CAPLP physique-chimie troisième concours 2024, épreuve écriteSujet et rapport du jury

CAPLP
CONCOURS EXTERNE et 3^(ème) CONCOURS et CAFEP CORRESPONDANTS

SECTION : MATHÉMATIQUES - PHYSIQUE-CHIMIE

EPREUVE ECRITE DISCIPLINAIRE

ÉPREUVE ÉCRITE DISCIPLINAIRE

INFORMATION AUX CANDIDATS

• Concours externe du CAPLP de l'enseignement public :
  Partie mathématiques

• Concours externe du CAFEP/CAPLP de l'enseignement privé :
  Partie mathématiques

• 3^(ème) Concours du CAPLP de l'enseignement public :
  Partie mathématiques

• 3^(ème) Concours du CAPLP de l'enseignement privé :
  Partie mathématiques

PARTIE 1 : MATHÉMATIQUES

Exercice 1

• 1.Soit f une fonction continue sur [0; + ∞[ telle que f(0) = 0 et lim_(x → + ∞)f(x) = 2.
  Proposition : La fonction f est croissante sur [0; + ∞[.
• 2.On propose la configuration ci-contre où AB = 8, BC = 13, AD = 8 et DE = 5. Le quadrilatère ABFD est un carré.
  Proposition : Les points E, F et C sont alignés.
• 3.On considère la fonction f définie sur ]0; π[ par f(x) = (cos(x) − 1)/(sin^2(x)).
  Proposition : lim_(x → 0)f(x) = − 1/2.
• 4.Soit f la fonction définie par f(x) = ln(x^2 + 2x − 3).
  Proposition : La fonction f n'est définie que pour x > 1.
• 5.On considère l'équation différentielle (E) : y^(′′) − 2y^′ + y = 0.
  Proposition : Toute solution de (E) sur ℝ est de la forme x ↦ λxe^x, où λ est un réel donné.
• 6.On considère la matrice M = (− 1, − x; x, 4), où x est un réel.
  Proposition : Si x > 2, alors la matrice M est inversible.
• 7.Dans le plan complexe, on considère les points A(− 2i), B(− 2 + 3i) et C(3 + i).
  Proposition : Le triangle ABC est isocèle.
• 8.Soit A et B deux évènements d'un même univers Ω tels que P(A) = 0, 6 et P(B) = 0, 5.
  Proposition : Les évènements A et B ne sont pas incompatibles.

• 9.Une urne contient quatre boules blanches et trois boules noires indiscernables au toucher. On tire trois boules de l'urne, successivement et sans remise.
  Proposition : La probabilité que les deux premières boules tirées soient blanches et la troisième soit noire est 1/6.
• 10.On admet que la taille d'un homme âgé de 25 ans suit la loi normale de moyenne 175 cm et d'écart type 6 cm.
  Proposition : Parmi les hommes de 25 ans mesurant plus de 1,81 m, la proportion de ceux mesurant plus de 1,93 m est environ 1 %.
• 11.Dans le plan euclidien rapporté à un repère orthonormé, on considère le cercle C d'équation (x − 7)^2 + y^2 = 25. Soit D la tangente à C au point A(3;-3).
  Proposition : La droite D passe par l'origine du repère.

Exercice 2

Partie 1 : Étude de la fonction P_2

• 1.Déterminer lim_(x → + ∞)P_2(x).
• 2.Démontrer que pour tout réel x ≥ 0, P_2^′(x) = − 1 + x − x^2 + x^3, puis que P_2^′(x) = (x − 1)(x^2 + 1).
• 3.Établir le tableau de variations de la fonction P_2 sur l'intervalle [0; + ∞[.

Partie 2 : Étude des fonctions P_n

• 4.Déterminer lim_(x → + ∞)P_n(x).

• 5.Calculer la fonction dérivée de P_n et vérifier que pour réel x ≥ 0,
  (x + 1)P_n^′(x) = x^(2n) − 1
• 6.Déterminer les variations de la fonction P_n sur l'intervalle [0; + ∞[.
• 7.En déduire que pour tout entier naturel n ≥ 1, P_n(1) < 0.
• 8.a. Vérifier que pour tout réel x ≥ 0 et pour tout entier naturel n ≥ 1,
  P_(n + 1)(x) = P_n(x) + x^(2n + 1)(x/(2n + 2) − 1/(2n + 1))
  • b.En déduire que pour tout entier naturel n ≥ 2, P_n(2) > 0.
• 9.Pour tout entier naturel n ≥ 1, on note E_n l'équation P_n(x) = 0, d'inconnue x ∈ [1; + ∞[.
  • a.Résoudre l'équation E_1 sur l'intervalle [1; + ∞[.
  • b.Montrer que pour tout entier naturel n ≥ 2, E_n admet une unique solution sur l'intervalle [1; + ∞[ notée x_n et que 1 < x_n < 2.

Partie 3 : Inégalités

• 10.Justifier que, pour tout réel x ≥ 0 et pour tout entier naturel n ≥ 1,
  P_n(x) = ∫_0^x(t^(2n) − 1)/(t + 1) dt
• 11.Calculer l'intégrale
  ∫_0^1 1/(t + 1) dt
• 12.En déduire que
  ∫_0^1(1 − t^(2n))/(t + 1) dt ≤ ln2
• 13.a. Soit n un entier naturel tel que n ≥ 1. Étudier les variations de la fonction g_n définie sur l'intervalle [1; + ∞[parg_n(t) = t^(2n) − 1 − n(t^2 − 1).
  • b.En déduire que, pour tout réel t ≥ 1 et pour tout entier naturel n ≥ 1, on a
    t^(2n) − 1 ≥ n(t^2 − 1)
• 14.En déduire que, pour tout réel x ≥ 1 et pour tout entier naturel n ≥ 1,
  ∫_1^x(t^(2n) − 1)/(t + 1) dt ≥ n/2(x − 1)^2

Partie 4 : Limite de la suite (x_n)

16. Justifier que, pour tout entier naturel n ≥ 1,

17. Montrer en utilisant les questions 12., 15. et 16. que, pour tout entier naturel n ≥ 1, on a

18. Conclure quant à la convergence de la suite (x_n) et à sa limite.

Partie 5 : Limite d'une somme

20. Démontrer que, pour tout entier naturel n ≥ 1,

21. En déduire que la suite ( u_n ) est convergente et préciser sa limite.
22. Soit (v_n) la suite définie pour tout entier naturel n non nul par

• a.Exprimer v_(2n) et v_(2n + 1) en fonction de u_n pour tout entier n ≥ 1.
• b.Déterminer lim_(n → + ∞)v_(2n) puis lim_(n → + ∞)v_(2n + 1).

• d.Montrer, en utilisant les questions 19. et 20., que pour tout n ≥ 1, 0 ≤ u_n + ln2 ≤ 1/(2n + 1).
• e.On souhaite obtenir une approximation à ε près de ln2 à l'aide la suite (− u_n). Écrire un algorithme en langage naturel permettant d'estimer ln2 à une précision ε donnée.
• f.Déterminer le nombre d'itérations n_0 au bout duquel on est certain que − u_(n_0) est une approximation de ln2 à 10^(− 3) près.

PARTIE 2 : PHYSIQUE-CHIMIE

Thème d'étude : La plongée sous-marine

• -de montrer sa maîtrise du corpus de savoirs disciplinaires en physique-chimie adapté à l'enseignement en lycée professionnel ;
• -de montrer ses capacités à s'approprier et analyser les informations fournies ;
• -de montrer sa capacité à communiquer par écrit de manière précise et adaptée, tant dans l'utilisation de la langue française que dans l'utilisation du langage scientifique (utilisation d'un vocabulaire précis et adapté, maîtrise de l'écriture des résultats numériques).

Dossier documentaire (document 1 à document 4)
Le dossier documentaire est organisé en une collection de documents scientifiques et techniques liée au thème du sujet.

• Travail à réaliser par le candidat (question 1. à question 48.)

Documents réponses partie physique-chimie (document réponse partie physique-chimie 1 à document réponse partie physique-chimie 4)

DOSSIER DOCUMENTAIRE

Documentation scientifique et technique

• -Intensité du champ de pesanteur sur Terre : g = 9, 81 m ⋅ s^(− 2).
• -Constante des gaz parfaits : R = 8, 314 J ⋅ K^(− 1) ⋅ mol^(− 1).
• - 1bar = 10^5 Pa; 1 atm = 1, 013 bar.
• -Données relatives à la mer en zone de plongée :
  • ○masse volumique de l'eau de mer : ρ = 1, 02 kg ⋅ L^(− 1);
  • ○pression atmosphérique au niveau de la mer : P_0 = 1 atm;
  • ○équation de la statique des fluides : dans le cas d'un axe (Oz) descendant (voir figure 1),
    P_B − P_A = ρg(z_B − z_A)
  • ○indice de réfraction de l'eau de mer: n = 1, 33.

Figure 1

• Données relatives au plongeur :

• • ○masse du plongeur : m = 80, 0 kg;
    • ○volume total du plongeur V_T(z) à la profondeur z : on suppose que
      V_T(z) = V_0 + V(z)
      avec
    • - V_0 le volume du corps sans la cage thoracique : V_0 = 77, 0 L;
    • - V(z) le volume de la cage thoracique, à la profondeur z, qui contient de l'air dont le volume dépend de cette profondeur ; à la surface, V(0) = V_M = 6, 0 L.

Le néoprène est un polymère fabriqué à partir du monomère chloroprène (composé diénique). L'équation de la polymérisation peut s'écrire :

La mousse de néoprène est obtenue par introduction d'un gaz comme l'azote dans le matériau sous forme de bulles microscopiques (...). Garantissant une bonne résistance thermique, elle est très utilisée dans la fabrication de combinaisons pour les sports en eau vive comme le surf ou la plongée sous-marine, même si elle n'est pas imperméable à 100 %.

• -L'effet Paul Bert (hyperoxie aiguë): l'organisme tolère une pression partielle de dioxygène comprise entre 0,16 bar et 1,6 bar. Si le plongeur respire un mélange gazeux dont la pression partielle en dioxygène dépasse 1,6 bar, son système nerveux est perturbé, ce qui entraîne une crise similaire à une crise épileptique et un risque de noyade.
• -L'ivresse des profondeurs (narcose): ce phénomène apparaît lorsque la pression partielle en diazote dans l'air inhalé dépasse 4 bar. La transmission du message nerveux est ralentie, ce qui entraîne une altération du raisonnement, des variations d'humeur, une perte des repères spatio-temporels et des troubles de la perception visuelle et auditive. Le risque de noyade pour le plongeur est réel et sa remontée est nécessaire.
• -L'accident barotraumatique : plus la pression partielle d'un gaz est grande dans l'air inspiré, plus ce gaz se dissout dans le sang et inversement. Lors de la remontée, la pression partielle du diazote diminue, ce qui entraîne un retour à l'état gazeux d'une grande quantité de diazote qui doit être éliminée lors des expirations. C'est pour cela que le plongeur doit respecter des paliers de décompression : si sa remontée est trop rapide, les bulles de gaz qui se forment dans le sang n'ont pas le temps d'être évacuées et c'est l'accident de décompression.

Figure 3 : Doppler veineux
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TRAVAIL À RÉALISER PAR LE CANDIDAT

Partie A - Un exercice de plongée

Partie A. 1 - La plongée sans bouteille

• 1.À l'aide des informations du document 1, pour une mer en zone de plongée supposée homogène et immobile, montrer que la pression à la profondeur z s'écrit :
  P(z) = P_0 + ρgz
• 2.On entend souvent dire que « la pression augmente de 1 bar lorsque la profondeur augmente de 10 m ». Vérifier cette affirmation.

• • -pour toute profondeur z à laquelle le plongeur peut se trouver, la pression de l'air contenu dans ses poumons est identique à celle de l'eau qui l'environne ;
  • -la température de l'air dans ses poumons est indépendante de la profondeur z et du temps.
• 3.À l'aide des informations du document 1, exprimer le volume V(z) de la cage thoracique du plongeur à la profondeur z en fonction de P_0, V_M, ρ, g et z.

• 4.Effectuer un schéma des forces sur le système { plongeur lesté sans combinaison } supposé à l'équilibre à la profondeur z. Donner la signification physique de chacune de ces forces.
• 5.Exprimer chacune des forces de la question précédente en faisant intervenir les grandeurs utiles parmi les suivantes : g, ρ, m, m_L, V_0 et V(z).

• 6.Exprimer puis calculer la valeur de la masse m_L de lest que doit porter un plongeur sans combinaison pour observer sans se fatiguer des coraux situés à 6 m de profondeur.
• 7.À l'aide du document 2, proposer une explication de l'écart entre la valeur calculée à la question précédente et celle de la masse de lest conseillée dans le cas où le plongeur porte une combinaison en néoprène.

Partie A. 2 - La plongée avec bouteille

• 8.À l'aide du document 3 et de la relation (1), indiquer la valeur de la profondeur limite pouvant être atteinte lors d'une plongée avec une bouteille d'air comprimé (dite « plongée à l'air »), sans risque pour la santé.

• 9.Donner les avantages et les inconvénients de l'utilisation d'un tel mélange. Une discussion chiffrée sera appréciée.

Partie A. 3 - L'efficacité de la décompression

• -fréquence des ultrasons émis : f_0 = 5, 0MHz;
• -célérité des ultrasons : c = 1500 m ⋅ s^(− 1);
• -angle Doppler : θ = 12^∘;
• -diamètre des bulles : d_b = 40μ m;
• -vitesse des bulles : v = 35 cm ⋅ s^(− 1).

10. Montrer que les bulles sont bien de petite taille devant la longueur d'onde de l'onde utilisée.

• 11.Déterminer la valeur de la variation de fréquence Δf pour les bulles de la situation étudiée. Conclure sur la possibilité d'écoute, par une personne formée, d'un signal à cette fréquence comme indiqué dans le document 4.

12. Citer des utilisations pratiques s'appuyant sur l'effet Doppler.

Partie B - L'équipement du plongeur

Partie B. 1 - La matière usuelle des combinaisons de plongée : le néoprène

• 13.Donner le nom du monomère en nomenclature IUPAC.
• 14.Le monomère est obtenu par déshydrochloration en milieu basique de la molécule de 1,2-dichlorobutan-3-ène. Donner la représentation de CRAM des stéréoisomères de cette molécule.
• 15.Indiquer, en justifiant, la configuration absolue du carbone asymétrique pour chacun des stéréoisomères précédents. Préciser la relation de stéréoisomérie entre ces molécules.
• 16.Donner, en justifiant, la stéréochimie de la double liaison dans le motif du polymère.
• 17.Déterminer la valeur de la masse molaire d'un échantillon de néoprène de degré de polymérisation moyen 150.

Partie B. 2 - Les bouteilles de plongée

• 18.Dire quels sont les ions mis en évidence aux extrémités et dans la partie centrale du clou. En déduire les demi-équations redox traduisant les transformations ayant lieu dans chaque zone, ainsi que l'équation de la réaction d'oxydoréduction globale se produisant à la surface du clou.

• 19.Indiquer, dans les encadrés prévus à cet effet sur le document réponse partie physiquechimie 1, les zones anodique(s) et cathodique(s) ainsi que les zones où se déroulent une oxydation ou une réduction. Préciser, sur ce même document, le sens de déplacement des électrons dans le métal.

• 20.Schématiser le dispositif d'électrozincage complet en plaçant l'appareil de mesure permettant de lire l'intensité dans le circuit.
• 21.Expliquer le principe d'une électrolyse en précisant les conversions d'énergie mises en jeu.

• • -constante de Faraday : F = 9, 6 × 10^4 C ⋅ mol^(− 1);
  • -masse volumique du zinc : ρ_(Zn) = 7, 14 g ⋅ cm^(− 3);
  • -masse molaire du zinc : M(Zn) = 65, 4 g ⋅ mol^(− 1).
• 22.Montrer que la durée Δt de l'électrolyse pour effectuer l'électrozincage vérifie la relation :
  Δt = (2Fρ_(Zn)Sd)/(IM(Zn)) avec S = 2a^2
  Calculer la valeur de la durée de l'électrolyse.
• 23.Proposer, à la lumière de ce qui précède, une analyse critique de la technique d'électrozincage envisagée par l'entreprise pour protéger une bouteille de plongée de la corrosion. Tout élément de discussion concret et chiffré sera apprécié.

Partie B. 3 - Une crème solaire de rigueur

L'avobenzone existe à l'état fondamental sous la forme d'un mélange des formes énol et cétone, favorisant généralement l'énol.

• 24.À l'aide d'un schéma, proposer une explication du fait que la forme énol de l'avobenzone est généralement favorisée par rapport à la forme cétone.

• 25.Donner le protocole expérimental pour préparer 100 mL de la solution fille S_4 à l'aide de la solution mère et du matériel usuel d'un laboratoire de chimie.
• 26.Rappeler la loi de la spectrophotométrie utile pour exploiter ces résultats en précisant son nom usuel et en explicitant la signification physique de chaque terme.
• 27.Proposer une raison plausible du choix de concentrations relativement faibles en avobenzone pour les solutions filles.
• 28.Déterminer précisément la valeur du coefficient d'absorption molaire de l'avobenzone en détaillant la méthode utilisée. Conclure sur l'efficacité du filtre.

Partie C - Les effets de la plongée sur la vision, l'ouïe et la température corporelle

Partie C. 1 - La modification de la vision

• 29.Dire à quel défaut de la vue, la vision sous l'eau s'apparente.

• 30.Exprimer puis calculer l'angle de réfraction r par la vitre du rayon issu du point A qui parvient, à terme, à l'œil du plongeur.
• 31.Sans souci d'échelle, tracer l'image A' du point A à travers le système { eau + vitre + air } sur le document réponse partie physique-chimie 2. Indiquer, avec justification, la nature de cette image.
• 32.En se plaçant dans l'approximation des petits angles, montrer que :
  HA^′ = (n_2)/(n_1)HA
  Conclure.

Partie C. 2 - La modification de l'ouïe

Figure 4 : Rayons sonores arrivant aux deux oreilles. Le reste de la tête, délimité en pointillés, et du corps est absent dans le modèle du dipôle.

• -célérités du son dans l'air et dans l'eau : c_(air) = 340 m ⋅ s^(− 1) et c_(eau) = 1500 m ⋅ s^(− 1);
• -distance entre les oreilles : D = 20 cm.

33. Exprimer la différence interaurale en temps Δt en fonction de l'angle d'incidence θ, de la distance D entre les oreilles et de la célérité c du son dans le milieu considéré.
34. Montrer qu'une source située à θ = 90^∘ d'un plongeur dans l'eau est interprétée par son cerveau comme une source à environ 13° dans l'air et que la perception sonore est donc faussée.

• 35.Pour chaque type de milieu de propagation du son, l'air ou l'eau, représenter sur le graphique du document réponse partie physique-chimie 3 le domaine des fréquences f exploitables par le cerveau selon l'angle d'incidence θ. Commenter.

Partie C. 3 - La modification de la température corporelle

• 36.Rappeler brièvement ce que sont chacun de ces trois modes de transferts thermiques en précisant ce qui les distingue.

• 37.Expliquer pourquoi la puissance thermique totale P_(th) dissipée par le plongeur à un instant t s'écrit :
  P_(th) = (T − T_e)/(R_(eq)) avec R_(eq) = R_p + R_c.
• 38.Le métabolisme fournit au plongeur une puissance thermique P_m = 110 W. À l'aide de la question précédente et d'un bilan thermique entre les instants t et t + dt, montrer que la température T du corps du plongeur suit l'équation différentielle :
  (dT)/(dt) + T/τ = (T_ℓ)/τ avec τ = R_(eq)C et T_ℓ = T_e + R_(eq)P_m.
• 39.Déterminer la solution de l'équation différentielle précédente qui respecte la condition initiale T(0) = T_0.
• 40.La température initiale du corps du plongeur est T_0 = 37^∘C. Calculer la valeur de la température du corps au bout de deux heures de plongée. Commenter.

• 41.En utilisant une modification simple du modèle précédent, à expliciter, calculer la nouvelle température du corps au bout de deux heures de plongée. Commenter.

Partie D - L'observation des coraux au cours d'une plongée

• -Concentration standard : c^∘ = 1 mol ⋅ L^(− 1).
• -Couples de l'acide carbonique et valeurs de pK_A à 25 °C :
  • - H_2 CO_(3(aq))/HCO_(3(aq))^−(acide carbonique / ion hydrogénocarbonate) : pK_(A1) = 6, 3;
  • - HCO_(3(aq))^−/CO_(3(aq))^(2 −) (ion hydrogénocarbonate / ion carbonate) : pK_(A2) = 10, 3.
• -Produit de solubilité du carbonate de calcium à 25 °C : pK_S = 8, 3.

42. Placer sur un diagramme les domaines de prédominance des espèces H_2 CO_(3(aq)), HCO_(3(aq))^−et CO_(3(aq))^(2 −) et en déduire l'espèce majoritaire dans les océans. Donner la particularité des ions hydrogénocarbonates.
43. Expliquer pourquoi une plus grande quantité de dioxyde de carbone atmosphérique entraîne l'acidification des océans en explicitant l'équation pertinente de réaction de l'acide carbonique H_2 CO_(3(aq)) avec l'eau.
44. Déterminer la valeur du pourcentage d'augmentation de la quantité d'ions H_3 O_((aq))^+correspondant un abaissement du pH de 0,1 unité.
45. Donner l'équation de la réaction de dissolution du carbonate de calcium CaCO_(3(s)) dans l'eau, ainsi que l'expression du produit de solubilité K_S associé à celle-ci.

47. En déduire la valeur de la quantité de matière supplémentaire de carbonate de calcium dissous par litre d'eau lorsque le pH passe de 8,2 à 8,1 . Identifier le problème pour les coraux.

En toute rigueur, s = [Ca_((aq))^(2 +)] = [H_2 CO_(3(aq))] + [HCO_(3(aq))^−] + [CO_(3(aq))^(2 −)]. Le document réponse partie physique-chimie 4 donne la représentation de pS en fonction du pH.
48. Tracer sur ce document réponse partie physique-chimie 4 la courbe obtenue avec le résultat démontré à la question 46. et comparer les deux graphiques par zones.

DOCUMENTS RÉPONSES PARTIE PHYSIQUE-CHIMIE

• -Déposer dans une boîte de Pétri un clou bien décapé.
• -Verser dans la boîte de Pétri un mélange encore tiède de gel agar-agar, d'eau salée, de phénolphtaléine et d'hexacyanoferrate de potassium, pour recouvrir entièrement le clou.
• -Attendre une quinzaine de minutes que le gel refroidisse et se fige, puis observer.

On rappelle que l'hexacyanoferrate de potassium donne une coloration bleue à la solution en présence d'ions Fe_((aq))^(2 +) et que la phénolphtaléine se colore en rose en milieu basique.

Document réponse partie physique-chimie 2 (question 31)

Document réponse partie physique-chimie 3 (question 35)

Document réponse partie physique-chimie 4 (question 48)