X ENS Physique 2 MP 2002Sujet

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Annales X-ENS MP Physique X-ENS MP 2002 MP Physique Physique 2002

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DEUXIÈME COMPOSITION DE PHYSIQUE

(Durée : 4 heures)

L'utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve.

Premier problème

L'objet du problème est d'étudier certains aspects du mouvement de trois corps en interaction gravitationnelle. On désignera par

G

la constante de gravitation universelle.

I

Deux masses ponctuelles

m_1

m_2

en interaction gravitationnelle forment un système isolé. À l'instant

t

, elles sont situées respectivement aux points

A_1

A_2

repérés dans un référentiel galiléen par

R⃗_1 = OA_1^(\to-)

R⃗_2 = OA_2^(\to-)

, avec les vitesses

V⃗_1

V⃗_2

; on pose

r⃗ = A_1 A_2^(\to-)

r = ‖r⃗‖

Donner l'expression de l'énergie potentielle d'interaction des deux masses.
Déterminer la position de leur centre d'inertie $C$ . Quelle est la trajectoire de $C$ ? Déterminer sa vitesse.
Calculer l'énergie cinétique des deux masses dans le référentiel barycentrique; montrer qu'elle est égale à celle d'une masse ponctuelle de vitesse $v⃗ = r⃗˙$ et de masse $μ$ que l'on déterminera en fonction de $m_1$ et $m_2$ .
Montrer que le mouvement relatif de $m_2$ par rapport à $m_1$ , caractérisé par $r⃗(t)$ , est équivalent à celui de cette masse ponctuelle soumise à une force que l'on explicitera et dont on précisera les caractéristiques.
À quelle condition portant sur $r$ et $v = ‖v⃗‖$ les deux masses restent-elles à distance finie l'une de l'autre?
6.a) À quelle condition sur $r$ et $v$ les deux masses restent-elles à distance fixe $r_0$ l'une de l'autre?
b) Déterminer dans ce cas la période $T$ de leur mouvement, ainsi que la vitesse angulaire $Ω$ , en fonction des masses, de $r_0$ et $G$ .

II

On étudie un cas particulier du problème à trois corps « restreint », à savoir :

Deux masses $m_1$ et $m_2$ sont beaucoup plus grandes que la troisième $m$ , soit $m_1≫m$ et $m_2≫m$ . La masse $m$ est supposée ponctuelle comme $m_1$ et $m_2$ .
Les deux masses $m_1$ et $m_2$ , à distance constante l'une de l'autre, effectuent un mouvement de rotation à la vitesse angulaire $Ω$ autour de leur centre d'inertie $C$ . Ce mouvement, décrit au I.6, n'est pas affecté par la présence de la troisième masse $m$ .

On ne considère dans cette partie que les situations où les trois masses restent alignées au cours du temps. La masse

m

est située au point

A

. On prendra la direction

A_1 A_2^(\to-)

comme axe

x^' Cx

d'origine

C

, avec

CA_1^(\to-) = - r_1 e⃗_x

CA_2^(\to-) = r_2 e⃗_x, CA^(\to-) = xe⃗_x, e⃗_x

vecteur unitaire.

Exprimer, en fonction de $x$ et à l'aide des paramètres du système, la composante selon $x^' Cx$ de la force totale qui s'exerce sur la masse $m$ dans le référentiel tournant à la vitesse angulaire $Ω$ .
Montrer que dans ce référentiel tournant cette composante dérive d'une fonction $U(x)$ qui joue le rôle d'une «e énergie potentielle ». Expliciter $U(x)$ .
Effectuer une étude qualitative de $U(x)$ en fonction de $x$ ; par une analyse graphique, montrer qu'il y a trois positions «d'équilibre » possibles pour la masse $m$ et les situer qualitativement par rapport aux masses $m_1$ et $m_2$ .
Discuter de la stabilité de ces positions d'équilibre dans le référentiel tournant, vis-à-vis des déplacements selon l'axe $x^' Cx$ .

III

Trois masses, a priori différentes, $m_1, m_2$ et $m_3$ sont situées respectivement aux trois sommets $A_1, A_2, A_3$ , d'un triangle équilatéral de côté $d$ ; soit $C$ leur centre d'inertie.
$F⃗_1$ étant la résultante des forces de gravitation s'exerçant sur la masse $m_1$ , montrer que :

F⃗_1 = - Gm_1((m_1 + m_2 + m_3))/(d^3)CA_1^(\to-)

En déduire que, si les masses tournent dans leur plan avec une certaine vitesse angulaire commune $Ω$ que l'on déterminera, elles sont en équilibre relatif.

On limite, dans toute la suite de cette partie, l'étude au cas où, comme en II, l'une des masses,

m_3(= m)

, est beaucoup plus petite que les deux autres

m_1

m_2

, dont le mouvement circulaire n'est pas modifié par

m

. On prend la direction

A_1 A_2^(\to-)

comme axe

X^' CX

. La masse

m

, placée en

A

, est repérée par

R⃗(t) = CA^(\to-)

de coordonnées (

X, Y

). On s'intéresse à la stabilité de la masse

m

au voisinage du sommet

A_3

du triangle équilatéral de base

A_1 A_2

, en limitant d'abord
l'étude aux mouvements dans ce plan. On oriente l'axe

Y^' CY

de telle sorte que l'ordonnée de

A_3

soit positive.
3. Écrire, dans le référentiel tournant, « l'énergie potentielle »

U(X, Y)

dont dérive la somme des forces gravitationnelles et d'inertie d'entraînement agissant sur la masse

m

; on posera

‖AA_1^(\to-)‖ = d_1(X, Y)

‖AA_2^(\to-)‖ = d_2(X, Y)

.
4. Écrire l'expression vectorielle de l'accélération

a⃗

de la masse

m

dans le référentiel tournant, à l'aide du vecteur rotation

Ω⃗

, de la vitesse

v⃗(v_x, v_y)

dans ce référentiel et de

grad^(\to-)(u)

où

u(X, Y) = U(X, Y)/m

Dans la suite, on notera

u_X(X, Y) = (\partialu(X, Y))/(\partialX), u_(XY)(X, Y) = (\partial^2 u(X, Y))/(\partialX\partialY)

, etc..
5. En vue d'étudier la stabilité de

m

au voisinage du point

A_3

, on pose

X = X_0 + x, Y = Y_0 + y

, où (

X_0, Y_0

) sont les coordonnées du point d'équilibre

A_3

de la masse

m

, dont on ne demande pas le calcul explicite.

Écrire les équations du mouvement, en se limitant aux termes du premier ordre en

x

y

. Pour alléger l'écriture, on notera :

u_(XX) = u_(XX)(X_0, Y_0) u_(XY) = u_(XY)(X_0, Y_0)

etc..
6. On cherche des solutions du type :

x = aexp(λt), y = bexp(λt)

, où

a

b

sont des constantes.

Montrer que

λ

doit vérifier l'équation caractéristique :

λ^4 + λ^2(4Ω^2 + u_(XX) + u_(YY)) + (u_(XX)u_(YY) - u_(XY)^2) = 0

On admet que si l'on pose :

λ = λ^' Ω m_1 = α(m_1 + m_2) m_2 = (1 - α)(m_1 + m_2)

et que l'on évalue les dérivées partielles figurant dans l'équation caractéristique de la question III.6, la variable

λ^('2)

vérifie l'équation du second degré suivante :

λ^('4) + λ^('2) + (27)/4α(1 - α) = 0

Soit

Δ

le discriminant de cette équation.
a) Que conclure sur la stabilité de la position d'équilibre si

Δ ⩾ 0

?
b) Même question si

Δ < 0

.
c) En déduire les valeurs de

α

pour lesquelles la position d'équilibre est stable.
8. Pour le système Lune - Terre, le rapport de la masse légère

m_1

à la masse totale (

m_1 + m_2

) est

α = 0, 012

. En considérant ce système comme isolé, quelles conclusions en tirez-vous quant à la stabilité de la position d'équilibre d'un petit objet dont la position formerait un triangle équilatéral avec les centres de la Terre et de la Lune?

Même question pour le système Jupiter - Soleil pour lequel

α = 0, 001

. L'observation des « planètes troyennes », de même période de révolution que Jupiter autour du Soleil et faisant avec lui et le Soleil un triangle équilatéral, conforte-t-elle votre conclusion?
9. Par une analyse qualitative des forces s'exerçant dans le référentiel tournant, étudier la stabilité de la position

A_3

vis-à-vis de petits mouvements orthogonaux au plan

XCY

Deuxième problème

Quelques propriétés des gaz réels et des mélanges sous deux phases

Dans tout le problème, la température reste fixée et est notée

T.R

désigne la constante des gaz parfaits.

On considère un système formé d'un seul constituant.
a) Établir la relation entre l'enthalpie libre à la pression $p_1$ notée $G(p_1)$ , l'enthalpie libre à la pression $p_2$ notée $G(p_2)$ et le volume $V$ du système.
b) Que devient cette relation dans le cas où le système est un solide ou un liquide peu compressible?
c) Que devient la relation dans le cas où le système est constitué par $n$ moles de gaz parfait ? En déduire l'expression du potentiel chimique (enthalpie libre molaire) $μ$ du constituant à la pression $p$ en fonction du potentiel chimique standard $μ^\circ$ et de la pression standard $p^\circ$ .
Dans le cas d'un gaz réel la forme de l'expression précédente du potentiel chimique est conservée à condition de remplacer $p$ par la fugacité $f$ , fonction de $p$ . On se propose de trouver le lien entre $f$ et $p$ .
a) Établir la relation entre $f, p, T$ , le volume molaire $V_m$ du gaz réel et le volume molaire $V_m^o$ du gaz parfait associé. On utilisera le fait que, lorsque la pression tend vers 0 , le gaz réel se comporte comme un gaz parfait.
b) On appelle $Z$ le facteur de compressibilité, qui représente un écart du comportement du gaz réel par rapport au gaz parfait associé :

Z(p) = (pV_m)/(RT)

Montrer que

f

peut s'écrire :

f = pexp(\int_0^p(Z(p^') - 1)/(p^')dp^')

c) On propose comme équation d'état d'un gaz réel l'équation de Van der Waals :

p + a/(V_m^2) = (RT)/(V_m - b)

dans laquelle

a

b

désignent deux constantes caractéristiques du gaz étudié. Quelle interprétation physique peut-on donner de ces constantes?

En effectuant un développement limité de

V_m

au premier ordre en

(ap)/(R^2 T^2)

(bp)/(RT)

, calculer une expression approchée de

f

Application numérique. On donne pour l'ammoniac les valeurs numériques suivantes:

a = 0, 42 Pa m^6 mol^(- 2), b = 37 \times 10^(- 6) m^3 mol^(- 1).

Calculer

f

pour

p = 10^6 Pa

T = 298, 15 K

. On prendra

R = 8, 31 J K^(- 1) mol^(- 1)

. L'un des deux paramètres

a

b

joue-t-il un rôle prépondérant? Comment cela se traduit-il sur le volume molaire

V_m

?
3. On étudie le comportement d'un mélange de constituants en équilibre sous deux phases liquide et gazeuse.

On peut établir (mais ce n'est pas demandé) pour le constituant

i

l'expression suivante pour la fugacité

f_i

f_i = a_i^L p_i^(sat)exp(\int_0^(p_i^(sat))(Z_i(p_i^') - 1)/(p_i^')dp_i^')exp(1/(RT)\int_(p_i^(sat))^(p_i)V_(im)^L dp_i^')

dans laquelle

p_i^(sat)

désigne la pression de vapeur saturante du constituant

i

pur,

V_(im)^L

son volume molaire à l'état liquide,

a_i^L

son activité dans la phase liquide,

p_i

sa pression dans la phase gazeuse,

Z_i

son facteur de compressibilité.

Que devient cette expression dans les cas suivants :
a) Le liquide est incompressible sur l'intervalle de pression étudié.
b) Le volume molaire du constituant

i

liquide est négligeable.
c) La condition de la question précédente est réalisée et la phase gazeuse est un mélange idéal de gaz parfaits.
d) Les conditions de la question précédente sont réalisées et le liquide est un mélange idéal où

x_i^L

désigne la fraction molaire du constituant

i

dans la phase liquide.
4. La relation de la question 3.d) est vérifiée pour les constituants du mélange benzène (1)-toluène (2) aux pressions faibles et modérées.

x_i^L

x_i^V

désignent les fractions molaires du constituant

i

dans la phase liquide et dans la phase gazeuse respectivement. On donne les pressions de vapeur saturante à

90^\circC : p_1^(sat) = 136, 1 \times 10^3 Pa

p_2^(sat) = 54, 2 \times 10^3 Pa

. Établir les courbes isothermes d'ébullition et de rosée sur le diagramme représentant

p

en fonction respectivement de

x_1^L

x_1^V

90^\circC

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