WikiPrépaLivrets

CCINP Physique 2 MP 2005Sujet et rapport du jury

Pas encore noté
  • Modèle de Thomson et électromagnétisme
  • Ondes électromagnétiques dans un plasma
  • Régime permanent sinusoïdal
  • Réseaux optiques et diffraction
  • Interférences et différence de marche
Logo concours CCINP

Explorer les annales

BanqueCCINPAnnée2005FilièreMPMatièrePhysique
Annales CCINP MP PhysiqueCCINP MP 2005MP PhysiquePhysique 2005

Téléchargements

Télécharger le sujet (PDF)
Rapport du juryLire en ligneLaTeXWord
  • Corrigé : pas encore disponible

Présentation du sujet

Difficile
Physique 2 CCINP MP : modèle de Thomson et plasma, puis étireur à réseaux optiques
Afficher ou masquer la section

L'épreuve comporte deux problèmes indépendants de deux heures chacun. Le premier, d'électromagnétisme, étudie le modèle de Thomson de l'atome d'hydrogène, le champ électrique dans un plasma et la propagation d'une onde électromagnétique dans ce plasma. Le second, d'optique, porte sur un étireur d'impulsions lumineuses utilisant des réseaux à échelettes.

  1. 1Partie A : électromagnétisme dans un plasmaModèle de Thomson de l'atome d'hydrogène, champ électrique dans un plasma, propagation d'une onde électromagnétique dans un plasma.
  2. 2Partie B : étireur à réseauxÉtude d'un réseau à échelettes, combinaison de deux réseaux, étirement temporel d'impulsions lumineuses.

Difficile. La moyenne de 6,76 sur 5860 copies, nettement plus faible que l'année précédente (7,12), avec un écart type de 3,59, et le constat que le problème d'optique a nettement moins bien été traité, indiquent un sujet exigeant.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 6,76 / 20 · écart-type 3,59 · 5 860 copies · où vous situez-vous ?
Afficher ou masquer la section
Moyenne
6,76/ 20
Écart-type
3,59
Copies
5 860
moyenne 6,7605101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : rapport du jury. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées
Erreur de signe sur le moment dipolaire · Régime permanent sinusoïdal mal maîtrisé · Confusion différence de phase et différence de marche
Afficher ou masquer la section

Le problème d'électromagnétisme, de facture classique, a été souvent bien traité et parfois intégralement correct, tandis que le problème d'optique a dérouté la majorité des candidats, en particulier sa troisième partie pratiquement pas abordée. Le jury conclut que les étudiants ne sont pas suffisamment préparés à mobiliser leurs connaissances face à un problème inhabituel.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Erreur de signe sur le moment dipolaire

    Une erreur de signe sur le moment dipolaire est fréquente dans le problème d'électromagnétisme.

  2. 2
    Régime permanent sinusoïdal mal maîtrisé

    Des difficultés apparaissent avec la notion de régime permanent sinusoïdal, non prévues par les correcteurs.

  3. 3
    Confusion différence de phase et différence de marche

    Une confusion récurrente entre la différence de phase et la différence de chemin optique, ainsi qu'entre amplitude et intensité, apparaît dans le problème d'optique.

  4. 4
    Largeur d'une courbe mal comprise

    Malgré la définition donnée dans le texte, les étudiants n'ont pas, pour beaucoup, compris la définition de la largeur d'une courbe.

  5. 5
    Calcul différentiel et approximations de Taylor mal traités

    Le calcul différentiel et les approximations de type Taylor sont très mal traités, malgré un calcul intégral correctement mené par bon nombre de candidats.

Ce qui a été bien réussi

  • Les calculs du début du problème d'électromagnétisme, extrêmement classiques, sont bien traités.
  • Les questions finales du problème d'électromagnétisme, pratiquement indépendantes, ont été abordées et correctement traitées par de nombreux candidats.
  • Le calcul intégral du problème d'optique a été mené correctement par bon nombre de candidats.

Conseils du jury

  • Ne pas négliger les unités dans les applications numériques, même lorsque le calcul littéral est correct.
  • Réaliser les représentations graphiques demandées, même sommaires.
  • S'entraîner sur des situations inhabituelles en optique, au-delà de l'interféromètre de Michelson et des fentes d'Young.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

Ces sujets peuvent vous intéresser

Pas encore de corrigé pour ce sujet : voici des sujets proches corrigés.

Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
Afficher ou masquer la section
Sujet en PDF

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP

PHYSIQUE 2

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont autorisées.

NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.
Conformément à l'usage international, les vecteurs sont représentés en gras.

- PARTIE A -

1. Modèle de Thomson de l'atome d'hydrogène

On donne: 1/4πε_0 ≈ 910^9 SI, m = 9, 110^(− 31) kg, q_e = 1, 610^(− 19)C.
1.1 Dans un modèle classique de l'atome d'hydrogène, dû à J.J. Thomson (1895), le noyau positif de charge totale q_e est modélisé par une sphère uniformément chargée de rayon a_0 = 5010^(− 12) m = 50pm.
  1. Quelle est la densité volumique de charge correspondante (expression littérale et valeur numérique) ?
  2. Expliciter en tout point de l'espace le champ E_(at) électrostatique créé par cette distribution de charge.
    1.2 Un électron de masse m et de charge − q_e, supposé ponctuel, est placé au centre de cette distribution.
  3. Montrer que, si l'on écarte l'électron de cette position d'une quantité |r| ≤ a_0, il est soumis à une force de rappel F_(at − e) que l'on explicitera.
  4. Quelle est l'intensité de cette force pour |r| = 25pm ?
  5. Quel sera le mouvement ultérieur de l'électron s'il est lâché, sans vitesse initiale, à partir d'un point caractérisé, dans un repère cartésien centré sur le noyau, par r_0 = (x_0, 0, 0), 0 ≤ x_0 < a ?
    1.3 On superpose au champ créé par le noyau, un champ uniforme E_a = E_a e_x.
  6. Montrer que, si ce champ est suffisamment faible, l'électron prend une nouvelle position d'équilibre r_0^′ tout en restant lié au noyau.
  7. Pour quelle valeur numérique maximum de E_a cette position existe-t-elle?
  8. Quel est, dans cette position, le moment dipolaire p de la distribution de charge ? Ce moment dépend-t-il du choix de l'origine des coordonnées que nous avons fait?
  9. On pose p = αε_0 E_a où α est la polarisabilité électronique. Quelle est la dimension physique de α ? A quelle caractéristique physique de l'atome peut-on la comparer? Quelle est sa valeur numérique pour le modèle de Thomson?
    1.4 Le champ appliqué est maintenant variable dans le temps avec une pulsation ω, E_a(t) = E_a cos(ωt)e_x.
  10. En négligeant tout autre effet éventuel et en supposant que le champ E_a(t) est d'amplitude suffisamment faible (inférieure à la valeur trouvée en 1.3.2), écrire l'équation du mouvement de l'électron sous l'action combinée des champs E_(at) et E_a.
  11. Donner sa solution en régime sinusoïdal permanent.
  12. En déduire l'expression de la polarisabilité en fonction de la pulsation ω.
  13. Représenter sommairement le graphe de la fonction α(ω).

2. Etude du champ électrique dans un plasma

Un plasma est constitué de deux types de particules chargées. On notera respectivement n^+et n^− la densité particulaire des charges positives et négatives. Dans le cadre d'une modélisation analogue à celle du modèle de Thomson, la distribution de charges positives est supposée uniforme dans l'espace. Les charges négatives (électrons) sont libres de se déplacer. A l'équilibre, la charge volumique ρ = (n^+ − n^−)q_e, le champ et le potentiel sont nuls en tout point. On suppose désormais que le déplacement des charges négatives se fait uniquement suivant la direction e_x et que les charges positives sont fixes dans le référentiel d'étude.
Figure 1
2.1 Sous l'effet d'une perturbation, les électrons contenus initialement dans une tranche cylindrique de base S dans le plan d'abscisse x et d'épaisseur dx se retrouvent dans une tranche de base S dans le plan d'abscisse x + ξ(x, t) et d'épaisseur dx + dξ(x, t) avec |dξ(x, t)|≪|dx| (voir figure 1). On suppose que le milieu non perturbé est localement neutre.
  1. En écrivant la conservation du nombre des électrons contenus initialement dans la tranche cylindrique de base S et d'épaisseur dx, établir l'expression de la variation dn^−(x, t) de la densité particulaire d'électrons en fonction de n^−(x, t) et de dξ(x, t)/dx.
  2. Exprimer la charge volumique ρ(x, t) et le moment dipolaire volumique P(x, t) résultant de ce déplacement en fonction de n^−, q_e et ξ.
  3. En utilisant l'équation de Maxwell Gauss, donner l'expression en fonction de n^−, q_e et ξ du champ électrique E_P créé dans le plasma par cette distribution de charge.
  4. Quelle est alors la relation entre le champ E_P créé par la matière polarisée et le moment dipolaire volumique P ?
  5. Ecrire l'équation du mouvement pour un électron soumis à ce seul champ et dont le déplacement par rapport à l'équilibre est ξ.
  6. Montrer que le plasma peut être le siège d'oscillations spontanées de la charge volumique électronique et expliciter leur pulsation ω_p en fonction des constantes q_e, m et ε_0 et de la densité électronique n^−.
  7. Quelle est la valeur de ω_p pour n^− = 10^(29) m^(− 3) ?
    2.2 Le plasma est soumis à un champ appliqué E_a(t) variant dans le temps avec une pulsation ω, E_a(t) = E_a cos(ωt)e_x.
  8. Ecrire l'équation du mouvement d'un électron sous l'action combinée du champ appliqué et du champ E_P créé par le plasma polarisé.
  9. Etablir la relation entre le moment dipolaire volumique P et le champ appliqué en fonction de ω et ω_p.
  10. En déduire la relation entre le moment dipolaire volumique P et le champ local E = E_a + E_P en fonction de ω et ω_p. On posera P = ε_0 χ(ω)E, et on explicitera χ(ω).

3. Onde électromagnétique dans un plasma

La perturbation évoquée ci-dessus est une onde électromagnétique plane polarisée rectilignement selon Ox de pulsation ω dont le champ électrique s'écrit E_a(x, t) = E_a e^(− i(ωt − kx))e_x. La vitesse des particules chargées restant faible par rapport à celle de la lumière, on néglige dans la suite l'effet du champ magnétique sur leur mouvement. On néglige également toute dissipation d'énergie. Dans ces conditions, la propagation d'une onde de pulsation ω obéit à l'équation de
d'Alembert où l'on a simplement remplacé la permittivité du vide ε_0 par la valeur ε = ε_0(1 − ω_p^2/ω^2).
  1. Ecrire l'équation de d'Alembert pour une onde plane polarisée du type donné et en déduire la relation de dispersion k(ω).
  2. Expliciter pour une telle onde, les vitesses de phase et de groupe.
  3. Montrer que ne peuvent se propager que des ondes dont la fréquence est supérieure à une certaine valeur ω_c que l'on explicitera.
  4. A.N. Le plasma ionosphérique correspond à une densité électronique n^− = 10^(12) m^(− 3). Calculer la fréquence de coupure en dessous de laquelle les ondes ne peuvent le traverser. Dans quel domaine du spectre électromagnétique se situe cette fréquence ?
  5. En tenant compte du modèle proposé, expliquer ce que deviennent les ondes qui ne peuvent se propager dans ce plasma.

- PARTIE B -

Etude d'un étireur à réseaux

Dans le domaine de l'optique ultra-rapide, l'amplification des impulsions lumineuses se heurte à une difficulté majeure. En effet, lors de l'amplification, l'intensité crête, inversement proportionnelle à la durée des impulsions, peut prendre des valeurs bien supérieures au seuil de dommage du milieu amplificateur. Pour éviter cela, on utilise des dispositifs optiques permettant d'étirer temporellement l'impulsion avant amplification, et de la «re-comprimer» après amplification.
Dans ce problème on se propose d'étudier le principe d'un étireur d'impulsions constitué par l'association de deux réseaux à réflexion. Dans la première partie on étudiera les propriétés dispersives d'un seul réseau puis dans la deuxième partie, on étudiera celles résultant de l'association de deux réseaux identiques parallèles entre eux. Enfin, on étudiera dans la troisième partie le changement du profil temporel d'une impulsion de lumière se propageant dans ce dispositif optique.

1. Réseau à échelettes

On considère le réseau en réflexion dit à échelettes représenté dans la figure 1-a, constitué d'une succession de facettes réfléchissantes (largeur b ) inclinées d'un angle γ par rapport au plan du réseau. Une onde plane monochromatique (longueur d'onde λ ) éclaire le réseau sous un angle i_0
par rapport à la normale e_r et on observe l'onde diffractée à l'infini dans la direction qui fait un angle θ avec e_r. Les angles d'incidence et de diffraction par rapport à la normale de la facette sont respectivement α_0 et α.
Figure 1-a

1.1. Diffraction par une facette

a. Exprimer la différence de phase entre les ondes véhiculées par deux rayons incidents dont l'un tombe sur une extrémité de l'arête de la facette en fonction de α_0, α et de la distance y (figure 1-b).
b. En déduire l'expression de l'amplitude diffractée par une facette dans la direction α.
c. Dans quelle direction de l'espace se situe le centre de la figure de diffraction ?
Figure 1-b

1.2. Diffraction par le réseau

a. Exprimer la différence de phase entre les ondes véhiculées par deux rayons homologues incidents tombant sur deux facettes consécutives, séparés d'une distance a et des angles i_0 et θ (figure 1-c).
b. En déduire la position des maxima principaux θ^((m)) en fonction de λ, a, i_0 et d'un nombre entier m.
c. On veut faire coïncider pour une longueur d'onde λ_0 l'ordre +1 du réseau avec le maximum de la courbe de diffraction d'une facette. Calculer la distance a entre les facettes qui permette de réaliser cette condition. Application numérique: γ = 30^∘, i_0 = 45^∘, λ_0 = 2μ m.
Figure 1-c
On suppose par la suite que la condition du 1.2.c est réalisée et que le réseau (avec γ = 30^∘ ) se comporte comme un miroir, réfléchissant l'onde incidente dans la direction θ(ω) donnée par sinθ(ω) = (2πc)/(ωa) − sini_0 pour des longueurs d'ondes λ = (2πc)/ω proches de λ_0 = 2μ m et où c est la vitesse de la lumière ( c = 310^8 m/s ). On néglige ainsi l'énergie répartie sur les autres maximums. On supposera aussi que la largeur du pic principal est négligeable.

2. Combinaison de deux réseaux à échelettes

On considère maintenant deux réseaux à échelettes (mêmes paramètres γ et a ) parallèles entre eux disposés comme le montre la figure (2). La distance z entre les réseaux est supposée être grande de sorte que l'on se trouve dans les conditions de diffraction à l'infini quand l'onde lumineuse irradie le réseau 2 . On envoie une onde plane véhiculée par le rayon incident faisant un angle i_0 = 45^o
avec la normale au réseau 1 . L'onde à l'entrée du réseau 1 est une impulsion lumineuse qui s'écrit sous la forme E(t) = E_0 exp[ − (t/τ)^2]exp(iω_0 t) où τ est une constante et ω_0 = 2πc/λ_0 est la pulsation centrale. On définit les relations de passage entre une fonction complexe E(t) et sa transformée de Fourier E^(ω) :
E^(ω) = 1/(√(2π))∫_(− ∞)^(+ ∞)E(t)exp(− iωt)dt et E(t) = 1/(√(2π))∫_(− ∞)^(+ ∞)E^(ω)exp(iωt)dω
E^(ω) est une fonction complexe de ω. L'impulsion lumineuse peut être décrite comme une superposition d'ondes monochromatiques dont le poids de chaque composante est donné par 1/(2π)|E^(ω)|^2. On a dessiné sur la figure (2) le trajet correspondant à une onde de pulsation centrale ω_0. On pose θ_0 = θ(ω_0).
On donne la relation ∫_(− ∞)^(+ ∞)exp(− (c_1 t^2 + 2ic_2 t))dt = √(π/(c_1))exp(− c_2^2/c_1) avec c_1, c_2 réels et c_1 > 0.
On convient de définir la «largeur» d'une courbe comme la demi-largeur à 1/e du maximum de cette courbe.
Figure 2
2.1. a. Donner la signification de τ.
b. Calculer la transformée de Fourier E^(ω) de l'impulsion.
c. En déduire sa «largeur».
2.2. a. Dans quelle direction, mesurée par rapport au rayon incident sur le réseau 1 , est diffracté le rayon lumineux associé à ω_0 après le deuxième réseau?
b. Dessiner le trajet d'un rayon correspondant à une composante spectrale ω quelconque proche de ω_0.
c. Conclure sur les directions des rayons diffractés par le deuxième réseau.
2.3. a. Pour une composante spectrale ω, trouver la relation x(θ) donnant le point d'impact du rayon lumineux sur le plan d'observation (P) perpendiculaire au trajet du rayon associé à ω_0. On prendra l'origine x = 0 pour ω = ω_0.
b. A partir de la relation θ(ω), trouver la relation entre Δθ = θ(ω) − θ_0 et Δω = ω − ω_0 sachant que θ est proche de θ_0.
c. En déduire la relation ω(x) caractérisant l'étalement spatial du spectre de l'impulsion le long du plan (P). On rappelle que ω et θ sont proches de ω_0 et θ_0 respectivement, et qu'un développement limité peut donc être effectué.
d. En ne tenant compte que de la dispersion spatiale déterminée précédemment, déterminer le profil spatial de l'intensité lumineuse au niveau de ce plan (P).
e. Application numérique : Calculer θ_0 en degré puis la «largeur» de la courbe de l'intensité diffractée dans le plan (P) pour τ = 100fs(1fs = 10^(− 15)s), z = 2m, et a = 2, 07μm.

3. Etirement temporel d'impulsions lumineuses

La différence de phase totale Δφ accumulée jusqu'au plan (P) entre deux rayons associés à ω et ω_0 s'exprime à partir d'un développement limité à l'ordre 2 comme Δφ ≃ φ_0^′ Δω + (φ_0^(′′))/2(Δω)^2 où Δω = ω − ω_0, φ_0^′ = ((dφ)/(dω))_(ω_0) et φ_0^(′′) = ((d^2 φ)/(dω^2))_(ω_0).
3.1. En comparant à l'unité le terme de second ordre, pour quelles durées τ la correction d'ordre deux est-elle nécessaire? On prendra Δω ≃ 2/τ.
3.2 Le coefficient φ_0^(′′) peut être calculé en utilisant le fait que le déphasage quadratique au niveau du plan (P) est le même que le déphasage dans le plan (P_0) (figure 2) et est dû uniquement à la diffraction par le réseau 1 .
a. Calculer la phase accumulée par un rayon associé à ω à partir du point d'impact A et diffracté dans le plan ( P_0 ) en fonction de la distance AB et Δθ = θ(ω) − θ_0.
b. En déduire le coefficient φ_0^(′′) en fonction de a, z, ω_0 et l'angle de diffraction θ_0. Application numérique.
3.3 a. En tenant compte du déphasage Δφ, reconstituer le profil temporel du champ électrique de l'impulsion lumineuse au niveau du plan (P).
b. En déduire le module du champ.
c. Quelle est la signification du coefficient φ_0 ?
d. Donner la largeur temporelle τ_p de l'impulsion au plan ( P ).
e. Application : On envoie une impulsion lumineuse dans ce dispositif telle que τ = 100f_s. Calculer la durée de l'impulsion τ_p.

Fin de l'énoncé

Questions fréquentes

3 questions
Sur quels chapitres porte physique 2 CCINP MP 2005 ?
Afficher ou masquer la section

Sur quels chapitres porte physique 2 CCINP MP 2005 ?

Le sujet porte sur l'électromagnétisme dans un plasma (modèle de Thomson, propagation d'ondes) et sur l'optique des réseaux appliquée à un étireur d'impulsions lumineuses.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en physique 2 CCINP MP 2005 ?

Des erreurs de signe sur le moment dipolaire, des difficultés avec le régime permanent sinusoïdal, une confusion entre différence de phase et différence de marche, et un calcul différentiel mal maîtrisé en optique.

Le sujet physique 2 CCINP MP 2005 est-il difficile ?

Oui, la moyenne s'établit à 6,76 sur 20 avec un écart type de 3,59 sur 5860 copies, en net recul par rapport à l'année précédente, notamment à cause du problème d'optique.

Pas de description pour le moment