Feuille d'entraînement : Mesures et incertitudes

Corrigés

1. Exercice 1E3A Physique-Chimie MPI 2023, Q36

   Pour comparer deux mesures d'une même grandeur M_1 et M_2, associées à leurs incertitudes-types u(M_1) et u(M_2), on définit le critère de compatibilité par l'écart normalisé (ou z-score) :

   \boxed{E_n = \frac{|M_1 - M_2|}{\sqrt{u^2(M_1) + u^2(M_2)}}}

   Au niveau de confiance usuel de 95\,\%, les deux mesures sont considérées comme compatibles si :

   E_n \le 2

   D'après le document 5 et les données de l'énoncé :

   • Valeur obtenue par simulation : M_T \approx 5{,}9758 \cdot 10^{24}\text{ kg} avec u_M \approx 7{,}71 \cdot 10^{20}\text{ kg} ;
   • Valeur de la littérature : M_{T,\text{pub}} = 5{,}97223 \cdot 10^{24}\text{ kg} avec u_T = 5{,}9 \cdot 10^{20}\text{ kg}.

   Calculons l'écart absolu :

   |M_T - M_{T,\text{pub}}| = (5{,}9758 - 5{,}97223) \cdot 10^{24} = 3{,}6 \cdot 10^{21}\text{ kg}

   L'incertitude combinée vaut :

   u_c = \sqrt{u_M^2 + u_T^2} = \sqrt{(7{,}71 \cdot 10^{20})^2 + (5{,}9 \cdot 10^{20})^2} \approx 9{,}7 \cdot 10^{20}\text{ kg}

   On en déduit l'écart normalisé :

   E_n = \frac{3{,}6 \cdot 10^{21}}{9{,}7 \cdot 10^{20}} \approx 3{,}7

   Discussion et conclusion :

   • Sur la précision : les incertitudes-types u_M et u_T sont du même ordre de grandeur (\sim 10^{21}\text{ kg}, soit une précision relative d'environ 0{,}01\,\%). La méthode d'évaluation de la dispersion est donc en excellent accord avec les incertitudes publiées.

   • Sur la valeur : comme E_n \approx 3{,}7 > 2, les deux valeurs ne sont pas strictement compatibles au sens du critère statistique à 95\,\%. Néanmoins, l'écart relatif est minime :

     \frac{|M_T - M_{T,\text{pub}}|}{M_{T,\text{pub}}} \approx 0{,}06\,\%

     Ce léger écart s'explique par des biais systématiques non pris en compte dans le modèle purement képlérien (la Terre n'est pas rigoureusement sphérique, existence du potentiel perturbateur J_2, calcul approché du demi-grand axe à la question Q27).

   Résultat

   $$E_n=\frac{|M_1-M_2|}{\sqrt{u^2(M_1)+u^2(M_2)}}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2CentraleSupélec Physique-Chimie 2 MPI 2026, Q24

   Une particule d'ensemencement entraînée par le fluide à la vitesse \vec{V} = V\vec{u}_y traverse les franges d'interférence orientées parallèlement à l'axe (Ox). Elle passe d'une frange brillante à la suivante en parcourant une distance égale à l'interfrange i pendant une durée correspondant à la période du signal T = 1/f. On en déduit :

   V = \frac{i}{T} = i \, f

   En utilisant l'expression de l'interfrange établie à la question Q23 (i = \frac{\lambda_0}{2\sin\alpha}), il vient :

   \boxed{V = \frac{\lambda_0 \, f}{2\sin\alpha}}

   Application numérique : Avec \lambda_0 = 514\text{ nm} = 514 \times 10^{-9}\text{ m}, f = 1{,}200\text{ MHz} = 1{,}200 \times 10^6\text{ Hz} et \alpha = 6{,}00^\circ :

   V = \frac{514 \times 10^{-9} \times 1{,}200 \times 10^6}{2\sin(6{,}00^\circ)} \approx 2{,}950\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}

   Estimation de l'incertitude-type : La grandeur V s'écrit sous la forme d'un produit et quotient de grandeurs indépendantes V = \frac{1}{2} \cdot \lambda_0 \cdot f \cdot (\sin\alpha)^{-1}. D'après le formulaire fourni en fin d'énoncé généralisé à trois grandeurs, l'incertitude-type relative vérifie :

   \frac{u(V)}{V} = \sqrt{\left(\frac{u(\lambda_0)}{\lambda_0}\right)^2 + \left(\frac{u(f)}{f}\right)^2 + \left(\frac{u(\sin\alpha)}{\sin\alpha}\right)^2}

   Par différentiation de \sin\alpha, on a u(\sin\alpha) = \cos\alpha \, u(\alpha), où u(\alpha) doit impérativement être exprimée en radians :

   \frac{u(\sin\alpha)}{\sin\alpha} = \frac{u(\alpha)}{\tan\alpha} \approx \frac{u(\alpha)}{\alpha} \quad (\text{car } \alpha \ll 1\text{ rad})

   Calculons les incertitudes relatives :

   \begin{aligned} \frac{u(\lambda_0)}{\lambda_0} &= \frac{10}{514} \approx 1{,}95 \times 10^{-2} \\ \frac{u(f)}{f} &= \frac{0{,}050}{1{,}200} \approx 4{,}17 \times 10^{-2} \\ \frac{u(\sin\alpha)}{\sin\alpha} &= \frac{0{,}10 \times \frac{\pi}{180}}{\tan(6{,}00^\circ)} \approx 1{,}66 \times 10^{-2} \end{aligned}

   On obtient :

   \frac{u(V)}{V} = \sqrt{(0{,}0195)^2 + (0{,}0417)^2 + (0{,}0166)^2} = \sqrt{2{,}39 \times 10^{-3}} \approx 4{,}89 \times 10^{-2}

   L'incertitude-type absolue sur la vitesse vaut alors :

   u(V) = V \times \frac{u(V)}{V} = 2{,}950 \times 4{,}89 \times 10^{-2} \approx 0{,}14\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}

   Finalement :

   \boxed{V = (2{,}95 \pm 0{,}14)\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}} \quad \text{ou} \quad \boxed{V = (3{,}0 \pm 0{,}1)\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}}

   Résultat

   $$V=\frac{{\lambda }_{0}f}{2\sin \alpha }$$

   $$V=(2,95\pm 0,14)\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-1}$$

   $$V=(3,0\pm 0,1)\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-1}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3E3A Physique-Chimie MPI 2026, Q18

   D'après la relation (6) de l'énoncé reliant le diamètre \phi de la tache d'Airy à la longueur d'onde :

   \phi = 1{,}22\,\frac{\lambda d}{R} \iff \lambda = \frac{\phi R}{1{,}22\,d}

   Les grandeurs R, d et \phi étant issues de mesurages indépendants, la formule de propagation des incertitudes composées relatives donne :

   \left(\frac{u(\lambda)}{\lambda}\right)^2 = \left(\frac{u(\phi)}{\phi}\right)^2 + \left(\frac{u(R)}{R}\right)^2 + \left(\frac{u(d)}{d}\right)^2

   On en déduit l'expression littérale de l'incertitude-type u(\lambda) :

   \boxed{u(\lambda) = \lambda \sqrt{\left(\frac{u(R)}{R}\right)^2 + \left(\frac{u(d)}{d}\right)^2 + \left(\frac{u(\phi)}{\phi}\right)^2}}

   L'écart normalisé (z-score) comparant la valeur expérimentale \lambda_{\mathrm{exp}} = 656\text{ nm} à la valeur théorique attendue \lambda_{\mathrm{att}} = 632{,}8\text{ nm} s'écrit :

   z = \frac{|\lambda_{\mathrm{exp}} - \lambda_{\mathrm{att}}|}{u(\lambda)}

   Avec les valeurs numériques fournies :

   z = \frac{|656 - 632{,}8|}{49} = \frac{23{,}2}{49} \approx 0{,}47

   \boxed{z \approx 0{,}5}

   Comme z \le 2, l'écart entre la valeur expérimentale et la valeur attendue n'est pas significatif : la mesure est pleinement compatible avec la longueur d'onde de référence du laser He-Ne.

   Résultat

   $$u(\lambda )=\lambda \sqrt{{\left(\frac{u(R)}{R}\right)}^2+{\left(\frac{u(d)}{d}\right)}^2+{\left(\frac{u(\varphi )}{\varphi }\right)}^2}$$

   $$z\approx 0,5$$

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4. Exercice 4CCINP Physique-Chimie MPI 2025, Q28

   D'après l'expression obtenue à la question Q27, l'intensité au foyer F' s'écrit en incidence normale :

   I(t) = \frac{I_{\max}}{2}\left[1 + \cos\left(\frac{4\pi d(t)}{\lambda_m}\right)\right]

   Comme d(t) = v_0 t et s(t) = K I(t), le signal photodiode prend la forme :

   s(t) = \frac{K I_{\max}}{2}\left[1 + \cos\left(\frac{4\pi v_0 t}{\lambda_m}\right)\right]

   Ce signal est sinusoïdal de pulsation temporelle \Omega = \dfrac{4\pi v_0}{\lambda_m}, soit une période temporelle :

   T = \frac{2\pi}{\Omega} = \frac{\lambda_m}{2 v_0} \quad \implies \quad \lambda_m = 2 v_0 T

   Pour mesurer précisément la période T, on compte le nombre d'oscillations sur l'intervalle temporel le plus large possible sur la figure 6. Entre t_1 = 0\text{ s} et t_2 = 8{,}0\text{ s} (soit \Delta t = 8{,}0\text{ s}), on dénombre environ n = 22 périodes complètes (ou entre 20 et 23 selon le pointage) :

   T = \frac{\Delta t}{n} \approx \frac{8{,}0}{22} \approx 0{,}36\text{ s}

   On en déduit la longueur d'onde :

   \lambda_m = 2 \times (7{,}0 \cdot 10^{-7}\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}) \times 0{,}36\text{ s} \approx 5{,}1 \cdot 10^{-7}\text{ m}

   Avec la consigne d'un seul chiffre significatif :

   \boxed{\lambda_m \approx 5 \cdot 10^{-7}\text{ m} = 500\text{ nm}}

   (Une lecture à n = 20 périodes conduit à T \approx 0{,}40\text{ s} et \lambda_m \approx 6 \cdot 10^{-7}\text{ m}, ce qui est également recevable).

   Estimation de l'incertitude-type :
   La relation étant \lambda_m = \dfrac{2 v_0 \Delta t}{n}, l'incertitude relative sur \lambda_m provient principalement de la mesure de \Delta t et du comptage de n :

   • Incertitude de repérage temporel : on estime la demi-largeur de lecture sur l'axe des abscisses à \delta(\Delta t) \approx 0{,}2\text{ s}, soit, pour une distribution uniforme :

     u(\Delta t) = \frac{\delta(\Delta t)}{\sqrt{3}} \approx \frac{0{,}2}{\sqrt{3}} \approx 0{,}1\text{ s} \quad \implies \quad \frac{u(\Delta t)}{\Delta t} \approx \frac{0{,}1}{8{,}0} \approx 1{,}5\,\%

   • Incertitude sur le nombre de périodes : estimée à \delta n \approx 0{,}5 période, soit :

     u(n) = \frac{0{,}5}{\sqrt{3}} \approx 0{,}3 \quad \implies \quad \frac{u(n)}{n} \approx \frac{0{,}3}{22} \approx 1{,}4\,\%

   En combinant ces deux contributions indépendantes :

   \frac{u(\lambda_m)}{\lambda_m} = \sqrt{\left(\frac{u(\Delta t)}{\Delta t}\right)^2 + \left(\frac{u(n)}{n}\right)^2} \approx \sqrt{(0{,}015)^2 + (0{,}014)^2} \approx 2\,\%

   D'où l'incertitude-type absolue :

   u(\lambda_m) \approx 0{,}02 \times 5 \cdot 10^{-7}\text{ m} \approx 1 \cdot 10^{-8}\text{ m}

   \boxed{u(\lambda_m) \approx 1 \cdot 10^{-8}\text{ m} = 10\text{ nm}}

   Résultat

   $${\lambda }_m\approx 5\cdot 10^{-7}\text{ m}=500\text{ nm}$$

   $$u({\lambda }_m)\approx 1\cdot 10^{-8}\text{ m}=10\text{ nm}$$

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5. Exercice 5E3A Physique-Chimie MPI 2025, Q10

   1. Principe de la méthode de Monte-Carlo

   La méthode de Monte-Carlo consiste à simuler numériquement la propagation des incertitudes lorsque la relation fonctionnelle liant la grandeur de sortie aux grandeurs d'entrée est non linéaire ou complexe :

   • On modélise chaque grandeur mesurée X_k comme une variable aléatoire suivant une loi de probabilité (ici gaussienne), d'espérance égale à la valeur mesurée et d'écart-type égal à son incertitude-type u(X_k) ;
   • On effectue un grand nombre N de tirages aléatoires indépendants pour chacune des variables d'entrée ;

   • Pour chaque jeu de tirages, on calcule la valeur de la grandeur d'intérêt m_2 à l'aide de la formule établie à la question Q9 :

     m_2 = m_1 \left[ \left(\frac{T}{T_1}\right)^2 - 1 \right]
   • L'incertitude-type u(m_2) est alors estimée par l'écart-type expérimental de l'échantillon des N valeurs calculées.

   2. Complétion du script Python

   import numpy as np
   
   m1 = 12.43 # kg
   um = 2.9e-3 # kg
   T1 = 0.82 # s
   T2 = 2.15 # s
   uT = 2.9e-3 # s
   N = 100000 # nombre de points a utiliser pour les calculs
   
   # Tirages aleatoires gaussiens des grandeurs d'entree
   m1_sim = np.random.normal(m1, um, N)
   T1_sim = np.random.normal(T1, uT, N)
   T2_sim = np.random.normal(T2, uT, N)
   
   # Calcul des N realisations de la masse m2
   m2_sim = m1_sim * ((T2_sim / T1_sim)**2 - 1)
   
   # Estimation de l'incertitude-type u(m2)
   u_m2 = np.std(m2_sim, ddof=1)
   print("u(m2) =", u_m2, "kg")

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6. Exercice 6Mines-Ponts Physique 1 MPI 2025, Q13

   D'après la question Q11, le défilement de N franges lors d'un déplacement \Delta z s'écrit :

   N = \frac{2\Delta z}{\lambda_0} \iff \lambda_0 = \frac{2\Delta z}{N}

   L'application numérique donne, avec deux chiffres significatifs :

   \lambda_0 = \frac{2 \times 1\,035 \times 10^{-6}}{3\,156} \approx 6{,}56 \times 10^{-7}\text{ m} = 656\text{ nm}

   Cette longueur d'onde appartient au domaine du rouge :

   \boxed{\text{Il s'agit de la raie } H_\alpha \text{ (rouge)}.}

   Le nombre de franges N étant déterminé par comptage sans incertitude, la précision relative sur la mesure de \lambda_0 découle directement de celle sur \Delta z :

   \frac{\Delta \lambda_0}{\lambda_0} = \frac{\Delta(\Delta z)}{\Delta z}

   Numériquement :

   \frac{\Delta(\Delta z)}{\Delta z} = \frac{2\ \mu\text{m}}{1\,035\ \mu\text{m}} \approx 1{,}9 \times 10^{-3} \approx 0{,}2\%

   \boxed{\frac{\Delta \lambda_0}{\lambda_0} \simeq 0{,}2\%}

   D'après la question Q12, l'écart angulaire avec le premier anneau de même nature après le déplacement \Delta z vaut :

   \Delta\theta = \sqrt{\frac{\lambda_0}{\Delta z}} = \sqrt{\frac{2}{N}}

   Numériquement :

   \Delta\theta = \sqrt{\frac{2}{3\,156}} = \sqrt{\frac{1}{1\,578}} \approx 2{,}5 \times 10^{-2}\text{ rad} \approx 1{,}4^\circ

   \boxed{\Delta\theta \simeq 2{,}5 \times 10^{-2}\text{ rad} \simeq 1{,}4^\circ}

   Commentaires :

   • L'angle \Delta\theta \ll 1\text{ rad} valide a posteriori le développement limité à l'ordre deux de \cos\theta effectué à la question Q12.
   • Les anneaux étant très resserrés au centre pour une telle épaisseur de lame d'air, l'emploi d'un oculaire afocal grossissant est indispensable pour séparer et observer nettement les franges.

   Résultat

   $$\text{Il s’agit de la raie }{H}_{\alpha }\text{ (rouge)}.$$

   $$\frac{\Delta {\lambda }_0}{{\lambda }_0}\simeq 0,2\%$$

   $$\Delta \theta \simeq 2,5\times 10^{-2}\text{ rad}\simeq 1,4^{\circ }$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7CentraleSupélec Physique-Chimie 1 MPI 2024, Q9

   D'après la table issue de la commande df.describe() pour la colonne H :

   • le nombre de galaxies mesurées est N = 24 ;
   • la moyenne empirique vaut \bar{H} = 812{,}04\text{ km}\cdot\text{s}^{-1}\cdot\text{Mpc}^{-1} ;
   • l'écart-type expérimental de l'échantillon vaut s = 1988{,}81\text{ km}\cdot\text{s}^{-1}\cdot\text{Mpc}^{-1}.

   L'incertitude-type associée à la valeur moyenne (évaluation de type A) s'écrit :

   u(\bar{H}) = \frac{s}{\sqrt{N}}

   Numériquement :

   u(\bar{H}) = \frac{1988{,}81}{\sqrt{24}} \approx 405{,}96\text{ km}\cdot\text{s}^{-1}\cdot\text{Mpc}^{-1} \approx 4{,}1 \times 10^2\text{ km}\cdot\text{s}^{-1}\cdot\text{Mpc}^{-1}

   En arrondissant l'incertitude-type à un ou deux chiffres significatifs, la valeur de H sous forme normalisée s'écrit :

   \boxed{H = (8{,}1 \pm 4{,}1) \times 10^2\text{ km}\cdot\text{s}^{-1}\cdot\text{Mpc}^{-1} \quad \text{ou} \quad H = (8 \pm 4) \times 10^2\text{ km}\cdot\text{s}^{-1}\cdot\text{Mpc}^{-1}}

   Résultat

   $$H=(8,1\pm 4,1)\times 10^2\text{ km}\cdot {\text{s}}^{-1}\cdot {\text{Mpc}}^{-1}\text{ou}H=(8\pm 4)\times 10^2\text{ km}\cdot {\text{s}}^{-1}\cdot {\text{Mpc}}^{-1}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8CentraleSupélec Physique-Chimie 1 MPI 2024, Q12

   La régression linéaire de la vitesse v par la distance d est nettement plus pertinente que le calcul de la moyenne de H, pour plusieurs raisons majeures :

   • Instabilité numérique et biais liés aux faibles distances :
     Dans le premier traitement, on calcule H_i = v_i / d_i. Pour les galaxies très proches (d faible, par exemple d \approx 0{,}03\text{ Mpc} pour les Nuages de Magellan), une faible distance au dénominateur amplifie de façon disproportionnée les incertitudes de mesure et les vitesses propres des galaxies (mouvements gravitationnels locaux indépendants de l'expansion cosmique). Cela conduit à des valeurs extrêmes et aberrantes de H (jusqu'à plus de 8\,500\text{ km}\cdot\text{s}^{-1}\cdot\text{Mpc}^{-1}), ce qui tire artificiellement la moyenne vers le haut et donne un écart-type gigantesque (\sigma \approx 1\,989\text{ km}\cdot\text{s}^{-1}\cdot\text{Mpc}^{-1} > \text{moyenne}).
   • Adéquation avec le modèle physique :
     La loi de Hubble-Lemaître prédit une relation linéaire v = H d. La régression linéaire (méthode des moindres carrés) recherche la droite minimisant la somme des résidus au carré sur la vitesse \sum (v_i - (H d_i + v_0))^2. Chaque mesure de vitesse intervient avec un poids équitable, sans amplification artificielle aux petites distances.
   • Validation globale du modèle :
     La régression linéaire fournit une pente de 454\text{ km}\cdot\text{s}^{-1}\cdot\text{Mpc}^{-1} et une ordonnée à l'origine faible (-40{,}8\text{ km}\cdot\text{s}^{-1}), cohérente avec une droite passant au voisinage de l'origine (les écarts à zéro s'expliquant par les vitesses propres locales).

   \boxed{\text{La régression linéaire de } v \text{ par } d \text{ est le traitement le plus pertinent.}}

   Résultat

   $$\text{La reˊgression lineˊaire de }v\text{ par }d\text{ est le traitement le plus pertinent.}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9CentraleSupélec Physique-Chimie 2 MPI 2023, Q12

   Sur la figure 5, les contours des chiffres et symboles présentent des crénelages dont chaque « marche » correspond à un pixel (ou à un sous-pixel). Pour limiter l'incertitude de lecture, on mesure la longueur L occupée par une rangée de N_p pixels consécutifs.

   En effectuant la mesure sur le document :

   • Pour une série de N_p = 10 pixels le long d'un bord crénelé, on mesure à la règle :

     L \approx 7{,}8\text{ mm} \quad (\text{soit environ } 0{,}8\text{ mm par pixel sur le cliché}).

   La photographie étant agrandie d'un facteur G = 10, la taille réelle a d'un pixel sur l'écran s'écrit :

   a = \frac{L}{G \cdot N_p}

   Numériquement :

   a = \frac{7{,}8\text{ mm}}{10 \times 10} = 0{,}078\text{ mm} = 78\ \mu\text{m}

   Estimation de l'incertitude-type u(a) :

   La mesure de L est réalisée avec une règle graduée au millimètre. En tenant compte des deux pointés et du flou inhérent aux bords des pixels sur l'impression, on estime raisonnablement l'incertitude-type de lecture à :

   u(L) \approx 0{,}5\text{ mm}

   Le facteur de grandissement G = 10 et le comptage N_p = 10 étant supposés sans incertitude, l'incertitude-type sur a s'écrit :

   u(a) = \frac{u(L)}{G \cdot N_p} = \frac{0{,}5\text{ mm}}{100} = 5\ \mu\text{m}

   On peut donc conclure :

   \boxed{a = (78 \pm 5)\ \mu\text{m} \approx 80\ \mu\text{m} \quad \text{avec} \quad u(a) \approx 5\ \mu\text{m}}

   Résultat

   $$a=(78\pm 5)\mu \text{m}\approx 80\mu \text{m}\text{avec}u(a)\approx 5\mu \text{m}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

10. Exercice 10CentraleSupélec Physique-Chimie 2 MPI 2023, Q26

    1. Expression littérale de la taille d'un pixel

    D'après la question Q23, la figure d'interférence observée sur l'écran forme un réseau carré de maxima d'éclairement séparés selon chaque axe par l'interfrange :

    i = \lambda_v \frac{f'_2}{a} \iff a = \frac{\lambda_v f'_2}{i}

    2. Détermination expérimentale de l'interfrange i

    Le trou circulaire central sert d'étalon de longueur : son diamètre réel est D_{\text{trou}} = 4{,}0\text{ mm}. Sur la figure 10 :

    • Le diamètre mesuré du trou central sur la figure imprimée vaut d_{\text{trou}} \approx 13{,}5\text{ mm}.

    • La distance mesurée sur 4 interfranges consécutifs (soit entre 5 taches alignées) vaut L_4 \approx 40{,}5\text{ mm}, d'où un interfrange mesuré sur l'image :

      i_{\text{mes}} = \frac{L_4}{4} \approx 10{,}1\text{ mm}

    L'interfrange réel i sur l'écran s'en déduit par proportionnalité :

    i = D_{\text{trou}} \times \frac{i_{\text{mes}}}{d_{\text{trou}}} = 4{,}0 \times \frac{10{,}1}{13{,}5} \approx 3{,}0\text{ mm}

    3. Calcul de la taille a d'un pixel

    Avec \lambda_v = 532\text{ nm} = 532 \times 10^{-9}\text{ m}, f'_2 = 45{,}50\text{ cm} = 0{,}4550\text{ m} et i = 3{,}0\text{ mm} = 3{,}0 \times 10^{-3}\text{ m} :

    a = \frac{532 \times 10^{-9} \times 0{,}4550}{3{,}0 \times 10^{-3}} \approx 8{,}07 \times 10^{-5}\text{ m} \approx 81\ \mu\text{m}

    4. Estimation de l'incertitude-type u(a)

    La grandeur a s'exprime comme un produit/quotient de trois grandeurs indépendantes a = \frac{\lambda_v f'_2}{i}. En appliquant la formule de composition des incertitudes-types fournie en fin d'énoncé :

    \left(\frac{u(a)}{a}\right)^2 = \left(\frac{u(\lambda_v)}{\lambda_v}\right)^2 + \left(\frac{u(f'_2)}{f'_2}\right)^2 + \left(\frac{u(i)}{i}\right)^2

    Les incertitudes relatives sur les données fournies sont :

    • \dfrac{u(\lambda_v)}{\lambda_v} = \dfrac{10\text{ nm}}{532\text{ nm}} \approx 1{,}88\%
    • \dfrac{u(f'_2)}{f'_2} = \dfrac{0{,}30\text{ cm}}{45{,}50\text{ cm}} \approx 0{,}66\%
    • L'incertitude sur la mesure de i est dominée par le repérage des maxima et la lecture sur la figure, que l'on peut estimer à u(i) \approx 0{,}15\text{ mm}, soit \dfrac{u(i)}{i} \approx 5{,}0\%.

    L'incertitude relative globale vaut donc :

    \frac{u(a)}{a} = \sqrt{(0{,}0188)^2 + (0{,}0066)^2 + (0{,}050)^2} \approx 5{,}4\%

    D'où l'incertitude-type absolue :

    u(a) = 81\ \mu\text{m} \times 0{,}054 \approx 4\ \mu\text{m}

    \boxed{a = (81 \pm 4)\ \mu\text{m}}

    5. Comparaison avec la question Q12 (écart normalisé)

    À la question Q12, la mesure directe donnait a_{12} \approx 78\ \mu\text{m} avec une incertitude u(a_{12}) \approx 5\ \mu\text{m}. L'écart normalisé E_n entre ces deux déterminations indépendantes s'écrit :

    E_n = \frac{|a - a_{12}|}{\sqrt{u(a)^2 + u(a_{12})^2}} = \frac{|81 - 78|}{\sqrt{4^2 + 5^2}} = \frac{3}{\sqrt{41}} \approx \frac{3}{6{,}4} \approx 0{,}47

    \boxed{E_n \approx 0{,}5 < 2}

    L'écart normalisé étant nettement inférieur à 2, les deux méthodes de mesure (microscopie directe et diffraction/interférences optiques) sont parfaitement compatibles et cohérentes.

    Résultat

    $$a=(81\pm 4)\mu \text{m}$$

    $$E_n\approx 0,5<2$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question