CAPLP physique-chimie troisième concours 2025, épreuve écriteSujet

INFORMATION AUX CANDIDATS

• Concours externe du CAPLP de l'enseignement public :
  Partie mathématiques

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Partie Physique-Chimie
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• Concours externe du CAFEP/CAPLP de l'enseignement privé :
  Partie mathématiques

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• 3^(ème) Concours du CAPLP de l'enseignement public :
  Partie mathématiques

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Partie Physique-Chimie
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• 3^(ème) Concours du CAPLP de l'enseignement privé :
  Partie mathématiques

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Partie Physique-Chimie
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ÉPREUVE ÉCRITE DISCIPLINAIRE

PARTIE 1 : MATHÉMATIQUES

Exercice 1

• 1.On considère l'équation dans C : z^2 − 2iz − 1 + 8i = 0.
  Proposition : Cette équation admet deux solutions complexes dont les parties réelles sont opposées ou nulles.
• 2.On considère un triangle rectangle dont les longueurs des côtés sont trois entiers consécutifs.
  Proposition : Le seul triangle rectangle vérifiant cette condition est celui dont les longueurs des côtés sont respectivement 3, 4 et 5.
• 3.Proposition : Si Julie gagne 20 % de moins que Pauline, alors Pauline gagne 20 % de plus que Julie.
• 4.On considère l'équation différentielle (E) : y^(′′)(t) = y^′(t) + 2y(t)
  Proposition : L'unique solution de (E) sur R telle que y(0) = y^′(0) = 0 est la fonction nulle.
• 5.Soit X et Y deux matrices carrées non nulles de même taille à coefficients réels.
  Proposition : Si XY = 0 alors les matrices X et Y ne sont pas inversibles.
• 6.Un groupe est constitué de 6 filles et 4 garçons. On forme une équipe de cinq personnes, composée de 3 filles et 2 garçons, extraits de ce groupe.
  Proposition : On peut réaliser 120 équipes différentes.
• 7.On considère la fonction f : x ↦ √(x^2 + 3x + 2) − x définie sur l'intervalle [ − 1; + ∞[.
  Proposition : lim_(x → + ∞)f(x) = 3/2.

• 8.Une voiture roule à la vitesse uniforme de 90 km.h^(− 1) pendant 1 h 12 min, puis à 40 km.h^(− 1) pendant une durée inconnue. Sur l'ensemble du trajet, la vitesse moyenne de cette voiture est égale à 50 km.h^(− 1).
  Proposition : La durée inconnue est 4 h 48 min.
• 9.On considère trois suites numériques (u_n), (v_n) et (w_n) définies sur N. On suppose qu'il existe un entier naturel N tel que, pour tout n ≥ N, u_n ≤ v_n ≤ w_n.
  Proposition : Si les suites (u_n) et (w_n) convergent alors la suite (v_n) converge.
• 10.L'espace est muni d'un repère orthonormé ( 0; ı⃗, ȷ⃗, k⃗ ).
  On considère le plan (P) d'équation − 2x + 3y − 6z − 27 = 0 et la sphère (S) de centre A(4; -1; 3) et de rayon 8.
  Proposition : Le plan (P) est tangent à la sphère (S).
• 11.Soit A et B deux événements indépendants.
  Proposition : Les événements A^– et B^– sont des événements indépendants.

Exercice 2

Partie I : Propriétés de la fonction f

• 1.Montrer que :
  ∀n ∈ N, ∀x ∈ R, f(x + 2nπ) = e^(− 2nπ)f(x)
• 2.Expliquer comment, à partir du graphe de la fonction f sur l'intervalle [0, 2π], on peut construire le graphe de la fonction f sur tout intervalle [2nπ, 2(n + 1)π] avec n entier naturel non nul.
• 3.Montrer que : ∀x ∈ R, |f(x)| ≤ g(x).
• 4.Calculer la fonction dérivée de la fonction f.
• 5.En déduire les variations de la fonction f sur l'intervalle [0, 2π].

• 6.On appelle point de contact des courbes C_f et C_g tout point dont l'abscisse x vérifie
  f(x) = g(x)
  Déterminer l'ensemble H des points de contact des courbes C_f et C_g.
• 7.On se propose de montrer que les courbes C_f et C_g ont les mêmes tangentes en tous les points de l'ensemble H.
  • a.Déterminer une équation de la tangente à la courbe C_f en tout point de H.
  • b.Déterminer une équation de la tangente à la courbe C_g en tout point de H et conclure.
• 8.On s'intéresse à la tangente à la courbe C_g au point d'abscisse 0.
  • a.Donner une équation de cette tangente.
  • b.Montrer que cette tangente est au-dessous de la courbe C_g.

Partie II : Dérivation

• 9.Justifier que la fonction f est la partie réelle de la fonction h : x ↦ e^(x(− 1 + i)) définie sur R.
• 10.Pour tout n entier naturel, déterminer la dérivée n-ième de la fonction h.
• 11.Soit n un entier naturel. Écrire (− 1 + i)^n sous forme exponentielle.
• 12.En déduire que, pour tout n entier naturel, la dérivée n-ième de la fonction f, notée f^((n)), est la fonction définie sur R par :
  x ↦ √2^n e^(− x)cos(x + (3nπ)/4)
• 13.Déterminer l'ensemble des entiers naturels n tels que f^((n))(0) = 0.

Partie III : Calcul intégral

• 14.Montrer que la fonction F définie sur R par F(x) = 1/2e^(− x)(− cos(x) + sin(x)) est une primitive de la fonction f.
• 15.Montrer que :
  lim_(A → + ∞)∫_0^A f(x)dx = 1/2

• a.Étudier les variations de la suite (u_n).
• b.Montrer, en utilisant la question 5. que : ∀n ∈ N, u_n ≤ 1.
• c.En déduire la convergence de la suite (u_n).

17. Montrer que u_1 = 1/2(1 + 2e^(− π/2) + 2e^(− (3π)/2) − e^(− 2π))
18. Montrer que :

19. En déduire que :

20. Montrer que :

Partie IV : Équation différentielle

21. Démontrer que f est solution d'une équation différentielle linéaire, du second ordre et à coefficients constants, de la forme :

• 24.En déduire la formule explicite de v_n en fonction de n.
• 25.Soit n un entier naturel. Donner le développement limité à l'ordre n en 0 de la fonction f.
• 26.On note (T_0) la tangente à C_f au point A d'abscisse 0.
  • a.Justifier qu'une équation de (T_0) est :
    y = − x + 1
  • b.Autour du point A, quelle est la position relative de C_f par rapport à (T_0) ? Justifier.
• 27.Soit un entier naturel non nul p. On pose: h = 10^(− p).
  • a.On souhaite déterminer numériquement le plus grand entier naturel m tel que :
    ∀x ∈ [ − mh; 0]; f(x) ≤ − x + 1
    Compléter le programme suivant en précisant ce qu'il faut écrire à la place du mot TEXTE.

1 from math import *
2 p=int( input (" entrer un entier naturel p = "))
3 h =10**( - p)
4 m=0
5
6 while TEXTE :
7 m=m+1
8
9 print (-(m-1)* h)

• • b.Expliquer pourquoi ce programme se termine toujours.
  • c.Pour tout entier naturel n, n ≥ 2, proposer un programme écrit en langage Python permettant de déterminer numériquement le plus grand entier naturel l tel que :
    ∀x ∈ [ − lh; 0]; f(x) ≥ P_n(x)
    où P_n est la partie régulière du développement limité de f à l'ordre n en 0.

PARTIE 2 : PHYSIQUE-CHIMIE

Thème d'étude : Gestion de l'eau et de l'énergie en centre aquatique

• -de montrer sa maîtrise du corpus de savoirs disciplinaires en physique-chimie adapté à l'enseignement en lycée professionnel ;
• -de montrer ses capacités à s'approprier et analyser les informations fournies ;
• -de montrer sa capacité à communiquer par écrit de manière précise et adaptée, tant dans l'utilisation de la langue française que dans l'utilisation du langage scientifique (utilisation d'un vocabulaire précis et adapté, maîtrise de l'écriture des résultats numériques).

Dossier documentaire (documents 1 à 4)
Le dossier documentaire est organisé en une collection de documentations scientifiques et techniques liée au thème du sujet.

• Travail à réaliser par le candidat (questions 1 à 44)

Documents réponses (documents réponses partie physique-chimie 1 et 2)
Le candidat rend, avec son ensemble de copies relatif à cette partie de l'épreuve, les documents réponses de la partie physique-chimie présents en fin de sujet.

DOSSIER DOCUMENTAIRE

• -Le potentiel hydrogène (pH) de l'eau d'une piscine publique d'eau douce traitée au chlore doit être compris entre 6,9 et 7,7 selon la législation.
  Les régulateurs de pH de piscine mesurent le pH de l'eau et le réajustent si besoin en injectant, grâce à une pompe doseuse, une solution « pH Plus » pour augmenter le pH de l'eau ou « pH Moins » pour le diminuer.
• -Le titre alcalimétrique complet (TAC) traduit la teneur en ions carbonate CO_3^(2 −)(aq), hydrogénocarbonate HCO_3^−(aq) et hydroxyde HO^−(aq) par sommation de leurs teneurs propres. Les ions hydrogénocarbonate sont responsables du pouvoir tampon de l'eau, c'est-à-dire de sa capacité à garder un pH constant. Il est donc important que le TAC d'une eau de piscine soit dans la gamme prescrite, sans quoi le pH se dérèglerait facilement.
  Une unité de mesure du TAC est le degré français, de symbole °f. La correspondance entre une teneur exprimée en mg ⋅ L^(− 1) et le degré français dépend des ions considérés :
  1^∘f, = 6, 0mg ⋅ L^(− 1) d^′ ions CO_3^(2 −); = 12, 2mg ⋅ L^(− 1) d^′ ion HCO_3^−; = 3, 4mg ⋅ L^(− 1) d^′ ions HO^−
  Le TAC de l'eau des piscines doit se situer entre 8 et 12 °f.

L'échangeur de chaleur est couplé à une nouvelle boucle en circuit fermé ^((2)) qui alimente une pompe à chaleur de type eau/eau en vue d'une amélioration du potentiel calorifique.

• -un échangeur évaporateur qui récupère l'énergie gratuite sur la source froide ;
• -un compresseur ;
• -un échangeur condenseur qui restitue l'énergie produite à la source chaude ;
• -un détendeur.

Figure d'après https://www.mesh-energy.com/insights/how-do-heat-pumps-work-mesh-energy-explains

• A.Principe de l'électrolyse de sel

• -l'oxydation des ions chlorure sur l'électrode positive (anode), qui aboutit à la formation de dichlore ;
• -la réduction de l'eau sur l'électrode négative (cathode), qui produit notamment des ions HO^−.

• B.Procédé de production de chlore in situ par électrolyse de sel (procédé utilisé dans les piscines publiques)

De l'eau adoucie (2) - à partir de l'eau du réseau (1) - et de la saumure saturée en sel (3) sont mélangées (4) puis, par le passage à travers une ou plusieurs cellules d'électrolyse (5), sont transformées en une solution d'hypochlorite de sodium NaClO. Cette solution est stockée dans un réservoir (7), puis injectée dans la piscine par une pompe doseuse. L'hypochlorite de sodium réagit avec l'eau du bassin pour former du « chlore actif » HClO. Le dihydrogène produit au cours de l'électrolyse est évacué vers l'extérieur (6).

TRAVAIL À RÉALISER PAR LE CANDIDAT

Partie A - Qualité de l'eau d'une piscine

• -
  Couples acide / base :

  (CO_2, H_2 O)/HCO_3^−(aq); pK_(A1) = 6, 4

  HCO_3^−(aq)/CO_3^(2 −)(aq); pK_(A2) = 10, 3

• -
  Couleurs et zone de virage du vert de bromocrésol :

  Teinte de la forme acide	Zone de virage	Teinte de la forme basique
  Jaune	3, 8 < pH < 5, 4	Bleue

• -
  Masses molaires atomiques :

  Atome	H	C	0	Ca	Mg
  M(g ⋅ mol^(− 1))	1,0	12,0	16,0	40,1	24,3

A. 1 - Régulation du potentiel hydrogène de l'eau (pH)

• 1.Commenter la valeur pH = 6, 5 au regard des informations du document 1.
• 2.Expliquer pourquoi l'apport de carbonate de sodium est de nature à améliorer le potentiel hydrogène de l'eau de la piscine.
• 3.Indiquer, avec justification, l'impact prévisible de cet apport sur le titre alcalimétrique complet de l'eau (TAC).

A. 2 - Détermination du titre alcalimétrique complet de l'eau (TAC)

• 4.Parmi les espèces dissoutes CO_3^(2 −), HCO_3^−et (CO_2, H_2 O) de l'eau de la piscine de pH = 7, 6, montrer que l'ion hydrogénocarbonate HCO_3^−est celle qui prédomine.
• 5.Expliquer pourquoi l'ion hydrogénocarbonate peut être qualifié d'espèce amphotère.
• 6.Donner une représentation de Lewis de cet ion.
• 7.Écrire l'équation de la réaction de titrage des ions hydrogénocarbonate et calculer sa constante d'équilibre K. Conclure sur le caractère total de la transformation.
• 8.Expliquer précisément comment est repérée l'équivalence du titrage.
• 9.Déterminer la concentration en masse en ions hydrogénocarbonate. En déduire, à l'aide du document 1, le TAC de l'eau de la piscine et conclure par rapport aux valeurs recommandées.

Partie B - Étude énergétique et chauffage d'un bassin

B. 1 - Étude énergétique d'un bassin « écologiquement raisonnable »

B.1.1 - Pertes énergétiques d'un bassin nordique par évaporation

• -Masse volumique de l'eau : ρ_(eau) = 1, 0 × 10^3 kg ⋅ m^(− 3).
• -Enthalpie massique de vaporisation de l'eau : L_v = 2, 4MJ ⋅ kg^(− 1).
• -Capacité thermique massique de l'eau : c_(eau) = 4, 2 × 10^3 J ⋅ kg^(− 1) ⋅ K^(− 1).
• -Dimensions du bassin (parallélépipède rectangle) : longueur L = 50 m, largeur ℓ = 25 m, profondeur p = 1, 5 m.

• • -Pertes énergétiques par évaporation sans couverture pour une température de l'eau maintenue à 28 °C :
    • -en journée (8 h − 20 h avec T_(air moyenne) = 20^∘C) : Q_(évap jour) = 2, 0MW ⋅ h;
    • -la nuit (20 h − 8 h avec T_(air moyenne) = 10^∘C) : Q_(évap nuit) = 6, 0MW ⋅ h.

• • − 1 W ⋅ h = 3, 6 × 10^3 J.
• 10.Citer et décrire les trois modes de transfert thermique qui peuvent avoir lieu sur le bassin nordique.
• 11.Calculer le volume d'eau perdu par évaporation par le bassin nordique sans couverture sur une période de 24 heures. Commenter le résultat.
• 12.Expliquer pourquoi le phénomène d'évaporation contribue au refroidissement de l'eau du bassin. Déterminer la diminution journalière (24 heures) de la température de l'eau qui résulterait de l'évaporation seule, en l'absence de couverture et de tout autre transfert (notamment pas d'apport d'eau et absence de chauffage et de tout autre type d'échange thermique).

B.1.2 - Diminution des pertes énergétiques par utilisation d'une couverture

• • -Caractéristiques de la couverture en mousse de polyéthylène :
    

    

  • -Formule du polyéthylène :
    
  • -Température de l'eau du bassin (constante) : T_(eau) = 28 °C.
  • -Température nocturne de l'air extérieur (constante) : T_(air) = 10^∘C.
• 13.Donner la formule semi-développée et le nom, dans la nomenclature officielle, du monomère à l'origine de la synthèse du polyéthylène.
• 14.Déterminer le degré de polymérisation n d'un polyéthylène dont la masse molaire est de 3, 00 × 10^6 g ⋅ mol^(− 1).

• 15.Calculer la puissance thermique perdue à travers la couverture. Conclure sur l'énergie économisée Q, en MW ⋅ h, dans ces conditions en posant la couverture sur le bassin pendant une période de 12 heures (la nuit de 20 h à 8 h).

B. 2 - Étude du chauffage du bassin par utilisation des eaux usées

• -
  Caractéristiques des eaux usées :

  Débit volumique D_v(m^3 ⋅ h^(− 1))	Capacité thermique massique c_(eau)(J ⋅ kg^(− 1) ⋅ K^(− 1))	Masse volumique ρ_(eau)(kg ⋅ m^(− 3))	Température T_e en entrée de l'échangeur (°C)	Température T_s en sortie de l'échangeur (°C)
  30	4, 2 × 10^3	1, 0 × 10^3	17	12

• -Prix du kW • h d'électricité : 0,25 €.
• -Coût annuel d'un chauffage au gaz de la piscine : 190 k€.

B.2.1 - Étude de l'échangeur récupérateur de l'énergie thermique des eaux usées

• 16.Nommer le groupe caractéristique présent dans la molécule de glycol et donner la fonction chimique associée.
• 17.Déterminer la puissance thermique récupérée par l'échangeur spiralé à partir des eaux usées circulant dans le réseau d'assainissement (document 2). On explicitera et discutera toute hypothèse effectuée dans le raisonnement mené.

B.2.2 - Étude de la pompe à chaleur couplée à l'échangeur

• 18.Justifier que la formule du COP de la pompe à chaleur donnée dans le document 3 permet de quantifier la performance de la pompe à chaleur. Préciser et justifier les signes des grandeurs Q_f, Q_c et W.
• 19.Dans le cas d'un fonctionnement réversible de la pompe à chaleur entre une source froide à la température T_f et une source chaude à la température T_c, montrer que le coefficient de performance est :
  COP_(r év) = (T_c)/(T_c − T_f)
• 20.Calculer le coefficient COP_(rév) pour T_f = 15^∘C et T_c = 50^∘C.

• 21.Commenter la validité de l'hypothèse de réversibilité du fonctionnement de la pompe à chaleur.

• 22.En déduire l'énergie thermique Q_c produite par la pompe à chaleur et le travail W à fournir au compresseur pendant une heure.
• 23.Calculer le coût annuel du chauffage de la piscine par le procédé étudié. Conclure en comparant avec le coût annuel d'un chauffage au gaz de la piscine.

Partie C - Traitement de l'eau de piscine par électrolyse de sel

C. 1 - Diagramme potentiel-pH du chlore

• -Couples d'oxydo-réduction : Cl_2(g)/Cl^−(aq); H^+(aq)/H_2(g), HClO(aq)/Cl_2(g).
• -Couple acide-base : HClO(aq)/ClO^−(aq).
• -Potentiel standard : E^∘(O_2(g)/H_2 O(l)) = 1, 23 V à 25 °C et pH = 0.
• -Constante de Faraday : F = 9, 65 × 10^4 C ⋅ mol^(− 1).
• -Constante des gaz parfaits : R = 8, 31 J ⋅ mol^(− 1) ⋅ K^(− 1).
• -Nombres d'oxydation de l'élément chlore :

• 24.Identifier les espèces A, B, C, D parmi Cl^−(aq), Cl_2(g), HClO(aq) et ClO^−(aq).
• 25.Déterminer, à l'aide du document réponse 1, le pK_A du couple HClO(aq)/ClO^−(aq).
• 26.Montrer que la droite frontière séparant les domaines O_2(g) et H_2 O(l), pour une pression en dioxygène de 1 bar et à 25 °C, a environ pour équation : E = 1, 23 − 0, 06pH (en volts). Tracer cette droite sur le document réponse 1 à rendre avec la copie et y préciser le domaine de stabilité de l'eau.
• 27.Conclure quant à la stabilité thermodynamique du dichlore gazeux dans l'eau d'une piscine.

C. 2 - Principe de l'électrolyse de sel

• 28.À l'aide du document 4 A., écrire la demi-équation d'oxydoréduction se produisant à l'anode de la cellule d'électrolyse.
• 29.À l'aide du document 4 A., écrire la demi-équation d'oxydoréduction se produisant à la cathode de la cellule d'électrolyse.
• 30.Montrer que l'équation de la réaction de l'électrolyse est :
  2H_2 O(l) + 2Cl^−(aq)⇄Cl_2(g) + 2HO^−(aq) + H_2(g)

• • -Masse molaire du chlore : M(Cl) = 35, 5 g ⋅ mol^(− 1).
  • -Intensité du courant dans une cellule d'électrolyse : I = 18 A.
• 31.Calculer la masse de dichlore produite par une cellule d'électrolyse par heure.

• 32.Donner le nom de ce type particulier de réaction électrochimique.

C. 3 - Procédé de production de dichlore in situ par électrolyse de sel

• • -Intensité du courant dans une cellule d'électrolyse : I = 18 A.
  • -Tension aux bornes d'une cellule d'électrolyse : U = 10, 8 V.
  • -Conductivité de la solution salée traversant la cellule d'électrolyse : σ = 3, 0 S ⋅ m^(− 1).
  • -Surface d'une électrode de cellule d'électrolyse : S = 0, 010 m^2.
  • -Distance entre deux électrodes d'une cellule unité d'électrolyse : e = 6 mm.

C.3.1 - Des cellules d'électrolyse composées de plusieurs électrodes

Photo d'une cellule d'électrolyse comportant plusieurs électrodes D'après https://pool-technologie.com/les-cellules

Exemple d'une cellule d'électrolyse à 3 électrodes formant 2 cellules unités

• 33.Calculer la résistance électrique de la solution comprise entre les deux électrodes d'une cellule unité d'électrolyse.

• 34.En déduire le nombre d'électrodes de la cellule d'électrolyse utilisée pour le bassin sportif du centre aquatique.

C.3.2 - Choix du nombre de cellules de l'électrolyseur

• 35.Calculer le nombre de cellules d'électrolyse à disposer en parallèle dans l'électrolyseur pour assurer cette production.
• 36.En déduire la puissance consommée par l'électrolyseur.
• C.3.3 - Ventilation du local technique et adoucissement de l'eau (document 4 B.)
• 37.Expliquer pourquoi il est nécessaire de ventiler le local technique où se trouve l'électrolyseur.
• 38.Expliquer l'intérêt d'utiliser un adoucisseur d'eau en amont du procédé d'électrolyse.

Partie D - Étude du circuit de filtration de l'eau

• • -Dimensions du bassin sportif intérieur (parallélépipède rectangle) : longueur L = 25, 0 m, largeur ℓ = 20, 0 m, profondeur p = 2, 00 m.
  • -Débit volumique de la pompe : D_v = 250 m^3 ⋅ h^(− 1).

• -Diamètre intérieur du tuyau d'aspiration : d = 25, 0 cm.
• -Pression atmosphérique : P_(atm) = 1, 00 × 10^5 Pa.
• -Vitesse de l'eau au niveau du refoulement : v_R = 2, 0 m ⋅ s^(− 1).
• -Masse volumique de l'eau à 28 °C : ρ_(eau) = 9, 96 × 10^2 kg ⋅ m^(− 3).
• -Viscosité dynamique de l'eau à 28 °C : μ_(eau) = 8, 33 × 10^(− 4) Pa ⋅ s.
• -Intensité de la pesanteur : g = 9, 81 m ⋅ s^(− 2).

D. 1 - Caractéristiques du circuit d'aspiration de la pompe

• 39.Calculer la durée nécessaire pour recycler la totalité de l'eau du bassin. Conclure par rapport aux normes en vigueur.
• 40.Montrer que la vitesse d'aspiration de l'eau v_A est environ égale à 1, 4 m ⋅ s^(− 1).
• 41.En déduire la valeur du nombre de Reynolds pour l'écoulement dans le tuyau d'aspiration. Conclure sur la nature de cet écoulement.
• 42.Montrer, en explicitant toute hypothèse effectuée, que la pression à l'entrée de la bonde de fond au point A, notée P_A, est environ égale à 1, 2 × 10^5 Pa.

D. 2 - Choix de la pompe du circuit de filtration

• 43.Montrer que la hauteur manométrique totale (HMT) de la pompe (c'est-à-dire l'équivalent en termes de hauteur d'eau de la puissance de la pompe à utiliser), est environ égale à 12 m.

• 44.Indiquer, en justifiant graphiquement sur ce document, la pompe que l'on doit choisir pour assurer le recyclage de l'eau du bassin.

DOCUMENTS RÉPONSES DE LA PARTIE PHYSIQUE-CHIMIE

À RENDRE AVEC LA COPIE

Document réponse de la partie physique-chimie 1

Diagramme potentiel-pH du chlore