CAPES physique-chimie troisième concours 2023, épreuve écriteSujet et rapport du jury

CONCOURS EXTERNE ET TROISIÈME CONCOURS ET CAFEP ET CORRESPONDANTS

INFORMATION AUX CANDIDATS

• -Concours externe du CAPES de l'enseignement public :

• -Concours externe du CAFEP/CAPES de l'enseignement privé :

• -Troisième concours du CAPES de l'enseignement public :

• -Troisième concours CAFEP/CAPES de l'enseignement privé :

Épreuve à dominante chimie

PARTIE A : COMPOSITION DE PHYSIQUE

Observations de l'atmosphère : du sol à l'espace

• IAu sol
• II Dans les airs
• III Depuis l'espace

• -indice de réfraction de l'air : n_(air) = 1, 00;
• -constante des gaz parfaits : R = 8, 31 J ⋅ K^(− 1) ⋅ mol^(− 1);
• -masses molaires atomiques : M_O = 16 g ⋅ mol^(− 1); M_(He) = 4, 0 g ⋅ mol^(− 1); M_N = 14 g ⋅ mol^(− 1);
• -la composition de l'air est supposée connue du candidat;
• -rayon de la Terre : R_T = 6, 37 × 10^3 km;
• -inclinaison de l'axe de la Terre par rapport au plan de l'écliptique : 23,5°;
• -constante universelle de gravitation : G = 6, 67 × 10^(− 11) N ⋅ m^2 ⋅ kg^(− 2);
• -masse de la Terre : M_T = 5, 97 × 10^(24) kg;
• -nombre d'ouverture NO d'un objectif d'appareil photographique : NO = (f^′)/D, rapport de sa distance focale image f^′ au diamètre D de son diaphragme d'ouverture supposé circulaire ;
• -la valeur de la célérité de la lumière dans le vide est supposée connue du candidat.

I Au sol

Radars météorologiques

• (a)Définir la notion d'onde progressive.
• (b)Donner une expression générale de la grandeur vibratoire modélisant une onde plane progressive sinusoïdale de fréquence f et de célérité c se propageant selon l'axe (Ox) dans le sens des x croissants.

On considère que l'émetteur du radar émet une onde électromagnétique sinusoïdale de longueur d'onde λ = 10, 7 cm et est situé en un point O. La zone de précipitation est supposée être en mouvement uniquement horizontal rectiligne en direction du radar à la vitesse constante v; elle se rapproche donc du radar. Les ondes sont émises par le radar horizontalement et en direction de la zone de précipitation, à la célérité c. On suppose que v≪c.

• Q2.Une méthode de caractérisation de la zone de précipitation consiste à étudier le décalage en fréquence entre l'onde électromagnétique émise par le radar, de fréquence f_e, et l'onde électromagnétique que le radar reçoit après rétrodiffusion sur les précipitations, de fréquence f_r.
  • (a)Comment s'appelle cet effet de décalage en fréquence?
  • (b)Établir l'expression de la fréquence f_e^′ de l'onde électromagnétique émise par le radar mesurée dans le référentiel lié à la zone de précipitation en fonction de f_e, de v et de c.
  • (c)On admet que, dans le référentiel lié à la zone de précipitation, l'onde électromagnétique reçue est réémise en direction du radar avec la même fréquence f_e^′. Déterminer l'expression de la fréquence f_r de l'onde électromagnétique finalement reçue par l'antenne du radar après un aller-retour.
  • (d)En déduire que le décalage en fréquence Δf = f_r − f_e a pour expression au premier ordre en v/c : Δf = 2f_e v/c.

• Q3.Pour effectuer la mesure du décalage en fréquence, on souhaite obtenir après traitement un signal électrique dont la fréquence est égale au décalage déterminé à la question précédente. Pour cela on réalise un traitement en deux étapes : un circuit multiplieur réalise le produit du signal électrique qui alimente l'émetteur (fréquence f_e ) et du signal électrique généré par la réception de l'onde électromagnétique par le radar (fréquence f_r ), puis un filtre permet d'obtenir le signal souhaité.
  • (a)Montrer que le spectre du signal électrique obtenu en sortie du multiplieur est composé de deux termes : un terme à la fréquence f_r − f_e = Δf et un terme à la fréquence f_e + f_r. Quel type de filtrage peut-on mettre en œuvre pour isoler le terme spectral souhaité?
  • (b)On montre à la figure 1 une simulation du chronogramme du signal électrique finalement obtenu. Par lecture de la courbe, déterminer la valeur de la vitesse horizontale de la zone de précipitation. Commenter.

Figure 1 - Simulation du signal électrique obtenu après traitement.

• Q4.(a) On note d la distance entre le radar et la zone de précipitation au moment où une impulsion donnée atteint la zone de précipitation et est rétrodiffusée. Exprimer la durée Δt de l'allerretour de cette impulsion en fonction de la célérité c de l'onde et de la distance d. Quelle est l'expression de la distance maximale d_(max) que l'on peut déterminer sans ambiguïté avec ce radar?

Figure 2 - Principe de l'émission pulsée : pendant une durée τ une impulsion d'onde sinusoïdale de fréquence f_e est émise. Deux impulsions sont séparées d'une durée T_(RI) qui représente le temps de répétition des impulsions. Les échelles ne sont pas respectées. On admet que τ≪T_(RI).

• (b)Afin de déterminer la vitesse de la zone de précipitation, on réalise pour chaque impulsion un traitement en deux étapes similaire à celui déjà détaillé à la question Q3 : un circuit multiplieur réalise le produit d'un signal électrique de référence de même fréquence f_e que celui qui alimente l'émetteur et du signal électrique généré par la réception par le radar de l'impulsion électromagnétique de fréquence f_r, puis un filtre permet d'obtenir le signal souhaité, de fréquence Δf = 2v/cf_e. En raison du caractère pulsé de l'onde électromagnétique reçue par le radar, le signal acquis pour chaque impulsion a une durée τ et la répétition des acquisitions pour des impulsions consécutives permet d'obtenir un signal échantillonné dont la période d'échantillonnage est T_(RI).
  Rappeler l'inégalité que doivent respecter la fréquence f_s d'un signal et la fréquence d'échantillonnage f_(RI) pour que f_s puisse être déduite sans ambiguïté d'une analyse du signal échantillonné.
  Quelle est l'expression de la vitesse maximale v_(max) déterminable sans ambiguïté?
• (c)Déduire des questions précédentes que la détermination sans ambiguïté de la distance et de la vitesse impose un compromis sur le temps de répétition des impulsions T_(RI).
• (d)D'après l'Organisation météorologique mondiale, en dehors des ouragans et cyclones la plupart des phénomènes météorologiques ont une vitesse inférieure à 50 m ⋅ s^(− 1).
  À quelle distance maximale peut-on les observer avec un radar à émission pulsée de longueur d'onde 10,7 cm?

II Dans les airs

Ballons-sondes ouverts

• (a)Rappeler les hypothèses qui fondent le modèle du gaz parfait puis l'équation d'état du gaz parfait.
• (b)Déterminer la valeur de la masse d'hélium présente dans l'enveloppe du ballon quand il est au sol à la température T_0 et à la pression p_0.

• (a)Quelle est l'origine physique de la poussée d'Archimède?
• (b)L'enveloppe qui contient l'hélium a un volume constant V_0 et on considère l'hélium à l'équilibre thermodynamique avec l'atmosphère extérieure. Déterminer l'expression de la poussée d'Archimède que le système constitué de l'enveloppe et de l'hélium qu'elle contient subit au sol en fonction notamment de la masse molaire de l'air M_(air) et de l'intensité du champ de pesanteur g.
• (c)On néglige les effets de la poussée d'Archimède sur les parties autres que l'enveloppe contenant le gaz. On note m^′ la masse des équipements, c'est-à-dire la masse totale exceptée celle de l'hélium. Déterminer la valeur maximale de la masse des équipements pour que le ballon puisse décoller.

• (a)Montrer que l'altitude z^∗ à laquelle s'annule la force ascensionnelle résultant du poids et de la poussée d'Archimède est déterminée par l'équation
  (p(z^∗))/(T(z^∗)) = (m^′ R)/(V_0(M_(air) − M_(He)))
  où p et T sont respectivement la pression et la température atmosphériques.

• (b)À l'aide de la courbe (p(z))/(T(z)) = f(z) de la figure 3, déterminer si la valeur de l'altitude z^∗ est suffisante pour obtenir un profil vertical complet de la troposphère.
• (c)Avec les hypothèses du modèle précédent, l'altitude du ballon oscillerait en fait autour de z^∗ puisque la force ascensionnelle change de sens de part et d'autre de cette altitude. Citer un phénomène qui finit en réalité par atténuer ces oscillations.

Figure 3 - Évolution du rapport de la pression en bar sur la température en kelvin en fonction de l'altitude en mètre. Données Météo-France.

Modélisation de la troposphère

• Q8.Démontrer que le principe fondamental de la statique des fluides s'exprime par la relation grad^(→−)(p) = ρg⃗ où p est la pression, ρ la masse volumique du fluide et g⃗ = − gu⃗_z le champ de pesanteur.
• Q9.En déduire l'expression de la pression atmosphérique en fonction de l'altitude pour une atmosphère modélisée par un gaz parfait isotherme dans un champ de pesanteur uniforme.

• Q10.Pour évaluer l'influence de l'hypothèse « pesanteur uniforme », estimer la variation relative de l'intensité de pesanteur entre un point situé à la surface du globe terrestre supposé à répartition de masse sphérique et un point à une altitude de 12 km. Conclure.

Figure 4 - Comparaison entre le profil vertical en pression mesuré (données Météo-France) et la prévision dans le cadre modèle du gaz parfait isotherme dans un champ de pesanteur uniforme.

• Q11.On propose un modèle d'atmosphère à gradient de température constant : (dT)/(dz) = − a, où a est une constante positive.
  • (a)En déduire l'expression de T(z) en prenant z = 0 pour l'altitude du sol.
  • (b)En supposant que la pesanteur est uniforme, démontrer que l'expression de la pression en fonction de l'altitude peut se mettre sous la forme p = p_0(1 − αz)^β où α et β sont deux constantes dont on donnera les expressions en fonction de a, T_0, M_(air), g et R.
  • (c)On réalise un ajustement numérique des paramètres α et β de l'expression précédente à partir des pressions mesurées expérimentalement. L'ajustement mène aux estimations suivantes : α = 2, 1 × 10^(− 5) m^(− 1) et β = 5, 6. En déduire la valeur de a. Commenter.
  • (d)À l'aide de développements limités, montrer qu'à très basse altitude le modèle isotherme et le modèle à gradient de température prévoient des évolutions de la pression avec l'altitude similaires.
• Q12.On souhaite tester la compatibilité du modèle à gradient de température avec les mesures.
  • (a)Pour le capteur de pression utilisé chaque valeur mesurée de la pression p est dans un intervalle [p − 2, 0hPa; p + 2, 0hPa]. Déterminer l'expression de l'incertitude-type sur une valeur mesurée de p dans le cadre d'un modèle de probabilité uniforme (modèle rectangulaire).
  • (b)On représente à la figure 5 la courbe des écarts entre les prévisions du modèle à gradient de température et les mesures. Après avoir énoncé un critère de compatibilité entre le modèle et les mesures, discuter de cette compatibilité à l'aide de la courbe de la figure 5.

Figure 5 - Courbe des écarts entre les prévisions du modèle à gradient de température et les mesures.

III Depuis l'espace

Surface visible depuis un satellite géostationnaire

• (a)Expliquer pourquoi un satellite géostationnaire a forcément une orbite circulaire contenue dans le plan équatorial terrestre.
• (b)Déterminer la valeur de l'altitude h d'un satellite terrestre en orbite géostationnaire.

• (a)En considérant que la partie de la Terre visible depuis le satellite est limitée par un faisceau partant du satellite et dont les extrémités sont tangentes à la sphère terrestre, déterminer l'expression de la latitude maximale observable en fonction de son altitude h et du rayon terrestre R_T.
• (b)Sous les hypothèses précédentes est-il possible d'observer depuis un satellite géostationnaire les pôles géographiques? Des régions situées au-delà des cercles polaires?
• (c)Montrer que la fraction de l'aire de la surface terrestre visible depuis un satellite géostationnaire est donnée par %_S = 1/2h/(R_T + h). Effectuer l'application numérique.

Balayage d'un satellite héliosynchrone à orbite polaire

• Q15.On note T la période de révolution du satellite, déterminer l'expression de la longueur de l'arc parcouru dans le référentiel géocentrique pendant une révolution du satellite par un point situé à la surface de la Terre à la latitude θ.
• Q16.Expliquer pourquoi un point situé à une latitude moyenne n'est dans la zone observée en phase montante que deux fois par jour.

Résolution d'un imageur satellitaire

• Q17.Quelle est la résolution de l'imageur, c'est-à-dire la distance minimale séparant deux points à la surface de la Terre formant des images séparées sur le capteur? Le candidat est invité à prendre des initiatives et à présenter la démarche suivie, même si elle n'a pas abouti.

• Q18.Définir en termes généraux en quoi consiste la diffraction.
• Q19.On considère un faisceau lumineux monochromatique de longueur d'onde λ issu d'un point objet A_0 situé à l'infini et limité par une ouverture plane circulaire de diamètre D. On forme, dans le plan d'un capteur, une image A_i de A_0 grâce à une lentille mince convergente située après l'ouverture circulaire. Le plan du capteur est située à une distance f^′ du plan de la lentille. On pourra se référer à la figure 6.
  • (a)Décrire la figure de diffraction observée dans le plan du capteur.

• (b)
  Donner une relation entre λ, f^′ et D permettant de déterminer un ordre de grandeur de la largeur ΔX_i de la tache centrale de diffraction dans le plan du capteur.
  

  Figure 6 - Faisceau lumineux incident, ouverture circulaire, lentille et plan du capteur.
• Q20.Dans le cas de l'imageur satellitaire étudié, l'objectif utilisé possède un nombre d'ouverture de 5,6 et le capteur est sensible à la lumière pour des longueurs d'onde comprises entre 350 et 790 nm.
  • (a)Est-il pertinent de tenter d'améliorer la résolution en jouant sur la taille des pixels du capteur? Justifier.
  • (b)Proposer d'autres pistes pour améliorer la résolution.

PARTIE B : COMPOSITION DE CHIMIE

POLLUANTS DE L'ATMOSPHÈRE

• -les oxydes d'azote ;
• -les composés organiques volatils COVs;
• -le dioxyde de soufre.

Table des matières

1 Les oxydes d'azote

1.1 Titrage à l'aide d'un tube échantillonneur

Figure 1 - Méthode de Griess-Saltzman.

Figure 2 - Mécanisme de substitution électrophile aromatique.

1.2 Dosage par chimiluminescence

Figure 3 - Courbe d'étalonnage de l'intensité du courant détecté en fonction de la teneur en monoxyde d'azote. ppb signifie « partie par milliards » : 1 ppb correspond à 1 molécule pour 1 milliard de molécules dans le mélange gazeux.

2 Les composés organiques volatils, COVs

2.1 Synthèse de l'ETBE

2.2 Méthode de la cinétique relative

2.3 Application à l'étude de l'ETBE

Figure 5 - Cinétique relative de la dégradation de l'ETBE par les radicaux hydroxyle par rapport au n-hexane. La distinction entre les symboles ronds et triangles ne sera pas prise en compte.

3 Le dioxyde de soufre

3.1 Synthèse du trioxyde de soufre

Figure 6 - Courbes représentant l'évolution du quotient réactionnel Q_r et de la constante d'équilibre K^∘ en fonction du taux d'avancement.

Figure 7 - Bilan de fonctionnement du premier lit.

3.2 Dosage par fluorescence

Figure 8 - Intensité de fluorescence mesurée en fonction de la teneur en dioxyde de soufre. ppb signifie « partie par milliards » : 1 ppb correspond à 1 molécule pour 1 milliard de molécules dans le mélange gazeux.

3.3 Titrage conductimétrique

Figure 9 - Courbe de titrage conductimétrique.

4 Annexes

4.2 Données thermodynamiques

4.3 Évaluation des incertitudes de mesure

4.4 Code et instructions Python

# Importer la fonction logarithme et le tracé de courbe
import math
import matplotlib.pyplot as plt
# Position du problème
# On cherche l'état final pour une transformation modélisée par
# la réaction d'équation SO_2(g) + 1/2 0_2(g) = S0_3(g)
n0= 1 # Quantité de matière de gaz à l'entrée n0 en mol
nSO2_0=0.09*n0 # mol
nO2_0=0.12*n0 # mol
nSO3_0=0 # mol
ntot 0=n0 # mol
P=1.2 # bar
K = 9.54
# Fonction quotient réactionnel
def Qr(x) :
    return (????????) #
# Fonction taux d'avancement
def alpha(x) :
    return((nSO3_0+x)/(nSO2_0))
#Intervalle de définition de l'avancement
xi = 0 #avancement initial
ximax= min(??????????) #avancement maximal
Q = Qr(xi) # quotient réactionnel initial|
dxi = le-3
x=[]
y=[]
# Comparaison de Ka et Qr
if Q < K :
    while Q < K :
        t=alpha(xi)
        x.append(t)
        y.append(Q)
        xi=xi+dxi
        Q=Qr(xi)
elif Q > K :
    while Q > K :
        t=alpha(xi)
        x.append(t)
        y.append(Q)
        xi=xi-dxi
        Q=Qr(xi)
else :
    print("Le système est initialement à l'équilibre")
#Visualisation graphique
plt.plot(x,y,"r-",label="Qr")
plt.xlabel("taux d'avancement")
plt.ylabel("quotient réactionnel Qr")
plt.ylim(0,20)
plt.xlim(0,1)
plt.axhline(y=K, label="K")
plt.legend()
plt.show()

4.5 Fiches de données de sécurité

Extrait de la Fiche de Données de Sécurité de l'ETBE

Extrait de la Fiche de Données de Sécurité de l'éthanal

Extrait de la Fiche de Données de Sécurité du méthanal

H226 - Liquide et vapeurs inflammables
H301 + H311 + H331 - Toxique par ingestion, par contact cutané ou par inhalation
H314 - Provoque de graves brûlures de la peau et de graves lésions des yeux
H317 - Peut provoquer une allergie cutanée
H335 - Peut irriter les voies respiratoires
H341 - Susceptible d'induire des anomalies génétiques
H350 - Peut provoquer le cancer
H370 - Risque avéré d'effets graves pour les organes

Tous les documents réponses sont à rendre, même non complétés.

4.6 Document-réponse

Courbe de titrage