Feuille d'entraînement : Optique géométrique

Corrigés

1. Exercice 1Banque PT Modelisation PT 2026, Q23

   La discrétisation de la variable d'espace x avec un pas constant \mathrm{d}x donne immédiatement la relation de récurrence :

   x_{n+1} = x_n + \mathrm{d}x

   Pour les fonctions z(x) et \alpha(x), les dérivées au point x_n sont approchées par :

   \begin{aligned} \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}(x_n) &\approx \frac{z_{n+1} - z_n}{\mathrm{d}x} = a_n \\ \frac{\mathrm{d}\alpha}{\mathrm{d}x}(x_n) &\approx \frac{a_{n+1} - a_n}{\mathrm{d}x} = -A\,z_n \end{aligned}

   On en déduit les trois relations de récurrence du schéma d'Euler explicite :

   \boxed{\left\{\begin{aligned} x_{n+1} &= x_n + \mathrm{d}x \\ z_{n+1} &= z_n + a_n\,\mathrm{d}x \\ a_{n+1} &= a_n - A\,z_n\,\mathrm{d}x \end{aligned}\right.}

   Résultat

   $$\{\begin{array}{rl}{x}_{n+1}& =x_n+\mathrm{d}x\\ z_{n+1}& =z_n+a_n\mathrm{d}x\\ a_{n+1}& =a_n-A{z}_n\mathrm{d}x\end{array}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2Banque PT Modelisation PT 2026, Q30

   D'après la loi de réfraction (analogue acoustique de la loi de Snell-Descartes pour la réfraction) :

   \frac{\sin\theta_i}{c_1} = \frac{\sin\theta_t}{c_2} \implies \sin\theta_t = \frac{c_2}{c_1} \sin\theta_i

   Les angles \theta_i et \theta_t étant non orientés et mesurés par rapport à la normale au dioptre, ils appartiennent à l'intervalle \left[0, \frac{\pi}{2}\right].

   Un rayon transmis (ou réfracté) existe si et seulement s'il existe une valeur réelle de \theta_t \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right] vérifiant cette relation, ce qui impose :

   \sin\theta_t \le 1 \iff \frac{c_2}{c_1}\sin\theta_i \le 1

   • Si c_2 \le c_1, le rapport \frac{c_2}{c_1} \le 1, donc pour tout \theta_i \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right], \sin\theta_t \le 1 : la réfraction a toujours lieu.

   • Si c_2 > c_1 (passage vers un milieu de célérité plus élevée), la condition s'écrit :

     \sin\theta_i \le \frac{c_1}{c_2}

   La fonction sinus étant strictement croissante et bijective de \left[0, \frac{\pi}{2}\right] sur [0, 1], et comme \frac{c_1}{c_2} < 1, cette inégalité équivaut à :

   \theta_i \le \theta_c \quad \text{avec} \quad \boxed{\theta_c = \arcsin\left(\frac{c_1}{c_2}\right)}

   Il y a donc transmission si et seulement si \theta_i \le \theta_c. Pour \theta_i > \theta_c, la réfraction devient impossible et il se produit une réflexion totale.

   Résultat

   $${\theta }_c=\arcsin \left(\frac{c_1}{c_2}\right)$$

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3. Exercice 3Banque PT Modelisation PT 2026, Q37

   Si l'on considère que « région 1 » correspond à la modalité 'Region1' de l'attribut region de la table regions, une jointure est nécessaire :

   SELECT profondeur, temperature, salinite
   FROM mesures
   JOIN regions ON mesures.id_region = regions.id_region
   WHERE regions.region = 'Region1'
     AND date = '2025-04-17';

   Si l'on assimile directement la région 1 à l'identifiant id_region = 1, la requête s'écrit de façon équivalente sans jointure :

   SELECT profondeur, temperature, salinite
   FROM mesures
   WHERE id_region = 1
     AND date = '2025-04-17';

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4ENAC Physique MPSI 2026, Q14

   L'objet AB est situé à 25\text{ cm} en avant de la lentille convergente \mathcal{L}_1 (dont la distance focale est f'_1 = 50\text{ cm}), ce qui correspond à :

   \overline{O_1 A} = -25\text{ cm}

   D'après la relation de conjugaison de Descartes avec origine au centre optique :

   \frac{1}{\overline{O_1 A_1}} - \frac{1}{\overline{O_1 A}} = \frac{1}{f'_1}

   On en déduit l'expression de la position de l'image A_1 :

   \begin{aligned} \frac{1}{\overline{O_1 A_1}} &= \frac{1}{\overline{O_1 A}} + \frac{1}{f'_1} \\ &= -\frac{1}{25} + \frac{1}{50} = -\frac{1}{50}\text{ cm}^{-1} \end{aligned}

   Soit :

   \boxed{\overline{O_1 A_1} = -50\text{ cm}}

   L'image est donc virtuelle, située à 50\text{ cm} en amont de la lentille.

   Le grandissement transversal s'écrit :

   \gamma_1 = \frac{\overline{A_1 B_1}}{\overline{AB}} = \frac{\overline{O_1 A_1}}{\overline{O_1 A}} = \frac{-50\text{ cm}}{-25\text{ cm}} = +2

   Avec une taille d'objet \overline{AB} = 1\text{ cm}, la taille de l'image vaut :

   \boxed{\overline{A_1 B_1} = \gamma_1 \overline{AB} = 2\text{ cm}}

   Les propositions B et D sont donc exactes.

   Résultat

   $$\overline{O_1{A}_1}=-50\text{ cm}$$

   $$\overline{A_1{B}_1}={\gamma }_1\overline{AB}=2\text{ cm}$$

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5. Exercice 5Mines-Ponts Physique 2 MP 2026, Q3

   La lumière traverse l'ouverture circulaire du télescope de diamètre D. Le phénomène de diffraction à l'infini (figure d'Airy) donne une tache centrale circulaire dont le demi-angle d'ouverture (rayon angulaire du premier zéro) vaut en ordre de grandeur :

   \theta_{\text{diff}} \sim \frac{\lambda_0}{D} \quad \left(\text{ou plus précisément } \theta_{\text{diff}} = 1{,}22\,\frac{\lambda_0}{D}\right).

   L'ouverture angulaire totale (diamètre angulaire du disque central d'Airy) est donc de l'ordre de 2\theta_{\text{diff}} \sim \frac{2\lambda_0}{D}.

   Dans le plan focal image de la lentille de distance focale f', la taille spatiale caractéristique (rayon) de cette tache de diffraction est :

   R_{\text{tâche}} = f' \theta_{\text{diff}} \sim \frac{\lambda_0 f'}{D}.

   D'après le critère de Rayleigh usuel, deux points sont discernables si la distance séparant leurs images géométriques est au moins égale au rayon de la tache de diffraction (le centre d'une tache coïncidant au plus près avec le premier minimum d'intensité de l'autre) :

   A'B' \ge R_{\text{tâche}}.

   En reprenant l'expression de la distance géométrique établie à la question précédente, A'B' = f'\,\frac{\epsilon}{2}, la condition de résolution s'écrit :

   f'\,\frac{\epsilon}{2} \ge \frac{\lambda_0 f'}{D} \iff \epsilon \ge \frac{2\lambda_0}{D}.

   La résolution angulaire due à la diffraction r_{\text{diff}}, définie comme la plus petite valeur de \epsilon détectable par le télescope (conformément à la question 2), vaut donc :

   \boxed{r_{\text{diff}} = \frac{2\lambda_0}{D}} \quad \left(\text{ou avec le facteur d'Airy : } r_{\text{diff}} = 2{,}44\,\frac{\lambda_0}{D}\right).

   Résultat

   $$r_{\text{diff}}=\frac{2{\lambda }_0}{D}$$

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6. Exercice 6CentraleSupélec Physique-Chimie 1 TSI 2025, Q38

   Les conditions optiques permettant d'obtenir un stigmatisme approché (ainsi qu'un aplanétisme approché) sont les conditions de Gauss. Elles sont au nombre de deux :

   1. Rayons proches de l'axe optique : les rayons lumineux traversent le système optique au voisinage immédiat de l'axe optique (distance à l'axe très faible devant les rayons de courbure des dioptres).
   2. Rayons peu inclinés par rapport à l'axe optique : les angles que font les rayons avec l'axe optique (et avec les normales aux dioptres) sont petits devant 1\text{ rad}, ce qui permet d'utiliser les approximations au premier ordre : \sin \theta \approx \tan \theta \approx \theta.

   Ces rayons sont qualifiés de rayons paraxiaux. En pratique, ces conditions sont réalisées en diaphragmant l'instrument d'optique et en restreignant le champ d'observation.

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7. Exercice 7ENAC Physique MPSI 2025, Q7

   Un système optique centré est afocal si l'image d'un objet situé à l'infini sur l'axe est rejetée à l'infini sur l'axe. Pour une association de deux lentilles minces \mathrm{L}_1 et \mathrm{L}_2, cela impose la coïncidence du foyer principal image de \mathrm{L}_1 avec le foyer principal objet de \mathrm{L}_2 :

   F'_1 = F_2

   La distance entre les centres optiques des deux lentilles s'écrit alors :

   d = \overline{\mathrm{O}_1\mathrm{O}_2} = \overline{\mathrm{O}_1\mathrm{F}'_1} + \overline{\mathrm{F}_2\mathrm{O}_2}

   Or, par définition des distances focales, pour la lentille mince \mathrm{L}_2 de distance focale image f'_2, on a \overline{\mathrm{O}_2\mathrm{F}_2} = -f'_2, soit \overline{\mathrm{F}_2\mathrm{O}_2} = f'_2. On en déduit :

   d = f'_1 + f'_2 = \frac{1}{V_1} + \frac{1}{V_2}

   L'énoncé précise que la lumière se propage de \mathrm{L}_1 vers \mathrm{L}_2, de sorte que la distance algébrique doit être strictement positive :

   d > 0 \iff \frac{1}{V_1} + \frac{1}{V_2} > 0 \iff \frac{1}{V_2} > -\frac{1}{V_1}

   Comme V_2 > 0 et V_1 < 0, la quantité -V_1 = |V_1| est strictement positive. Par décroissance de la fonction inverse sur \mathbb{R}_+^*, l'inégalité précédente équivaut à :

   V_2 < -V_1 \iff V_1 < -V_2

   Cette condition est nécessaire pour pouvoir placer \mathrm{L}_2 après \mathrm{L}_1.

   Par conséquent, seule l'affirmation C est exacte.

   \boxed{\text{Réponse C}}

   Résultat

   $$\text{Reˊponse C}$$

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8. Exercice 8ENAC Physique MPSI 2025, Q8

   Par définition, un système formé de deux lentilles minces coaxiales est afocal si le foyer principal image de la première lentille coïncide avec le foyer principal objet de la seconde :

   \mathrm{F}'_1 = \mathrm{F}_2

   En introduisant ce point par la relation de Chasles, la distance algébrique entre les deux centres optiques s'écrit :

   \begin{aligned} d &= \overline{\mathrm{O}_1\mathrm{O}_2} \\ &= \overline{\mathrm{O}_1\mathrm{F}'_1} + \overline{\mathrm{F}'_1\mathrm{O}_2} \\ &= \overline{\mathrm{O}_1\mathrm{F}'_1} + \overline{\mathrm{F}_2\mathrm{O}_2} \\ &= \overline{\mathrm{O}_1\mathrm{F}'_1} - \overline{\mathrm{O}_2\mathrm{F}_2} \end{aligned}

   Pour une lentille mince plongée dans l'air, le foyer objet et le foyer image sont symétriques par rapport au centre optique, de sorte que \overline{\mathrm{O}_2\mathrm{F}_2} = -f'_2. De plus, \overline{\mathrm{O}_1\mathrm{F}'_1} = f'_1. On a donc :

   d = f'_1 + f'_2

   Comme les vergences sont définies par V_1 = \frac{1}{f'_1} et V_2 = \frac{1}{f'_2}, on en déduit immédiatement :

   \boxed{d = \left(\frac{1}{V_1} + \frac{1}{V_2}\right)}

   La proposition B est donc la réponse exacte.

   Résultat

   $$d=\left(\frac{1}{V_1}+\frac{1}{V_2}\right)$$

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9. Exercice 9Banque PT Physique A PT 2024, Q16

   D'après la question Q15, l'angle de déviation totale s'écrit :

   D(i_1) = 4\arcsin\left(\frac{\sin i_1}{n}\right) - 2i_1 - \pi

   La fonction D(i_1) atteint son maximum D_{\max} pour un angle d'incidence i_{1,\max} \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right] annulant sa dérivée première :

   \left. \frac{\mathrm{d}D}{\mathrm{d}i_1} \right|_{i_1 = i_{1,\max}} = 0

   En utilisant la formule de dérivation d'une fonction composée et le rappel de l'énoncé \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\arcsin x) = \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}, on calcule la dérivée de D(i_1) :

   \begin{aligned} \frac{\mathrm{d}D}{\mathrm{d}i_1} &= 4 \times \frac{\dfrac{\cos i_1}{n}}{\sqrt{1 - \left(\dfrac{\sin i_1}{n}\right)^2}} - 2 \\ &= \frac{4\cos i_1}{\sqrt{n^2 - \sin^2 i_1}} - 2 \end{aligned}

   L'annulation de cette dérivée en i_1 = i_{1,\max} conduit à :

   \frac{4\cos i_{1,\max}}{\sqrt{n^2 - \sin^2 i_{1,\max}}} = 2 \iff 2\cos i_{1,\max} = \sqrt{n^2 - \sin^2 i_{1,\max}}

   Comme i_{1,\max} \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right], \cos i_{1,\max} \geqslant 0. On peut donc élever au carré les deux membres :

   4\cos^2 i_{1,\max} = n^2 - \sin^2 i_{1,\max}

   En remplaçant \cos^2 i_{1,\max} par 1 - \sin^2 i_{1,\max} :

   \begin{aligned} 4\left(1 - \sin^2 i_{1,\max}\right) &= n^2 - \sin^2 i_{1,\max} \\ 4 - 4\sin^2 i_{1,\max} &= n^2 - \sin^2 i_{1,\max} \\ 3\sin^2 i_{1,\max} &= 4 - n^2 \end{aligned}

   Puisque \sin i_{1,\max} \geqslant 0, on obtient directement :

   \boxed{\sin i_{1,\max} = \sqrt{\frac{4 - n^2}{3}}}

   Résultat

   $$\sin i_{1,\max }=\sqrt{\frac{4-n^2}{3}}$$

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10. Exercice 10CentraleSupélec Physique-Chimie 1 MPI 2024, Q15

    L'approximation de Gauss (ou approximation des rayons paraxiaux) repose sur la sélection de rayons lumineux qui vérifient deux conditions géométriques conjointes :

    1. Rayons peu inclinés sur l'axe optique : l'angle d'inclinaison \theta de chaque rayon lumineux par rapport à l'axe optique du système reste très petit devant 1\text{ rad} (\theta \ll 1\text{ rad}), ce qui autorise les approximations au premier ordre \sin\theta \approx \tan\theta \approx \theta.
    2. Rayons proches de l'axe optique : les rayons interceptent les surfaces optiques (dioptres, miroirs) à une distance de l'axe optique très faible devant les rayons de courbure des surfaces et les dimensions caractéristiques du système (faible ouverture).

    Dans ces conditions, les aberrations géométriques d'ouverture et d'inclinaison deviennent négligeables, ce qui assure un stigmatisme approché et un aplanétisme approché.

    Indice, stratégie et pièges de cette question