CAPLP physique-chimie troisième concours 2023, épreuve écriteSujet et rapport du jury

INFORMATION AUX CANDIDATS

• Concours externe du CAPLP de l'enseignement public :
  Partie mathématiques

• Concours externe du CAFEP/CAPLP de l'enseignement privé :
  Partie mathématiques

Concours	Section/option	Epreuve	Matière
Partie Physique-Chimie
Concours	Section/option	Epreuve	Matière
E|F|F

• 3 ^(ème) Concours du CAPLP de l'enseignement public :
  Partie mathématiques

Concours	Section/option	Epreuve	Matière
Partie Physique-Chimie
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EIFIV	1/3/1/5/J	1|0/1|B	017/25

• 3^(ème) Concours du CAPLP de l'enseignement privé :
  Partie mathématiques

Concours	Section/option	Epreuve	Matière
Partie Physique-Chimie
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ÉPREUVE ÉCRITE DISCIPLINAIRE

PARTIE 1 : MATHÉMATIQUES

Exercice 1

• 1.Un fabriquant de gâteaux souhaite faire des offres promotionnelles.

• 2.Un domino est constitué de deux cases, chaque case contenant un nombre de points compris entre 0 et 6 . Exemples de dominos :
  

  

• 3.Soit (u_n) la suite définie par u_0 = 1, 5 et, pour tout n ∈ ℕ, u_(n + 1) = 2/(3 − u_n).

• 4.Soit k un nombre entier naturel non nul. On pose pour tout réel x, f_k(x) = x − 2 + ke^(− x) et on note C_k sa courbe représentative.
  On admet que pour tout entier naturel k non nul, la fonction f_k admet un minimum et on appelle A_k le point de la courbe C_k correspondant.

• 5.Un sujet de physique est créé par l'un des trois professeurs M. Lavoisier, M. Newton et M. Galilée. Statistiquement, on sait que 35 % des sujets sont écrits par M. Lavoisier, 40 % sont écrits par M. Newton et que les autres sujets sont écrits par M. Galilée.
  Les étudiants savent que 20 % des sujets écrits par M. Lavoisier traitent de la relativité, que la moitié des sujets écrits par M. Newton portent sur le thème de la relativité et que 80 % des sujets écrits par M. Galilée portent sur le thème de la relativité.

• 6.La fonction f désigne une fonction définie sur ℝ qui vérifie, pour tous réels x et y,
  f(x + y) = f(x) + f(y)
  et telle que lim_(h → 0)(f(h))/h = 1.

• 7.On considère l'équation différentielle 4y^(′′) − 12y^′ + 9y = 1.

• 8.Le plan est muni d'un repère orthonormé (0; i⃗, j⃗).
  On considère la droite d d'équation paramétrique {x = 1 − 2t; y = 5 − t, t ∈ ℝ et le cercle C de centre Ω(5; 2) et de rayon 4.

• 9.Soit (u_n) une suite définie par u_0 = 2 et u_(n + 1) = (u_n)/(1 + u_n).

• 10.Soit l'ensemble E des matrices carrées de taille 2 × 2 à coefficients réels.

• 11.On considère la proposition suivante : « Si deux matrices B et C carrées de taille 3 × 3 sont égales, alors pour toute matrice A carrée de taille 3 × 3, on a A × B = A × C ».

Exercice 2

Partie 1 : La fonction sinus

• 1.Le plan est muni d'un repère orthonormé ( 0; ı⃗, ȷ⃗ ).
  On note (C) le cercle trigonométrique de centre O et M_x le point de (C) tel que x soit une mesure en radian de l'angle orienté (l⃗; OM_x^(→−)).
  Rappeler la définition des nombres cos(x) et sin(x) pour tout x réel.

• 2.Montrer que l'aire d'un triangle dont on connaît l'un des angles θ et les longueurs α et β des côtés adjacents à cet angle est égale à (αβsinθ)/2.
• 3.Sur la figure ci-contre, a et b désignent les mesures en radian des angles (AC^(→−); AH^(→−)) et (AH^(→−); AB^(→−)) et u, v et w sont respectivement les longueurs AC, AH et AB. En vous appuyant sur cette figure, démontrer à l'aide
  

  

  
  de la question précédente l'égalité suivante : sin(a + b) = sin(a)cos(b) + sin(b)cos(a) pour tous réels positifs a et b vérifiant 0 < a + b < π.
• 4.À l'aide de l'exponentielle complexe, montrer que l'égalité de la question 3 est vraie pour tous les réels a et b.

Partie 2 : Étude d'une fonction

• 5.
  • a.Montrer que la fonction f est 2π-périodique et impaire sur ℝ.
  • b.Montrer que pour tout t ∈ [0; π/2], f(π/2 − t) = f(π/2 + t).
  • c.Justifier que l'étude de la fonction f peut être limitée à l'intervalle [0, π/2].
• 6.Dresser le tableau de variation de la fonction f sur l'intervalle [0, π/2] et en déduire celui de f sur l'intervalle [ − π, π].
• 7.Déterminer l'équation des tangentes à la courbe respectivement aux points d'abscisse 0, d'abscisse π/4, puis d'abscisse π/2.
• 8.Démontrer que la fonction f admet un unique point d'inflexion sur l'intervalle [0, π/2].
• 9.Représenter une allure de la courbe C de la fonction f sur l'intervalle [ − π, π].
• 10.En utilisant la méthode des rectangles à gauche et à droite avec 5 rectangles dont la longueur de la base est de π/(10), donner un encadrement de ∫_0^(π/2)sin^5 x dx.

• 11.On utilise la méthode des rectangles avec n rectangles dont la longueur de la base est de π/(2n). Préciser ce qu'il faut écrire à la place du mot TEXTE dans l'algorithme ci-contre, écrit en langage Python, afin d'obtenir une valeur approchée par défaut du nombre ∫_0^(π/2)sin^5 x dx. II n'est pas demandé ici d'en calculer une valeur approchée.

12. Les premiers termes.

• a.Calculer S_0 et S_1.
• b.Soit x ∈ ℝ. Exprimer sin^2(x) en fonction de cos(2x) et en déduire la valeur de S_2.
• c.Après avoir justifié que, pour tout réel x, on a sin^3(x) = sin(x) − sin(x)cos^2(x), calculer la valeur de S_3.

13. Sens de variation de la suite.

• a.Justifier que pour tout nombre réel x appartenant à l'intervalle [0; π/2] et tout entier naturel n, on a : 0 ≤ sin^(n + 1)(x) ≤ sin^n(x).
• b.En déduire que la suite (S_n)_(n ∈ ℕ) est convergente.

14. Limite de la suite.

• a.Démontrer, à l'aide d'une intégration par parties, que pour tout entier naturel n,
  S_(n + 2) = (n + 1)/(n + 2)S_n.
• b.Montrer que la suite (R_n)_(n ∈ ℕ) définie par R_n = (n + 1)S_n S_(n + 1) est constante et donner la valeur de cette constante.
• c.En déduire que (S_n)_(n ∈ ℕ) a pour limite 0.

15. Application aux calculs des termes.

• a.À l'aide de la relation de récurrence trouvée précédemment, retrouver la valeur de S_3 déjà obtenue à la question 12.
• b.Donner l'expression générale de S_n selon la parité de n.

Partie 4 : Une loi de probabilité

• a.Rappeler la formule générale du binôme de Newton.
• b.Développer l'expression (e^(it) − e^(− it))^5.
• c.En déduire que pour tout réel x,
  sin^5(x) = 1/(16)sin(5x) − 5/(16)sin(3x) + 5/8sin(x)
• d.En déduire une primitive de la fonction g sur l'intervalle [0; π].

• a.Montrer que ∫_0^π g(x)dx = 1.
• b.En déduire que g définit la fonction densité de probabilité d'une variable aléatoire à densité.

• a.Pour tout nombre k réel non nul, déterminer l'expression de l'intégrale ∫_0^π xsin(kx)dx.
• b.En déduire l'espérance de X.

PARTIE 2 : PHYSIQUE-CHIMIE

Thème d'étude : en se brossant les dents

• -de montrer sa maîtrise du corpus de savoirs disciplinaires en physique-chimie adapté à l'enseignement en lycée professionnel ;
• -de montrer ses capacités à s'approprier et analyser les informations fournies ;
• -de montrer sa capacité à communiquer par écrit de manière précise et adaptée, tant dans l'utilisation de la langue française que dans l'utilisation du langage scientifique (utilisation d'un vocabulaire précis et adapté, maîtrise de l'écriture des résultats numériques).

Dossier documentaire (documents 1 à 7)
Le dossier documentaire est organisé en une collection de documentations scientifiques et techniques liée au thème du sujet.

• Travail à réaliser par le candidat (questions 1 à 46)

• Documents réponses partie physique-chimie (documents réponses partie physique-chimie 1 à 3)

DOSSIER DOCUMENTAIRE

Documentations scientifiques et techniques

D'après B. Fosset (dir), Chimie PC-PC*, Éd. Dunod, 2006

D'après https://parlonssciences.ca

Document 3 : expérience avec un miroir de maquillage
L'objet est placé sur un banc d'optique.

(-)-menthol

Spectre infrarouge de la molécule de menthol

Document 5 : colorant E133 dans le bain de bouche

Absorbance du E133 dans le bain de bouche en fonction de la lonqueur d'onde

Absorbance du E133 à 630 nm en fonction de sa concentration en masse

Le rayon r, en fonction de la hauteur de chute z,
peut être calculé et les résultats comparés à l'expérience. La photographie, ci-contre, montre un écoulement d'eau et, superposée, la solution analytique obtenue.

Traitement des mesures expérimentales

• -L'hydroxyapatite, Ca_5(PO_4)_3 OH_((s)), cristallise dans un système hexagonal avec pour paramètres de maille a = 942pm et c = 688pm.
• -Nombre d'Avogadro : N_A = 6, 02 ⋅ 10^(23) mol^(− 1).
• -Masses molaires atomiques :

• -
  Tableau de données de spectroscopie infrarouge :

  Liaison	O-H libre	O-H liée	C_(tétragonal) − H	C_(trigonal) − H aldéhyde	C = O aldéhyde	C=C
  Nombre d'onde σ(cm^(− 1))	3500 à 3700	3200 à 3400	2500 à 3200	2750 à 2900	1650 à 1730	1640 à 1680
  Intensité	forte fine	forte large	Forte	moyenne	forte	moyenne

• -Numéros atomiques :
  Z(C) = 6; Z(F) = 9; Z(Sn) = 50.
• -À un pH d'environ 5, dans la salive :
  [Ca^(2 +)] = 1 ⋅ 10^(− 3) mol ⋅ L^(− 1); [H_2 PO_4^−] = 1 ⋅ 10^(− 3) mol ⋅ L^(− 1) et [F^−] = 1 ⋅ 10^(− 5) mol ⋅ L^(− 1).
• -Constantes de solubilité à 37 °C :
  • -hydroxyapatite : K_(s_1)(Ca_5(PO_4)_3 OH_((s))) = 1 ⋅ 10^(− 57);
  • -fluorapatite : K_(s_2)(Ca_5(PO_4)_3 F_((s))) = 1 ⋅ 10^(− 60).
• -Constantes d'acidité de l'acide phosphorique H_3 PO_4 à 37 °C :
  pK_(a_1) = 1, 9; pK_(a_2) = 6, 8; pK_(a_3) = 11, 7.
• -Produit ionique de l'eau à 37^∘C : K_e = 2, 4 ⋅ 10^(− 14).
• -Pouvoir rotatoire spécifique du (-)-menthol : [α]_D^(20) = + 49, 5^∘ ⋅ dm^(− 1) ⋅ g^(− 1) ⋅ cm^3.
• -Intensité du champ de pesanteur : g = 9, 8 m ⋅ s^(− 2).
• -Viscosité dynamique de l'eau à 20^∘C : η_(eau) = 1, 0 ⋅ 10^(− 3) Pa ⋅ s.
• -Masse volumique de l'eau à 20^∘C : ρ_(eau) = 1, 0 ⋅ 10^3 kg ⋅ m^(− 3).

TRAVAIL À RÉALISER PAR LE CANDIDAT

• 1.On note N le nombre de motifs dans la maille élémentaire de la structure hexagonale. Justifier que N = 2.
• 2.Exprimer la masse volumique théorique ρ_(HAp) de l'hydroxyapatite. En déduire sa valeur numérique.
• 3.En pratique, on observe des variations dans la valeur de la masse volumique de l'hydroxyapatite. Expliquer à l'aide du document 1.
• 4.Citer une méthode expérimentale utilisée pour déterminer les paramètres de maille d'une structure cristalline.

• 5.Donner le diagramme de prédominance associé à l'acide phosphorique H_3 PO_4.
• 6.Écrire les expressions des constantes d'acidité K_(a_2) et K_(a_3) associées à cet acide.
• 7.Écrire l'équation de dissolution de l'hydroxyapatite en milieu aqueux.
• 8.À l'aide du document 2, indiquer le pH minimal atteint après un repas.

• 9.Montrer que l'expression littérale de la constante d'équilibre K_1^∘ associée à la réaction (1) en fonction de K_(s_1), du produit ionique de l'eau K_e et des constantes d'acidité utiles de l'acide phosphorique est :
  K_1^∘ = (K_(s_1))/(K_e × K_(a_2)^3 × K_(a_3)^3)
• 10.Donner l'expression littérale puis calculer le quotient de réaction Q_1 de la réaction (1) pour la salive à un pH de 5 (document 7).
• 11.Conclure sur le sens de l'évolution de la réaction (1). Vérifier si le résultat est en accord avec la courbe de Stephan (document 2).

• 12.Montrer pourquoi l'utilisation d'un dentifrice « au fluor » prévient l'apparition de caries dentaires. II est attendu un raisonnement quantitatif sur la stabilité de la fluorapatite à un pH de 5.

Partie B : face au miroir

• -d la distance de la personne au miroir ;
• - l la hauteur du miroir ;
• -A le sommet de la tête ;
• -O la position des yeux ;
• -B le bas du buste ;
• -P les pieds.

On supposera l'épaisseur du miroir plan négligeable.

• 13.Représenter, sur le document réponse 1, l'image A^′ B^′ du buste AB donnée par le miroir.
• 14.Déterminer l'expression littérale de la hauteur l du miroir pour que la personne ne voie que son buste AB.
• 15.Préciser si l'on peut accrocher le miroir à n'importe quelle hauteur à partir du sol.
• 16.Indiquer si la personne peut voir une partie plus importante de son corps si elle recule.

• 17.Rappeler en quoi consiste l'approximation de Gauss.
• 18.Préciser si la personne doit utiliser un miroir concave ou un miroir convexe pour observer cette dent droite et agrandie. Pour répondre à la question, effectuer le tracé des rayons sur le document réponse 2 en faisant figurer au moins deux rayons particuliers sur chaque exemple proposé. On notera AB la dent-objet et A^′ B^′ l'image de cette dent donnée par le miroir.
• 19.On note R le rayon de courbure du miroir. À l'aide des données du document 3, donner la valeur du rayon de courbure du miroir grossissant avec l'incertitude-type associée.

• 20.Déterminer la distance SA_1^– pour que l'image de la dent soit à l'infini.
• 21.Déterminer la distance SA_2^– pour que l'image de la dent soit au punctum proximum de l'œil, droite et agrandie. On considèrera que A_2 A_2^′^– = d_(pp) = 25, 0 cm.

• 22.Déduire des questions précédentes la latitude de mise au point associée à ce miroir.

Partie C : le bain de bouche

C.1. Le fluor

• 23.Donner la configuration électronique de l'ion fluorure. Proposer une explication à sa stabilité particulière.
• 24.Proposer une formule de Lewis associée au fluorure stanneux sans charge formelle. On rappelle que l'étain, Sn, est dans la même colonne de la classification périodique que le carbone.
• 25.Justifier que le fluorure stanneux est un acide au sens de Lewis.

C.2. Le (-)-menthol

• 26.Interpréter succinctement le spectre infra-rouge de la molécule du (-)-menthol présenté au document 4.
• 27.Préciser la signification du symbole « (-) » présent dans le nom usuel (-)-menthol.

• 28.Indiquer ce que signifient les mentions « D » et « 20 » dans l'écriture [α]_D^(20).
• 29.Proposer une méthode pratique permettant de vérifier que le pouvoir rotatoire spécifique du (-)-menthol est de - 49,5° au lieu de +310,5°.
• 30.Sur le document réponse 3, entourer les centres stéréogènes du (-)-menthol.
• 31.Identifier le descripteur stéréochimique (R ou S), de l'un des centres stéréogènes au choix du (-)-menthol. Justifier la réponse.
• 32.Justifier pourquoi la conformation chaise du (-)-menthol, proposée dans le document 4, est la plus stable.

C.3. Le colorant E133

• 33.Justifier, à partir de sa formule topologique, que cette molécule est un colorant.
• 34.En utilisant l'étoile chromatique et le spectre d'absorption (document 5), indiquer la couleur du colorant E133 en solution.
• 35.Rappeler la loi de Beer-Lambert en précisant la signification des différents termes et leurs unités. Donner une condition de validité de cette loi.
• 36.Préciser pourquoi on choisit en général la longueur d'onde pour laquelle l'absorbance est maximale lorsqu'on utilise la loi de Beer-Lambert dans divers protocoles expérimentaux.
• 37.Estimer la concentration en masse de E133 dans le bain de bouche (document 5).

Partie D : un filet d'eau

• 38.L'écoulement d'eau est supposé incompressible. Préciser la conséquence de cette hypothèse sur le débit volumique φ_v.
• 39.Proposer un protocole expérimental permettant d'accéder à la valeur numérique du débit volumique φ_v associé au filet d'eau.
• 40.Déterminer un ordre de grandeur du nombre de Reynolds pour l'écoulement étudié dans le document 6 . En déduire si ce sont les effets de la viscosité ou ceux de la convection qui prédominent dans cet écoulement.

41. Définir un « écoulement parfait ».
42. Donner la signification des termes ( a ) et ( b ) qui apparaissent dans l'équation d'Euler.

• 43.En intégrant l'équation d'Euler le long de cette ligne de courant, retrouver la relation de Bernoulli pour un écoulement parfait, stationnaire, incompressible et homogène dans le champ de pesanteur uniforme :
  (v_A^2)/2 − gz_A + (P_A)/ρ = (v_B^2)/2 − gz_B + (P_B)/ρ
  Le champ des vitesses du filet d'eau est dorénavant approché par la forme v⃗ = v(z)e_z→ (toute composante horizontale de la vitesse est négligée, ainsi que la non uniformité éventuelle de sa valeur sur n'importe quelle section de l'écoulement).
• 44.Montrer à partir de la relation de Bernoulli précédente, et sachant que la pression est continue à l'interface eau-air, que :
  v(0)^2 = v(z)^2 − 2gz

45. Déterminer l'expression de 1/(r^4) en fonction de z, g, φ_v et du rayon initial r_0 du filet d'eau.

Le document 6 propose un traitement des mesures expérimentales en considérant la représentation de 1/(r^4) en fonction de z : au nuage des points expérimentaux est superposée une régression affine et le tracé des résidus (ou écarts) normalisés est fourni.
46. Discuter l'accord de la loi obtenue à la question précédente avec l'expérience du document 6.

DOCUMENTS RÉPONSES PARTIE PHYSIQUE-CHIMIE

Document réponse 1

Document réponse 2
On note S le sommet, C le centre de courbure, Δ l'axe de révolution, R le rayon de courbure tel que R = SC^– et F le foyer du miroir.

Document réponse 3