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Matrices à coefficients dans Z\mathbb{Z} ou Q\mathbb{Q}

5 sous-chapitres · 27 exercices

Sous-chapitres

Propriétés élémentaires0 exercicesSimilitude et Dimension 20 exercicesBornitude et Rigidité0 exercicesEntiers Algébriques0 exercicesIrréductibilité et Trace0 exercices

Exercices

Théorème de Kronecker et polynômes entiers

Matrices à coefficients dans Z\mathbb{Z} ou Q\mathbb{Q}
Kroneckerpolynôme unitaireracines de l'unitéMatrice compagnonRelations coefficients-racines

Matrices entières de dimension 2 d'ordre fini

Matrices à coefficients dans Z\mathbb{Z} ou Q\mathbb{Q}
traceracines de l'unitédiagonalisationPolynôme caractéristiqueDiagonalisabilité

Uniformité de l'ordre des matrices entières

Matrices à coefficients dans Z\mathbb{Z} ou Q\mathbb{Q}
ordre finiViètePPCMRelations coefficients-racinesDiagonalisation

Stabilité de l'anneau des entiers algébriques

Matrices à coefficients dans Z\mathbb{Z} ou Q\mathbb{Q}
entiers algébriquesmatrice compagnonanneauMatrice compagnonSomme de Kronecker

Sous-groupes finis de matrices entières

Matrices à coefficients dans Z\mathbb{Z} ou Q\mathbb{Q}
matrices entièresordre finiréduction modulo pValeurs propresPolynôme caractéristique

Matrices congrues à l'identité et nilpotence

Matrices à coefficients dans Z\mathbb{Z} ou Q\mathbb{Q}
nilpotenceracines de l'unitédiagonalisationSpectrePolynôme caractéristique

Similitude de matrices diagonales à coefficients rationnels

Matrices à coefficients dans Z\mathbb{Z} ou Q\mathbb{Q}
similitudematrice compagnoncorps rationnelsMatrice compagnonDiagonalisabilité

Caractérisation et structure des entiers algébriques

Matrices à coefficients dans Z\mathbb{Z} ou Q\mathbb{Q}
entier algébriqueanneaumatrice compagnonLemme de GaussMatrice compagnon

Périodicité des matrices entières bornées

Matrices à coefficients dans Z\mathbb{Z} ou Q\mathbb{Q}
puissances de matricecoefficients entierssuite bornéePrincipe des tiroirsÉquivalence des normes

Rang minimal et nombres algébriques

Matrices à coefficients dans Z\mathbb{Z} ou Q\mathbb{Q}
corps des rationnelsnombre algébriquematrice compagnonThéorème du rangPolynôme minimal

Ordres des éléments de M2(Z)

Matrices à coefficients dans Z\mathbb{Z} ou Q\mathbb{Q}
ordre multiplicatifmatrices entièresracines de l'unitéPolynôme caractéristiqueTrace

Arithmétique des racines et matrices compagnons

Matrices à coefficients dans Z\mathbb{Z} ou Q\mathbb{Q}
matrice compagnonpolynôme caractéristiqueentiersMatrice compagnonThéorème de l'image spectrale

Matrices entières trigonalisables de trace maximale

Matrices à coefficients dans Z\mathbb{Z} ou Q\mathbb{Q}
TraceDéterminantValeurs propresPolynôme caractéristiqueRacines rationnelles

Matrices entières et diagonalisabilité

Matrices à coefficients dans Z\mathbb{Z} ou Q\mathbb{Q}
GLn(Z)déterminantpolynôme caractéristiqueFormule de la comatriceIrréductibilité dans Q[X]

Inversibilité et arithmétique matricielle

Matrices à coefficients dans Z\mathbb{Z} ou Q\mathbb{Q}
déterminantentierspolynômeDéterminantPolynômes

Somme des coefficients et matrices d'ordre 6

Matrices à coefficients dans Z\mathbb{Z} ou Q\mathbb{Q}
ordregroupe linéairerationnelPolynôme caractéristiqueTrace

Équation A^p = I dans M_p(Q)

Matrices à coefficients dans Z\mathbb{Z} ou Q\mathbb{Q}
polynôme cyclotomiqueirréductibilitéEisensteinCritère d'EisensteinPolynôme minimal

Diagonalisation modulo p d'une matrice entière

Matrices à coefficients dans Z\mathbb{Z} ou Q\mathbb{Q}
réduction modulo ppolynôme minimalBézoutPolynôme annulateurRelation de Bézout

Inversibilité dans l'anneau des matrices entières

Matrices à coefficients dans Z\mathbb{Z} ou Q\mathbb{Q}
déterminantentierscomatriceFormule de la comatricePropriétés du déterminant

Inversibilité et nilpotence dans l'anneau entier

Matrices à coefficients dans Z\mathbb{Z} ou Q\mathbb{Q}
anneau ZtriangulairenilpotenceSérie de NeumannMatrices strictement triangulaires

Matrices d'ordre fini à coefficients entiers de Gauss

Matrices à coefficients dans Z\mathbb{Z} ou Q\mathbb{Q}
entiers de Gaussracines de l'unitépolynôme caractéristiqueCoefficients et racinesDiagonalisabilité

Irréductibilité et structure de l'algèbre Q[A]

Matrices à coefficients dans Z\mathbb{Z} ou Q\mathbb{Q}
Eisensteinpolynôme minimalsous-espace stableCritère d'EisensteinLemme de Gauss

Similitude matricielle sur Q et Z

Matrices à coefficients dans Z\mathbb{Z} ou Q\mathbb{Q}
similitudecorps Qanneau ZPolynôme caractéristiqueÉquation AP=PB

Clôture algébrique des rationnels

Matrices à coefficients dans Z\mathbb{Z} ou Q\mathbb{Q}
nombres algébriquesextension finiecorps algébriquement closDimension finieThéorème de Cayley-Hamilton

Famille de Krylov et irréductibilité sur Q

Matrices à coefficients dans Z\mathbb{Z} ou Q\mathbb{Q}
rationnelsfamille librepolynôme irréductibleRacines rationnellesPolynôme minimal local

Théorème de Fermat pour la trace

Matrices à coefficients dans Z\mathbb{Z} ou Q\mathbb{Q}
tracecongruencecorps finiMorphisme de FrobeniusPetit théorème de Fermat

Ordre fini dans GL2(Q)

Matrices à coefficients dans Z\mathbb{Z} ou Q\mathbb{Q}
ordre d'une matricerationnelspolynôme cyclotomiquePolynôme minimalPolynôme caractéristique