r(r) = 0 \quad \text{et} \quad B_z(r) = 0.

   Le champ magnétique est donc purement orthoradial :

   \vec{B}(M) = B_\theta(r)\,\vec{e}_\theta.

   3. Théorème d'Ampère

   • On choisit pour contour d'Ampère \mathcal{C} un cercle d'axe (Oz), de rayon r, passant par M et orienté selon \vec{e}_\theta.

   • L'élément de longueur le long de ce contour s'écrit \mathrm{d}\vec{\ell} = r\,\mathrm{d}\theta\,\vec{e}_\theta. La circulation de \vec{B} le long de \mathcal{C} vaut :

     \begin{aligned} \Gamma = \oint_{\mathcal{C}} \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{\ell} &= \int_{0}^{2\pi} B_\theta(r)\,\vec{e}_\theta \cdot (r\,\mathrm{d}\theta\,\vec{e}_\theta) \\ &= r B_\theta(r) \int_{0}^{2\pi} \mathrm{d}\theta \\ &= 2\pi r B_\theta(r). \end{aligned}

   • La surface appuyée sur \mathcal{C} est traversée une seule fois par le fil. Le sens de parcours choisi pour \mathcal{C} induit, d'après la règle du tire-bouchon de Maxwell (ou de la main droite), une normale orientée selon +\vec{e}_z, dans le sens du courant I. Le courant enlacé algébrique est donc :

     I_{\text{enl}} = I.

   • D'après le théorème d'Ampère :

     \Gamma = \mu_0 I_{\text{enl}} \iff 2\pi r B_\theta(r) = \mu_0 I \iff B_\theta(r) = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}.

   On en déduit l'expression du champ magnétique créé par le fil infini en tout point de l'espace :

   \boxed{\vec{B}(r) = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}\,\vec{e}_\theta}

   Résultat

   $$\vec{B}(r)=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}{\vec{e}}_{\theta }$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5Mines-Ponts Physique 2 MPI 2026, Q1

   La distribution de courant est modélisée par une nappe cylindrique de courant continu surfacique ou volumique uniforme, portée par \vec{e}_\theta.

   1. Invariances :

   • Le solénoïde étant supposé infini suivant l'axe (Oz), la distribution de courant est invariante par toute translation le long de l'axe (Oz). Le champ magnétique ne dépend donc pas de la coordonnée z.
   • La distribution de courant présente une symétrie de révolution autour de l'axe (Oz), elle est donc invariante par toute rotation d'un angle \theta quelconque autour de cet axe. Le champ magnétique ne dépend donc pas de \theta.

   On en déduit que les composantes du champ magnétique ne dépendent que de la distance à l'axe r :

   \vec{B}(M) = \vec{B}(r)

   2. Symétries :

   • Soit \Pi_s le plan passant par M et contenant (\vec{e}_r, \vec{e}_\theta) (plan perpendiculaire à l'axe (Oz)). Par réflexion par rapport à \Pi_s, les courants circulaires sont inchangés (\vec{j} \parallel \Pi_s). Le solénoïde étant infini, \Pi_s est un plan de symétrie pour la distribution de courant. Comme le champ magnétique est un pseudo-vecteur (vecteur axial), il est orthogonal à tout plan de symétrie des sources en tout point de ce plan. Ainsi :

     \vec{B}(M) \perp \Pi_s \implies \vec{B}(M) = B_z(r)\,\vec{e}_z
   • Vérification avec le plan méridien : le plan \Pi_a = (M, \vec{e}_r, \vec{e}_z) coupe orthogonalement les lignes de courant (\vec{j} \perp \Pi_a), c'est donc un plan d'antisymétrie des sources. Le pseudo-vecteur \vec{B}(M) lui est donc parallèle, ce qui confirme B_\theta(M) = 0.

   En combinant ces résultats, le champ magnétique créé en tout point M(r,\theta,z) est de la forme :

   \boxed{\vec{B}(M) = B_z(r)\,\vec{e}_z}

   Résultat

   $$\vec{B}(M)=B_z(r){\vec{e}}_z$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6Mines-Ponts Physique 2 MPI 2026, Q2

   D'après la question Q1, le champ magnétique est axial : \vec{B}(M) = B_z(r)\,\vec{e}_z.

   On choisit pour contour d'Ampère un rectangle orienté \mathcal{C} = ABCD contenu dans un plan méridien (\vec{e}_r, \vec{e}_z) :

   • le segment [AB], de longueur L, est situé à l'intérieur du solénoïde (r_A = r_B = r < b), orienté selon +\vec{e}_z ;
   • le segment [BC] est perpendiculaire à l'axe, orienté selon +\vec{e}_r de r à r' > b ;
   • le segment [CD], de longueur L, est situé à l'extérieur (r_C = r_D = r' > b), orienté selon -\vec{e}_z ;
   • le segment [DA] est perpendiculaire à l'axe, orienté selon -\vec{e}_r de r' à r.

   La circulation de \vec{B} sur \mathcal{C} s'écrit :

   \oint_{\mathcal{C}} \vec{B}\cdot\mathrm{d}\vec{\ell} = \int_A^B \vec{B}\cdot\mathrm{d}\vec{\ell} + \int_B^C \vec{B}\cdot\mathrm{d}\vec{\ell} + \int_C^D \vec{B}\cdot\mathrm{d}\vec{\ell} + \int_D^A \vec{B}\cdot\mathrm{d}\vec{\ell}

   • Sur [BC] et [DA], l'élément de longueur \mathrm{d}\vec{\ell} = \pm\,\mathrm{d}r\,\vec{e}_r est orthogonal à \vec{B}, donc \vec{B}\cdot\mathrm{d}\vec{\ell} = 0.
   • Sur [CD], le champ est nul à l'extérieur par hypothèse de l'énoncé, donc l'intégrale est nulle.

   • Sur [AB], \vec{B} = B_z(r)\,\vec{e}_z et \mathrm{d}\vec{\ell} = \mathrm{d}z\,\vec{e}_z, d'où :

     \int_A^B \vec{B}\cdot\mathrm{d}\vec{\ell} = B_z(r)\,L

   La circulation totale vaut donc :

   \oint_{\mathcal{C}} \vec{B}\cdot\mathrm{d}\vec{\ell} = B_z(r)\,L

   D'après la règle de la main droite, le vecteur normal à la surface délimitée par \mathcal{C} est orienté selon \vec{e}_z \wedge \vec{e}_r = \vec{e}_\theta. Le courant circulant dans les spires dans le sens de \vec{e}_\theta, les spires traversent la surface dans le sens positif. Sur la longueur L, le nombre de spires traversant la surface est N = n\,L, donc le courant total enlacé est :

   I_{\text{enlacé}} = n\,L\,I

   Le théorème d'Ampère s'énonce :

   \oint_{\mathcal{C}} \vec{B}\cdot\mathrm{d}\vec{\ell} = \mu_0\,I_{\text{enlacé}}

   soit :

   B_z(r)\,L = \mu_0\,n\,L\,I \implies B_z(r) = \mu_0\,n\,I

   Ce résultat est indépendant de r : le champ magnétique à l'intérieur du solénoïde infini est donc uniforme et vaut :

   \boxed{\vec{B}_{\text{int}} = \mu_0\,n\,I\,\vec{e}_z}

   Résultat

   $${\vec{B}}_{\text{int}}={\mu }_{0}nI{\vec{e}}_z$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7Mines-Ponts Physique 2 PSI 2026, Q14

   Considérons une ligne de champ moyenne fermée \mathcal{C}, orientée dans le sens du champ magnétique, qui traverse successivement :

   • le pôle saillant supérieur du stator ;
   • l'entrefer supérieur d'épaisseur e ;
   • le rotor ;
   • l'entrefer inférieur d'épaisseur e ;
   • le pôle saillant inférieur du stator, puis la culasse statorique pour se refermer.

   Appliquons le théorème d'Ampère au champ d'excitation magnétique \vec{H} le long de ce contour \mathcal{C} :

   \oint_{\mathcal{C}} \vec{H} \cdot \mathrm{d}\vec{\ell} = I_{\text{enlacé}}

   1. Circulation dans le fer doux :
   Dans le rotor et le stator en fer doux, \vec{B} = \mu \vec{H}. Le champ magnétique \vec{B} y restant d'intensité finie, l'hypothèse d'une perméabilité magnétique infinie (\mu \to \infty) entraîne :

   \vec{H}_{\text{fer}} = \vec{0} \implies \int_{\text{fer}} \vec{H} \cdot \mathrm{d}\vec{\ell} = 0

   2. Circulation dans les entrefers :
   Dans l'air assimilé au vide, \vec{B}_{\mathrm{a}} = \mu_0 \vec{H}_{\mathrm{a}}, soit \vec{H}_{\mathrm{a}} = \dfrac{\vec{B}_{\mathrm{a}}}{\mu_0}.
   Les entrefers étant très minces (e \ll R), le champ y est quasi uniforme, radial et dirigé colinéairement à la normale aux parois. Par symétrie du dispositif, le champ a la même intensité B_{\mathrm{a}} dans chacun des deux entrefers. La circulation de \vec{H} sur les deux entrefers de même épaisseur e vaut donc :

   \int_{\text{entrefers}} \vec{H} \cdot \mathrm{d}\vec{\ell} = 2 H_{\mathrm{a}} e = 2 \frac{B_{\mathrm{a}}}{\mu_0} e

   3. Courant enlacé :
   Le contour \mathcal{C} enlace les deux enroulements statoriques connectés en série. D'après le sens des spires indiqué sur la figure 4, les forces magnétomotrices des deux bobines de N spires s'additionnent le long de la ligne de champ. Le courant total algébrique enlacé est donc :

   I_{\text{enlacé}} = N i + N i = 2 N i

   En égalant circulation et courant enlacé :

   2 \frac{B_{\mathrm{a}}}{\mu_0} e = 2 N i

   On en déduit l'intensité du champ magnétique en tout point de l'entrefer :

   \boxed{B_{\mathrm{a}} = \frac{\mu_0 N i}{e}}

   Résultat

   $$B_{\mathrm{a}}=\frac{{\mu }_{0}Ni}{e}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8Polytechnique Physique A PC 2026, Q14

   Pour créer un champ magnétique uniforme et stationnaire \vec{B} = B\,\vec{e}_z, deux dispositifs expérimentaux classiques peuvent être envisagés :

   • Un solénoïde long d'axe (Oz) : il est constitué d'un enroulement cylindrique de spires conductrices jointives de rayon R, réparties à raison de n spires par unité de longueur et parcourues par un courant d'intensité constante I. Loin des extrémités (longueur L \gg R), le champ magnétique à l'intérieur est uniforme, stationnaire et dirigé le long de l'axe :

     \vec{B} = \mu_0 n I\,\vec{e}_z

     le sens de \vec{e}_z étant fixé par la règle de la main droite selon le sens d'enroulement et de circulation du courant. En spectrométrie de masse FT-ICR, où des champs intenses sont requis (de l'ordre de plusieurs teslas, typiquement B = 7\text{ T} comme précisé à la question 42), on utilise un solénoïde supraconducteur plongé dans un cryostat d'hélium liquide.

   • Des bobines de Helmholtz : constituées de deux bobines circulaires identiques, minces, coaxiales d'axe (Oz), de même rayon R, séparées d'une distance égale à leur rayon (D = R) et parcourues par le même courant I dans le même sens. Cette géométrie garantit l'annulation des première et deuxième dérivées spatiales de \vec{B} en leur centre, assurant ainsi une excellente uniformité du champ magnétique au voisinage de l'origine.

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9CCINP Physique PC 2025, Q10

   Considérons le fil rectiligne infini confondu avec l'axe (O, \vec{u}_z), parcouru par le courant stationnaire \vec{I} = I\vec{u}_z (I > 0).

   Invariances et symétries

   • La distribution de courant est invariante par translation le long de l'axe (Oz) et par rotation autour de cet axe. Le champ magnétique ne dépend donc que de la coordonnée radiale r :

     \vec{B}_{f,\text{Bi}}(M) = \vec{B}_{f,\text{Bi}}(r)

   • Tout plan contenant l'axe (Oz) (plan (M, \vec{u}_r, \vec{u}_z)) est un plan de symétrie \Pi_s pour la distribution de courant. En tout point M de ce plan, le champ magnétique lui est orthogonal :

     \vec{B}_{f,\text{Bi}}(M) \perp \Pi_s \implies \vec{B}_{f,\text{Bi}}(M) = B_\theta(r)\,\vec{u}_\theta

   Théorème d'Ampère On choisit comme contour d'Ampère \mathcal{C} un cercle d'axe (Oz), de rayon r, orienté selon \vec{u}_\theta :

   \begin{aligned} \oint_{\mathcal{C}} \vec{B}_{f,\text{Bi}} \cdot \mathrm{d}\vec{\ell} &= \int_0^{2\pi} B_\theta(r)\,\vec{u}_\theta \cdot (r\,\mathrm{d}\theta\,\vec{u}_\theta) \\ &= 2\pi r \, B_\theta(r) \end{aligned}

   Le courant enlacé par ce contour orienté est I_{\text{enlacé}} = I. D'après le théorème d'Ampère :

   \begin{aligned} 2\pi r \, B_\theta(r) = \mu_0 I \implies B_\theta(r) = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} \end{aligned}

   On en déduit l'expression vectorielle du champ magnétique :

   \boxed{\vec{B}_{f,\text{Bi}}(M) = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}\,\vec{u}_\theta}

   Résultat

   $${\vec{B}}_{f,\text{Bi}}(M)=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}{\vec{u}}_{\theta }$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

10. Exercice 10CCINP Physique-Chimie MPI 2025, Q6

    Au laboratoire, la mesure d'un champ magnétique s'effectue principalement à l'aide de deux méthodes :

    1. Le teslamètre à sonde à effet Hall (méthode la plus usuelle en travaux pratiques) :

       • Principe : une plaquette semi-conductrice d'épaisseur e, parcourue par un courant électrique continu d'intensité I, est placée dans le champ magnétique \vec{B}.
       • Les porteurs de charge de vitesse \vec{v} sont déviés sous l'action de la force de Lorentz magnétique \vec{F}_m = q\,\vec{v}\wedge\vec{B}.

       • Cette accumulation de charges sur les faces latérales crée un champ électrostatique transverse \vec{E}_H s'opposant à la déviation, d'où l'apparition d'une différence de potentiel transverse, appelée tension de Hall :

         U_H = R_H \frac{I B_\perp}{e}

         où R_H est la constante de Hall du matériau et B_\perp la composante du champ perpendiculaire à la sonde.

       • La mesure de U_H à courant I fixé permet donc une mesure directe, locale et directionnelle de \vec{B} (en continu comme en alternatif basse fréquence).

    2. La bobine exploratrice (ou sonde d'induction / fluxmètre) :

       • Principe : une petite bobine plane comportant N spires de surface unitaire S, d'axe orienté \vec{n}, est placée dans la région où règne le champ.

       • D'après la loi de Faraday, une variation du flux magnétique \Phi = N\,\vec{B}\cdot\vec{S} à travers la bobine induit une force électromotrice :

         e(t) = -\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t}
       • Cette variation peut être obtenue en faisant varier le champ dans le temps (champ alternatif) ou en retirant/retournant rapidement la bobine hors de la zone de champ (champs continus, mesurés à l'aide d'un circuit intégrateur qui donne \Delta \Phi = -\int e\,\mathrm{d}t).

    Indice, stratégie et pièges de cette question