BCE Maths approfondies HEC/ESCP ECG 2025, épreuve 2Sujet, corrigé et rapport du jury

Épreuve de maths approfondies - ECG 2025

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Source : document officiel du concours. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Description

Annale de maths approfondies BCE HEC/ESCP pour la filière ECG, session 2025.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

Sujet en PDF

Conception : ESCP BS - HEC Paris
MATHÉMATIQUES 2 APPROFONDIES
FILIÈRE ÉCONOMIQUE ET COMMERCIALE
VOIE GÉNÉRALE

Vendredi 25 avril 2025, de 14 h. à 18 h.

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Aucun document n'est autorisé. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

Notations et rappels -

-Toutes les variables aléatoires sont définies sur le même espace probabilisé $(Ω, A, ℙ)$ .
-Si $Z$ est une variable aléatoire réelle, on note $𝔼(Z)$ son espérance et $𝕍(Z)$ sa variance, si elles existent.
-On note $φ$ et $Φ$ les fonctions définies pour tout $x \in ℝ$ par :

φ(x) = 1/(\sqrt(2π))exp(- (x^2)/2), Φ(x) = \int_(- \infty)^x φ(t)dt.

-On rappelle que la fonction Gamma est définie pour tout réel $x > 0$ par :
$Γ(x) = \int_0^(+ \infty)t^(x - 1)e^(- t) dt$
et vérifie, pour tout réel $x > 0, Γ(x + 1) = xΓ(x)$ .
-
Pour les programmes Python, on dispose d'un petit formulaire à la fin du sujet. On importe aussi les bibliothèques suivantes :
```
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy.random as rd
```
-Le mot FIN marque la fin de l'énoncé.

Première partie

Soit

(X_i)_(i \in ℕ^*)

une famille de variables aléatoires mutuellement indépendantes, chacune de loi normale

N(0, 1)

. On suppose que

X_i(ω) \neq 0

pour tout

i \in ℕ^*

et tout

ω \in Ω

. On définit, pour tout entier

n \in ℕ^*, S_n = \sum_(i = 1)^n X_i^2

La loi de

S_n

est appelée loi du khi-deux à

n

degrés de liberté, et on notera

S_n↪χ^2(n)

. On pose aussi, pour tout entier

n \in ℕ^*, W_n = 1/2S_n

1.(a) Montrer que pour tout $n \in ℕ^*, S_n$ admet une espérance et calculer $𝔼(S_n)$ . On admet que $𝔼(S_n^2)$ existe pour tout $n \in ℕ^*$ .
- (b)Écrire une fonction Python simul (n) qui renvoie une réalisation de $S_n$ lorsqu'on lui fournit un entier naturel non nul n en entrée.
- (c)
  On exécute ensuite le programme suivant :
```
def f(n, N):
    t = 0
    for k in range(N):
        t = t + simul(n)**2
    return t/N - n**2
A = np.arange(1,10)
B = np.zeros(9)
for n in A:
    B[n-1] = f(n, 50000)
plt.plot(A, B, "*k")
plt.grid()
plt.show()
```
  On obtient la figure ci-contre.
  Que peut-on conjecturer sur la variable aléatoire $S_n$ ?
  Expliquer ce qui motive votre conjecture.

2.(a) Montrer que $W_1$ est une variable aléatoire à densité et déterminer une densité de $W_1$ .
- (b)En déduire la valeur de $Γ(1/2)$ .
- (c)En déduire que pour tout $n \in ℕ^*, W_n$ suit la loi gamma $γ(n/2)$ .
- (d)Retrouver alors la valeur de $𝔼(S_n)$ et déterminer la valeur de $𝕍(S_n)$ .
3.(a) Montrer que, pour tout entier $n, n \geq 3, 1/(W_n)$ admet une espérance et que
$𝔼(1/(W_n)) = (Γ(n/2 - 1))/(Γ(n/2)).$
En déduire que $𝔼(1/(S_n)) = 1/(n - 2)$ .
- (b)Déduire de la question précédente que, pour tout entier $n, n \geq 3, 1/(\sqrt(S_n))$ admet une espérance.

Soit

Y

une variable aléatoire indépendante des

(X_k)_(k ⩾ 1)

et de loi

N(0, 1)

. Pour tout

n ⩾ 1

, on pose :

T_n = Y/(\sqrt(S_n/n)).

La loi de

T_n

est appelée loi de Student de paramètre

n

et on note

T_n↪T(n)

.
On admet que

T_n

est une variable aléatoire à densité possédant une densité strictement positive et continue sur

ℝ

4.Soit $α \in ]0, 1[$ . Montrer l'existence et l'unicité d'un réel $t_(n, α)$ tel que $ℙ(|T_n| \leq t_(n, α)) = 1 - α$ .
5.(a) Montrer que, pour tout $n$ entier, $n ⩾ 3, 𝔼(T_n)$ existe et vaut 0 .
- (b)Montrer que, pour tout $n$ entier, $n ⩾ 3, 𝕍(T_n)$ existe et vaut $n/(n - 2)$ .
- (c)En déduire que, pour tout $n$ entier, $n ⩾ 3, 𝔼((T_n - Y)^2) = (2n - 2)/(n - 2) - \sqrt(2n)𝔼(1/(\sqrt(W_n)))$ .
6.Pour tout $n$ entier, $n ⩾ 2$ , on pose : $u_n = 𝔼(1/(\sqrt(W_n)))$ .
- (a)Montrer que la suite $(u_n)_(n ⩾ 2)$ est décroissante et déterminer la valeur de $u_2$ .
- (b)Montrer que, pour tout entier $n, n ⩾ 2$ , on a $u_(n + 1) \cdot u_n = 2/(n - 1)$ .
- (c)Écrire une fonction Python d'entête suite_u(n) qui renvoie sous la forme d'un tableau numpy les n - 1 valeurs $u_2, u_3, \dots, u_n$ .
- (d)
  On exécute ensuite le programme suivant :
```
U = suite_u(80)
V = np.arange(2,81)
plt.plot(V,V*U**2,".k")
plt.grid()
plt.show()
```
  On obtient la figure suivante :

Que peut-on conjecturer concernant la suite

(u_n)_(n ⩾ 2)

(e)Montrer que $u_n \sim _(n \to + \infty)\sqrt(2/n)$ .

Montrer que la suite $(T_n)_(n ⩾ 2)$ converge en probabilité vers $Y$ .

Deuxième partie

Dans cette partie, on démontre le résultat suivant :

Théorème : Soient

X, Y

deux variables aléatoires indépendantes, chacune de loi normale

N(0, 1)

. Les variables aléatoires

(X + Y)/(\sqrt2)

(X - Y)/(\sqrt2)

sont alors indépendantes et de loi normale

N(0, 1)

Pour la preuve, on fera appel au résultat suivant qu'on utilisera sans preuve :

Théorème : Soient

X, Y

deux variables aléatoires indépendantes, de densités respectives

f

g

. Soit

A \subset ℝ^2

une partie fermée. Alors :

𝟙 ℙ((X, Y) \in A) = \int_(- \infty)^(+ \infty)(\int_(- \infty)^(+ \infty)𝟙_A(x, y)f(x)dx)g(y)dy

où

𝟙 𝟙_A(x, y)

vaut 1 si

(x, y) \in A

et vaut 0 sinon.
Soient

a, b \in ℝ

fixés jusqu'à la fin de cette partie. On considère la partie

A \subset ℝ^2

définie par :

A = {(x, y) ∈ ℝ^2|x + y ≤ a et x − y ≤ b}.

On pose également

c = (a + b)/2, d = (a - b)/2

.
Soient

X

Y

deux variables aléatoires indépendantes, chacune de loi normale

N(0, 1)

.
On pose

W = (X + Y)/(\sqrt2)

Z = (X - Y)/(\sqrt2)

8.Dessiner la partie $A$ dans le cas où $a = 2, b = - 1$ .
9.Soit $y$ un réel tel que $y \geq d$ .
- (a)Montrer que $(x, y) \in A$ si et seulement si $x \in ] - \infty, a - y$ ].
- (b)En déduire que
  $𝟙 \int_(- \infty)^(+ \infty)𝟙_A(x, y)φ(x)dx = Φ(a - y)$
10.Montrer de la même façon que pour tout $y \leq d$ on a
$𝟙 \int_(- \infty)^(+ \infty)𝟙_A(x, y)φ(x)dx = Φ(b + y)$
11.(a) Montrer que $A$ est une partie fermée de $ℝ^2$ .
(b) Montrer que
$ℙ((X, Y) \in A) = \int_0^(+ \infty)(φ(d + z) + φ(d - z))Φ(c - z)dz$
12.Montrer que :
$ℙ((X, Y) \in A) = \int_0^(+ \infty)(\int_(- \infty)^c(φ(d + z) + φ(d - z))φ(t - z)dt)dz$
On admet pour la suite que l'on peut changer l'ordre d'intégration dans la formule précédente, c'est-à-dire que l'on a :
$ℙ((X, Y) \in A) = \int_(- \infty)^c(\int_0^(+ \infty)(φ(d + z) + φ(d - z))φ(t - z)dz)dt$
13.Montrer que pour tous $u, v$ réels on a : $φ(u)φ(v) = φ((u + v)/(\sqrt2))φ((u - v)/(\sqrt2))$ .
14.Montrer que :
$ℙ((X, Y) \in A) = 1/(\sqrt2)\int_(- \infty)^c(φ((t + d)/(\sqrt2))Φ((t - d)/(\sqrt2)) + φ((t - d)/(\sqrt2))Φ((t + d)/(\sqrt2)))dt.$
15.Montrer que :
$ℙ((X, Y) \in A) = Φ((c + d)/(\sqrt2))Φ((c - d)/(\sqrt2)).$
16.Conclure quant à l'objectif de cette partie.

Soit

n \in ℕ

tel que

n \geq 2

. On munit l'espace vectoriel

ℝ^n

du produit scalaire euclidien standard que l'on notera

⟨ \cdot, \cdot ⟩

. On considère une base orthonormée

(a_1, \dots, a_n)

ℝ^n

telle que

a_1 = 1/(\sqrtn)(1, \dots, 1)

17.Soit $x = (x_1, \dots, x_n) \in ℝ^n$ . On pose $x¯ = (x_1 + \dots + x_n)/n$ .
- (a)Montrer que : $\sum_(k = 2)^n⟨x, a_k⟩a_k = (x_1 - x¯, \dots, x_n - x¯)$ .
- (b)En déduire que : $\sum_(k = 2)^n⟨x, a_k⟩^2 = \sum_(i = 1)^n(x_i - x¯)^2$ .

Soient

X_1, \dots, X_n

des variables aléatoires mutuellement indépendantes, chacune de loi normale

N(0, 1)

. On pose

X = (X_1, \dots, X_n)

. Pour

k \in [ [1, n] ]

, on note

⟨X, a_k⟩

la variable aléatoire

Y_k

définie pour tout

ω \in Ω

par

Y_k(ω) = ⟨X(ω), a_k⟩

. Quitte à modifier les

Y_k

sur un ensemble de probabilité nulle, on peut supposer que

Y_k(ω) \neq 0

pour tout

ω \in Ω

et tout

k \in [ [1, n] ]

Dans le reste du problème on utilisera sans preuve le théorème de Cochran :

Théorème : Les variables aléatoires

Y_1, \dots, Y_n

sont mutuellement indépendantes, chacune de loi normale

N(0, 1)

18.(a) Retrouver le résultat de la deuxième partie à l'aide du théorème de Cochran.
- (b)Soit $(β_1, β_2) ∈ ℝ^2 − {(0, 0)}$ . Montrer que les variables aléatoires $R_1 = X_1 + X_2$ et $R_2 = β_1 X_1 + β_2 X_2$ sont indépendantes si et seulement si $Cov(R_1, R_2) = 0$ .
19.On introduit les variables aléatoires :
$X¯ = (X_1 + \dots + X_n)/n, U = \sum_(i = 1)^n(X_i - X¯)^2.$
- (a)Donner la loi de $X¯$ .
- (b)Exprimer $X¯$ et $U$ à l'aide des variables aléatoires $Y_k, k \in [ [1, n] ]$ .
- (c)Montrer que $X¯$ et $U$ sont indépendantes et que $U$ suit la loi $χ^2(n - 1)$ .

On suppose pour la fin de ce problème que

Z = (Z_1, \dots, Z_n)

est un

n

-uplet de variables aléatoires mutuellement indépendantes, chacune de loi normale

N(μ, σ^2)

avec

σ > 0

où

(μ, σ^2)

est inconnue. On pose :

Z¯ = (Z_1 + \dots + Z_n)/n, V = \sum_(i = 1)^n(Z_i - Z¯)^2.

Comme précédemment, on pourra supposer que

V(ω) \neq 0

pour tout

ω \in Ω

20.(a) Pour $i \in [ [1, n] ]$ , on pose $X_i = (Z_i - μ)/σ$ . On pose de plus $X¯ = (X_1 + \dots + X_n)/n$ et $U = \sum_(i = 1)^n(X_i - X¯)^2$ . Exprimer $V$ en fonction de $U$ et $σ$ .
- (b)En déduire que $1/(n - 1)V$ est un estimateur sans biais de $σ^2$ .
- (c)Montrer que $(Z¯ - μ)/(\sqrt(V/(n(n - 1))))$ suit la loi de Student $T(n - 1)$ .
21.Soit $α \in ]0, 1[$ et $t_(n - 1, α)$ le réel tel que $ℙ(|T| \leq t_(n - 1, α)) = 1 - α$ lorsque $T↪T(n - 1)$ . Construire, en fonction de $Z¯, V, n$ et $t_(n - 1, α)$ , un intervalle de confiance de $μ$ au niveau de confiance $1 - α$ .
Dans la pratique, les valeurs $t_(n - 1, α)$ sont tabulées et permettent ainsi la construction d'intervalles de confiance non asymptotiques pour des modèles gaussiens.

I. Mathématiques générales

import numpy as np

np.pi	Renvoie une valeur approchée de $π$ .
np.linspace(a, b, n)	Crée une matrice ligne de n valeurs uniformément réparties entre a et b (inclus).
np.zeros([n,m])	Crée la matrice nulle de taille $n \times m$ .
np.zeros(n)	Crée la matrice ligne nulle de taille $n$ .
np.arange(a,b,eps)	Renvoie la liste des flottants de a à b (non compris) de pas constant eps.
np.shape (M)	Donne la taille de la matrice $M$ sous forme d'un tuple (couple).

II. Simulations probabilistes

import numpy.random as rd

`rd.exponential (a, [q,r]) rd.exponential (a, n)`	Simule une réalisation d'une matrice (resp d'un vecteur) aléatoire de dimension $(q, r)$ (resp $n$ ) dont les coefficients sont des variables aléatoires indépendantes qui suivent la loi $E(1/a)$ .
`rd.normal(m,d,[q,r]) rd. normal (m, d, n)`	Simule une réalisation d'une matrice (resp d'un vecteur) aléatoire de dimension $(q, r)$ (resp $n$ ) dont les coefficients sont des variables aléatoires indépendantes qui suivent la loi $N(m, d^2)$
`rd.gamma(m,a,[q,r]) rd.gamma(m,a,n)`	Simule une réalisation d'une matrice (resp d'un vecteur) aléatoire de dimension $(q, r)$ (resp $n$ ) dont les coefficients sont des variables aléatoires indépendantes qui suivent la loi $Γ(m, a)$ .

III. Graphiques

import matplotlib.pyplot as plt

plt.plot(X,Y,options)	Génère la courbe des points définis par les listes $X$ et $Y$ suivant les options graphiques définies par la chaîne de caractère options.
plt.grid()	Affiche le quadrillage
plt.show()	Affiche le graphique.

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