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11.1

Matrices à coefficients dans $\mathbb{Z}$ ou $\mathbb{Q}$

55 exercices

Théorème de Kronecker et polynômes entiers

Matrices à coefficients dans Z\mathbb{Z} ou Q\mathbb{Q}
Kroneckerpolynôme unitaireracines de l'unitéMatrice compagnonRelations coefficients-racines

Matrices de GLn(Z) et racines de l'unité

Sous-groupes de GLn(R)\mathrm{GL}_n(\mathbb{R}) et GLn(Z)\mathrm{GL}_n(\mathbb{Z})
GLn(Z)nilpotencediagonalisabilitéTrigonalisationDéterminant

Matrices entières de dimension 2 d'ordre fini

Matrices à coefficients dans Z\mathbb{Z} ou Q\mathbb{Q}
traceracines de l'unitédiagonalisationPolynôme caractéristiqueDiagonalisabilité

Uniformité de l'ordre des matrices entières

Matrices à coefficients dans Z\mathbb{Z} ou Q\mathbb{Q}
ordre finiViètePPCMRelations coefficients-racinesDiagonalisation

Stabilité en dimension infinie et arithmétique

Ouvertures et Contre-exemples
dimension infiniecorps des rationnelsidéauxPolynôme caractéristiqueIrréductibilité sur Q

Stabilité de l'anneau des entiers algébriques

Matrices à coefficients dans Z\mathbb{Z} ou Q\mathbb{Q}
entiers algébriquesmatrice compagnonanneauMatrice compagnonSomme de Kronecker

Théorème de Minkowski sur les sous-groupes finis

Sous-groupes de GLn(R)\mathrm{GL}_n(\mathbb{R}) et GLn(Z)\mathrm{GL}_n(\mathbb{Z})
groupe finicoefficients entiersréduction modulo pPolynôme annulateurRéduction modulo p

Sous-groupes finis de matrices entières

Matrices à coefficients dans Z\mathbb{Z} ou Q\mathbb{Q}
matrices entièresordre finiréduction modulo pValeurs propresPolynôme caractéristique

Matrices congrues à l'identité et nilpotence

Matrices à coefficients dans Z\mathbb{Z} ou Q\mathbb{Q}
nilpotenceracines de l'unitédiagonalisationSpectrePolynôme caractéristique

Invariance du polynôme minimal par extension

Propriétés théoriques fondamentales
polynôme minimalextension de corpsrangInvariance du rangIdéal annulateur

Similitude de matrices diagonales à coefficients rationnels

Matrices à coefficients dans Z\mathbb{Z} ou Q\mathbb{Q}
similitudematrice compagnoncorps rationnelsMatrice compagnonDiagonalisabilité

Existence de matrices de polynôme minimal imposé

Problèmes d'existence et contraintes
polynôme minimalcorpsirréductibilitéCritère d'EisensteinMatrice compagnon

Limite des puissances d'une matrice

Propriétés Asymptotiques Structurelles
convergenceprojecteurnilpotenceContinuité du produitPolynôme annulateur

Caractérisation et structure des entiers algébriques

Matrices à coefficients dans Z\mathbb{Z} ou Q\mathbb{Q}
entier algébriqueanneaumatrice compagnonLemme de GaussMatrice compagnon

Périodicité des matrices entières bornées

Matrices à coefficients dans Z\mathbb{Z} ou Q\mathbb{Q}
puissances de matricecoefficients entierssuite bornéePrincipe des tiroirsÉquivalence des normes

Intégrité de suites récurrentes linéaires

Généralisations et Problèmes
suite récurrente linéaireentierspolynôme annulateurPolynôme caractéristiqueRécurrence forte

Rang minimal et nombres algébriques

Matrices à coefficients dans Z\mathbb{Z} ou Q\mathbb{Q}
corps des rationnelsnombre algébriquematrice compagnonThéorème du rangPolynôme minimal

Ordres des éléments de M2(Z)

Matrices à coefficients dans Z\mathbb{Z} ou Q\mathbb{Q}
ordre multiplicatifmatrices entièresracines de l'unitéPolynôme caractéristiqueTrace

Diagonalisation explicite et calcul de puissances

Calcul explicite de PP, DD et P−1P^{-1}
diagonalisationpuissances de matricepolynôme caractéristiquePolynôme caractéristiqueMatrice de passage

Arithmétique des racines et matrices compagnons

Matrices à coefficients dans Z\mathbb{Z} ou Q\mathbb{Q}
matrice compagnonpolynôme caractéristiqueentiersMatrice compagnonThéorème de l'image spectrale

Sous-espaces cycliques et réduction rationnelle

Applications et problèmes originaux
polynôme minimalirréductiblesomme directeLemme des noyauxThéorème de Bézout

Propriétés arithmétiques des puissances de racines

Matrices par blocs et matrices compagnons
matrice compagnonpolynôme caractéristiquecoefficients entiersMatrice compagnonTrigonalisation

Trace rationnelle et racines de l'unité

Racines de l'Unité et Cyclotomie
tracepolynôme cyclotomiquevaleurs propres complexesPolynôme annulateurDiagonalisabilité

Matrices entières trigonalisables de trace maximale

Matrices à coefficients dans Z\mathbb{Z} ou Q\mathbb{Q}
TraceDéterminantValeurs propresPolynôme caractéristiqueRacines rationnelles

Annulateur cyclotomique et trace nulle

Racines de l'Unité et Cyclotomie
racines de l'unitépolynôme cyclotomiquetracePolynôme minimalLemme des noyaux

Matrices entières et diagonalisabilité

Matrices à coefficients dans Z\mathbb{Z} ou Q\mathbb{Q}
GLn(Z)déterminantpolynôme caractéristiqueFormule de la comatriceIrréductibilité dans Q[X]

Similitude et matrices compagnons en dimension 2

Exemples concrets et basse dimension
matrice compagnonsimilitudevecteur cycliquePolynôme caractéristiqueVecteur cyclique

Commutants de matrices et structures d'algèbres

Calculs Explicites et Matrices 3x3
commutantcycliquepolynôme minimalPolynôme caractéristiqueThéorème du rang

Commutant d'une matrice à coefficients rationnels

Calculs Explicites et Matrices 3x3
commutantvaleurs proprescorps des rationnelsPolynôme caractéristiquePolynôme minimal

Inversibilité et arithmétique matricielle

Matrices à coefficients dans Z\mathbb{Z} ou Q\mathbb{Q}
déterminantentierspolynômeDéterminantPolynômes

Polynôme minimal d'un nombre algébrique

Applications et ouvertures
nombre algébriquepolynôme minimalextension de corpsDéterminantPolynôme caractéristique

Équation polynomiale et trace rationnelle

Équations polynomiales (P(X) = A)
tracepolynôme annulateurirréductibilitéPolynôme caractéristiqueRelations entre racines et coefficients

Somme des coefficients et matrices d'ordre 6

Matrices à coefficients dans Z\mathbb{Z} ou Q\mathbb{Q}
ordregroupe linéairerationnelPolynôme caractéristiqueTrace

Équation A^p = I dans M_p(Q)

Matrices à coefficients dans Z\mathbb{Z} ou Q\mathbb{Q}
polynôme cyclotomiqueirréductibilitéEisensteinCritère d'EisensteinPolynôme minimal

Diagonalisation modulo p d'une matrice entière

Matrices à coefficients dans Z\mathbb{Z} ou Q\mathbb{Q}
réduction modulo ppolynôme minimalBézoutPolynôme annulateurRelation de Bézout

Inversion de Pascal et dénombrement

Calcul explicite de PP, DD et P−1P^{-1}
matrice de Pascalinversion binomialesurjectionsBinôme de NewtonEndomorphisme de translation

Inversibilité dans l'anneau des matrices entières

Matrices à coefficients dans Z\mathbb{Z} ou Q\mathbb{Q}
déterminantentierscomatriceFormule de la comatricePropriétés du déterminant

Inversibilité et nilpotence dans l'anneau entier

Matrices à coefficients dans Z\mathbb{Z} ou Q\mathbb{Q}
anneau ZtriangulairenilpotenceSérie de NeumannMatrices strictement triangulaires

Matrices non trigonalisables sur Z/pZ\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}

Existence de matrices non-réductibles
corps finitrigonalisationdénombrementBézoutDénombrement

Topologie du groupe linéaire et densité

Densité de GLn(C)\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})
densitédéterminantgroupe linéairePolynôme caractéristiqueContinuité du déterminant

Analyse d'une équation matricielle polynomiale

Polynômes Spécifiques de Degré Élevé
tracedéterminantpolynôme annulateurFactorisationRelations racines-coefficients

Matrices d'ordre fini à coefficients entiers de Gauss

Matrices à coefficients dans Z\mathbb{Z} ou Q\mathbb{Q}
entiers de Gaussracines de l'unitépolynôme caractéristiqueCoefficients et racinesDiagonalisabilité

Invertibilité de matrices et problème des masses

Problèmes avancés et atypiques
déterminantcorps finisystème linéaireDéterminant modulo 2Théorème du rang

Irréductibilité et structure de l'algèbre Q[A]

Matrices à coefficients dans Z\mathbb{Z} ou Q\mathbb{Q}
Eisensteinpolynôme minimalsous-espace stableCritère d'EisensteinLemme de Gauss

Similitude matricielle sur Q et Z

Matrices à coefficients dans Z\mathbb{Z} ou Q\mathbb{Q}
similitudecorps Qanneau ZPolynôme caractéristiqueÉquation AP=PB

Nilpotence en caractéristique 2 et itérations

Études de cas complexes
corps finiF2nilpotenceMorphisme de FrobeniusPolynôme caractéristique

Structure de l'algèbre engendrée par un endomorphisme

Propriétés fondamentales et Arithmétique dans K[u]K[u]
algèbre monogèneanneau réduitcorpsThéorème de BézoutPolynôme minimal

Classification des sous-groupes finis de SL2(Z)

Sous-groupes de GLn(R)\mathrm{GL}_n(\mathbb{R}) et GLn(Z)\mathrm{GL}_n(\mathbb{Z})
SL2(Z)sous-groupe finirotationFormes quadratiquesConjugaison

Surjectivité et injectivité dans SLn(Z)SL_n(\mathbb{Z})

Morphismes et structure du groupe linéaire
groupe hopfienfinitude résiduelleSLn(Z)Algorithme d'EuclideRéduction modulo p

Existence d'une matrice annulant un polynôme de degré 2

Matrices Réelles et Racines Complexes
polynôme annulateurparitécorpsPolynôme caractéristiqueConjuguaison complexe

Clôture algébrique des rationnels

Matrices à coefficients dans Z\mathbb{Z} ou Q\mathbb{Q}
nombres algébriquesextension finiecorps algébriquement closDimension finieThéorème de Cayley-Hamilton

Extension de corps et matrice compagnon

Applications Avancées et Ouvertures
matrice compagnoncorps de rupturepolynôme minimalThéorème de BézoutCayley-Hamilton

Famille de Krylov et irréductibilité sur Q

Matrices à coefficients dans Z\mathbb{Z} ou Q\mathbb{Q}
rationnelsfamille librepolynôme irréductibleRacines rationnellesPolynôme minimal local

Théorème de Fermat pour la trace

Matrices à coefficients dans Z\mathbb{Z} ou Q\mathbb{Q}
tracecongruencecorps finiMorphisme de FrobeniusPetit théorème de Fermat

Ordre fini dans GL2(Q)

Matrices à coefficients dans Z\mathbb{Z} ou Q\mathbb{Q}
ordre d'une matricerationnelspolynôme cyclotomiquePolynôme minimalPolynôme caractéristique