Géophysique de la planète Terre : champ de gravité, gravimètres et prospection électrique des sols
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Le sujet porte sur quelques questions de géophysique : étude du champ de gravité terrestre, fonctionnement d'un gravimètre, applications de la gravimétrie et prospection électrique des sols. Il s'appuie principalement sur la mécanique et, dans une moindre mesure, sur l'électromagnétisme, et ne comporte pas de question de chimie. Il comprend cinq parties, dont une dernière indépendante des précédentes sur la prospection électrique.
1I. Champ gravitationnel et champ de pesanteur terrestreÉtudier le champ gravitationnel créé par la Terre, sa variation avec l'altitude et le champ de pesanteur terrestre.
2II. Méthodes de mesure du champ de pesanteur à l'aide de pendulesÉtudier le pendule de Richter puis le pendule vertical pour mesurer le champ de pesanteur.
3III. Gravimètre à fléau de LaCoste et RombergÉtudier le fonctionnement d'un gravimètre à fléau, très guidé par des résultats intermédiaires fournis.
4IV. Applications de la gravimétrieExploiter les résultats précédents pour des applications de la gravimétrie, en tenant compte de la brisure de symétrie sphérique par la surface plane du sol.
5V. Prospection électrique des solsÉtudier un sol homogène puis un modèle à deux terrains pour la prospection électrique, thématique indépendante des parties précédentes.
Difficulté moyenne. Le rapport indique une longueur raisonnable et un sujet sans difficulté majeure, environ un quart des candidats ayant réussi à aborder l'ensemble des parties, tandis que ceux traitant moins d'un quart des questions apparaissent relativement faibles.
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)
Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.
Source : document officiel du concours. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.
Ce qu'a observé le jury
5 erreurs relevées
Erreurs de signe dans le théorème de Gauss · Formules générales inutilement lourdes pour l'accélération d'entraînement · Résultats fournis obtenus malhonnêtement
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L'épreuve, de longueur raisonnable, a permis à un grand nombre de candidats de traiter une forte proportion des questions. Environ un quart des candidats a abordé l'ensemble des parties avec une bonne appréhension des modèles, reposant sur une assimilation sérieuse du programme. Les parties III et IV fournissaient des résultats intermédiaires, mais seuls les meilleurs candidats ont su les exploiter pleinement jusqu'aux valeurs numériques et conclusions finales.
Les erreurs les plus sanctionnées
1
Erreurs de signe dans le théorème de Gauss
De nombreuses erreurs de signe conduisent souvent à un champ de gravité répulsif, du plus mauvais effet en début de copie ; une analyse des symétries et des invariances doit précéder l'application du théorème de Gauss.
« De nombreuses erreurs de signes sont commises dans le théorème de Gauss »
2
Formules générales inutilement lourdes pour l'accélération d'entraînement
Certains candidats utilisent de lourdes formules générales pour exprimer l'accélération d'entraînement, ce qui conduit à une perte de temps ou à des erreurs sur la force d'inertie, y compris sur son sens.
3
Résultats fournis obtenus malhonnêtement
Dans la partie III, très guidée, certains candidats obtiennent les résultats fournis à partir de prémisses fausses, ce qui compromet leur crédibilité pour la suite.
4
Théorème de Gauss appliqué à tort à un système sans symétrie sphérique
En partie IV, les candidats invoquent rarement le principe de superposition et ne comprennent pas toujours que la surface plane du sol brise la symétrie sphérique, rendant le théorème de Gauss inapplicable au système complet.
5
Erreurs de signe dans le modèle de Wenner
Bien que la partie V soit relativement simple, de fréquentes erreurs de signe invalident l'exploitation du modèle de Wenner.
Ce qui a été bien réussi
La partie I, très proche du cours, a été correctement traitée par de nombreux candidats.
Les questions 35 et 36 ont été assez bien traitées par les candidats qui les ont abordées, malgré l'omission fréquente du rôle de la symétrie sphérique.
Le jury a récompensé les candidats qui ont exploité la sensibilité des gravimètres, donnée parmi les données numériques, pour commenter les résultats de la première partie.
Conseils du jury
Analyser systématiquement les symétries et invariances avant d'appliquer le théorème de Gauss.
Exploiter le principe de superposition lorsque la géométrie du problème n'est plus purement sphérique.
Justifier l'origine des valeurs numériques exploitées, en particulier lors de lectures croisées de courbes, par une référence explicite aux figures fournies.
Soigner la précision du vocabulaire, l'orthographe et la lisibilité, car de nombreuses questions appellent des réponses rédigées en langue française sans calcul.
Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.
Ce sujet propose de traiter de diverses applications de la physique à l'étude de la planète Terre. On s'intéresse dans un premier temps aux méthodes de mesure du champ de pesanteur terrestre (gravimétrie) puis à leurs applications dans le génie civil. Dans un deuxième temps, on étudie les méthodes de prospection électrique des sols utilisées pour sonder des terrains.
Un ensemble de valeurs numériques est disponible en fin d'énoncé.
Certaines questions peu ou pas guidées, demandent de l'initiative de la part du candidat. Leur énoncé est repéré par une barre en marge. Il est alors demandé d'expliciter clairement la démarche, les choix et de les illustrer, le cas échéant, par un schéma. Le barème valorise la prise d'initiative et tient compte du temps nécessaire à la résolution de ces questions.
I Champ gravitationnel et champ de pesanteur terrestre
I.A - Champ gravitationnel créé par la Terre
Q 1. Énoncer le théorème de Gauss appliqué à la gravitation en précisant les analogies entre forces électrostatiques et gravitationnelles. On notera G→ le champ gravitationnel.
La Terre est assimilée à une boule homogène de rayon R_T, de centre C et de masse M_T uniformément répartie en volume. On repère un point M de l'espace dans le système de coordonnées sphériques d'origine C, associé à la base locale ( e⃗_r, e⃗_θ, e⃗_φ ). On appelle z = r − R_T > 0 l'altitude d'un point M situé à l'extérieur de la Terre et on associe à ce point un axe ( Oz ) (verticale du lieu) dont l'origine O est en r = R_T et tel que e⃗_z = e⃗_r.
Q 2. Déterminer l'expression du champ gravitationnel G→_T créé par la Terre à une altitude z > 0.
I.B - Variation du champ gravitationnel avec l'altitude
Soit un corps de masse m, assimilé à un point matériel, situé à la distance r = R_T du centre C de la Terre (altitude z = 0 ). On définit le vecteur unitaire local u⃗ perpendiculaire à l'axe ( Δ ) de rotation de la Terre sur elle-même (figure 1).
Q 3. Montrer que l'intensité du champ gravitationnel selon la verticale s'écrit, pour z≪R_T : G_T(z) ≈ (GM_T)/(R_T^2)(1 − 2z/(R_T)).
Q 4. Calculer l'altitude dont il faut s'élever pour observer une variation de 1, 00% de G_T.
Q 5. Donner l'expression du gradient vertical du champ gravitationnel. Que représente-t-il physiquement?
Q 6. Les géophysiciens utilisent comme unité de mesure du champ de pesanteur le gal avec 1gal = 1, 00 cm ⋅ s^(− 2). Évaluer la valeur du gradient exprimée en μgal ⋅ cm^(− 1)
Figure 1
et commenter.
I.C - Champ de pesanteur terrestre
Q 7. L'étude est conduite dans le référentiel terrestre. Exprimer la force d'inertie d'entrainement F⃗_(ie) s'exerçant sur un corps de masse m, situé à la distance r = R_T du centre de la Terre. La vitesse angulaire de rotation de la Terre sur elle-même est notée ω, la latitude est notée φ (figure 1).
Q 8. Le poids d'un objet de masse m(P⃗ = mg⃗) est égal, par définition, à la somme de la force de gravitation et de la force d'inertie d'entrainement. Écrire l'expression du champ de pesanteur g⃗ et le représenter sur un schéma au point M.
Q 9. Application numérique. Comparer, de manière relative, le terme d'inertie d'entrainement au terme dû au champ gravitationnel calculé à l'équateur. Commenter.
II Méthodes de mesure du champ de pesanteur à l'aide de pendules
Pour déterminer le champ de pesanteur localement, les géophysiciens disposent d'instruments appelés gravimètres. Le premier gravimètre utilisé historiquement a été un pendule.
II.A - Le pendule de Richter
Q 10. Pourquoi l'utilisation d'un pendule simple (figure 2) permet-elle de remonter à la mesure de l'intensité du champ de pesanteur g ?
Q 11. En 1672 l'astronome Richter part à Cayenne en Guyane avec une horloge à pendule réglée à Paris (pendule qui bat la seconde), il s'aperçoit qu'elle retarde de
Figure 2
2 min 28 s par jour. En déduire la valeur de g à Cayenne (à Paris g = 9, 81 m ⋅ s^(− 2) ). Pour quelle(s) raison(s) les valeurs de g sont-elles différentes à Cayenne et à Paris ? L'altitude de Paris varie entre 28 et 131 m et l'altitude de Cayenne entre 0 et 105 m .
Q 12. On admet que l'incertitude de mesure provient essentiellement de la mesure de la période T. Quelle devrait être l'incertitude sur la mesure de la période du pendule utilisé par Richter pour que l'incertitude sur la mesure de g soit égale à 1μgal (ordre de grandeur de la précision des gravimètres actuels).
II.B - Le pendule vertical
La mesure de l'élongation d'un ressort vertical au bout duquel est suspendue une masse permet de mesurer les variations du champ de pesanteur. L'ingénieur Lucien LaCoste a inventé un ingénieux ressort à spirale de longueur au repos nulle (figure 3).
Q 13. Si le champ de pesanteur terrestre varie de 10μgal, que vaut la variation de l'élongation d'un ressort usuel d'un laboratoire de lycée ?
Q 14. Quel est l'intérêt d'utiliser un ressort de longueur au repos nulle ?
Figure 3
III Gravimètre à fléau de LaCoste et Romberg
Le gravimètre de LaCoste et Romberg est un gravimètre qui permet de mesurer l'intensité du champ de pesanteur avec une incertitude typique de 1μgal.
Une tige de longueur a, de masse négligeable porte une masse m à l'une de ses extrémités et pivote sans frottement autour de l'axe Oz (figure 4). Le mouvement de la masse est repéré par l'angle θ, orienté par rapport à l'axe (Oz), il est donc positif sur la figure 4. La tige est retenue par un ressort de constante de raideur k, de longueur s et de longueur au repos s_0. Ce ressort est fixé sur la tige à la distance b du point pivot. La longueur y peut être ajustée.
Le dispositif est contenu dans un plan vertical, l'axe Oz est perpendiculaire à ce plan.
Figure 4
Q 15. Expliquer le fonctionnement du gravimètre.
Q 16. Pour le système gravimètre (tige + ressort + masse m ), écrire l'expression de l'énergie potentielle totale E_p (pesanteur et élastique) du système en fonction de m, g, k, a, θ, s et s_0.
Q 17. Donner l'expression de s en fonction de y, b et θ.
Q 18. Pour un mouvement de rotation pure le couple résultant Γ agissant sur la tige s'écrit Γ = − (∂E_p)/(∂θ). Montrer que
Q 19. Ce ressort a été fabriqué de telle manière que sa longueur au repos s_0 soit nulle (figure 3 ). Montrer que l'on peut déterminer la valeur de l'intensité de la pesanteur g en annulant ce couple. Aurait-on pu utiliser un ressort «classique»?
Pour toute la suite, le ressort a une longueur au repos nulle.
Dans la pratique, on incline le point de support du ressort d'un petit angle φ (figure 5).
Figure 5
Q 20. Exprimer s, puis l'énergie potentielle E_p^′, en fonction de y, b, φ et θ.
Les courbes de la figure 6 représentent l'énergie potentielle en fonction de θ du système sans et avec inclinaison du ressort (pour une meilleure visualisation, les valeurs des paramètres utilisés pour tracer ces courbes sont différentes de celles du système réel).
Figure 6
Q 21. Quel est l'intérêt d'avoir incliné le ressort ?
Q 22. Dans le cas où le point de support du ressort est incliné (figure 5), déterminer le nouveau couple Γ^′ résultant. Montrer qu'il s'écrit
Γ^′ = (mga − kybcosφ)cosθ − kybsinφsinθ
Q 23. Dans la pratique, l'angle θ reste petit. Écrire l'équation différentielle vérifiée par θ. On notera J le moment d'inertie de la tige et de la masse par rapport à l'axe Oz.
Q 24. Déterminer la pulsation propre des oscillations et la position moyenne θ_0.
On ajuste la longueur y de manière à annuler la position moyenne pour g = g_0.
Q 25. Application numérique. De quel angle φ doit-on incliner l'instrument pour obtenir des oscillations de période 20 s si g_0 ≃ 10 m ⋅ s^(− 2), a ≃ b = 1, 0 cm et J = ma^2 ?
Q 26. L'appareil est ensuite déplacé dans une zone où g = g_0 + Δg. Montrer que la nouvelle position moyenne θ_0^′ est égale à θ_0^′ = (Δg)/(g_0 tanφ).
Q 27. Si le champ de pesanteur varie de 10μgal quel est l'ordre de grandeur de la nouvelle position moyenne ? Commenter.
IV Applications de la gravimétrie
La gravimétrie est l'étude des variations du champ de pesanteur dans l'espace et dans le temps. Elle permet de déterminer la répartition des masses au sein de la Terre et d'avoir ainsi accès à sa structure. Par exemple, la gravimétrie est utilisée pour déterminer la forme de la Terre (géodésie), pour détecter des cavités (génie civil ou archéologie), pour suivre les stockages d'eau (hydrologie continentale).
Dans cette partie, nous allons déterminer, par une analyse gravimétrique, les dimensions d'un corps sphérique enterré dans un sol de masse volumique moyenne μ_m (figure 7 ).
Figure 7
Q 28. En utilisant le théorème de Gauss gravitationnel, déterminer l'expression du champ de pesanteur en un point M situé à l'extérieur d'une sphère homogène de rayon R et de masse volumique μ^′ = μ_m + Δμ en fonction de μ_m, Δμ, G, R, r, distance de M au centre de la sphère, et du vecteur unitaire e⃗_r (figure 7).
Le corps sphérique se trouve à une profondeur h dans le sol. Loin de la sphère (pour r≫R ), le champ de pesanteur est vertical selon Oz de valeur g_0.
Q 29. Déterminer g_(Bz), la composante verticale du champ de pesanteur créé par la boule au point M situé à une distance x de la verticale.
Q 30. Montrer que l'anomalie gravimétrique Δg = g_z − g_0, qui fait varier le champ de pesanteur apparent en un lieu, est identique au champ de pesanteur g_z^′ créé par une sphère de masse volumique Δμ.
Q 31. Montrer que l'anomalie gravimétrique s'écrit
Δg = (4πGΔμR^3 h)/(3(x^2 + h^2)^(3/2))
Q 32. Tracer l'allure de la courbe Δg en fonction de x pour des sphères identiques enterrées à deux profondeurs différentes h_1 et h_2 > h_1.
Q 33. Quel est le lien entre la profondeur h et la largeur à mi-hauteur de la courbe ? Que vaut l'anomalie gravimétrique maximale?
Q 34. Déterminer, à l'aide la courbe de la figure 8 , la profondeur h et le rayon R de la sphère enterrée.
Q 35. Comment rendre indétectable par analyse gravimétrique de l'or stocké dans une grotte sphérique ?
Q 36. La grotte de 1 m de rayon est à 4 m de profondeur. Quelle masse d'or est-il possible de cacher par cette méthode? Pour information, la masse volumique de l'or est ρ_(or) = 19300 kg ⋅ m^(− 3).
Q 37. Une étude archéologique préalable prévoit la disposition de deux grottes sphériques de même dimension (figure 9). Tracer l'allure de la courbe de l'anomalie gravimétrique attendue Δg = f(x) en vous aidant de la figure 10.
Figure 8 Anomalie gravimétrique Δg pour une sphère enterrée avec Δμ = 1000 kg ⋅ m^(− 3)
Figure 9
Figure 10 Anomalie gravimétrique pour une plaque horizontale semi-infinie
V Prospection électrique des sols
La prospection électrique est l'une des plus anciennes méthodes de prospection géophysique. Elle repose sur l'interprétation de la résistance électrique du terrain. Ces mesures doivent être réalisées in situ, cette mesure ne pouvant être réalisée en laboratoire sur un échantillon sorti de son environnement. Elles sont particulièrement adaptées à l'étude des faibles profondeurs.
V.A - Sol homogène
Q 38. Exprimer la résistance électrique d'un parallélépipède homogène de longueur L, de section A et de résistivité ρ = 1/σ où σ est la conductivité électrique du matériau (figure 11).
Pour déterminer la résistance électrique d'un terrain on impose la circulation d'un courant continu d'intensité I à la surface du sol qui se répartit en profondeur. Cette opération est réalisée grâce à des électrodes que l'on plante dans le sol aux points A et B (figure 12). La tension est mesurée à l'aide d'un voltmètre entre les points M et N.
Q 39. Dans la pratique on utilise un courant alternatif très basse fréquence. Pour quelle raison ?
Figure 11
Figure 12
Figure 13
Q 40. Considérons seulement l'électrode placée en A (figure 13). On note ȷ⃗(r) le vecteur densité volumique de courant au point P. La terre est considérée comme homogène. Quelle est la forme des lignes de courant dans la terre? Donner l'expression de ȷ⃗(r) en fonction notamment de l'intensité du courant I et de r.
Q 41. Exprimer le champ électrique E⃗(r) et le potentiel électrique V_A(r) au point P en fonction de I, r et ρ. On suppose que la valeur du potentiel est nulle à grande distance.
Q 42. Dans le cas des deux électrodes (figure 14), exprimer le potentiel électrique V au point P en fonction de ρ, r_A, r_B et I. On suppose que la valeur du potentiel est nulle à grande distance. Quelle relation définit les équipotentielles?
Figure 14
Q 43. Exprimer la différence de potentiel ΔV = V_M − V_N lue sur le voltmètre (figure 12). Montrer que la résistivité s'écrit ρ = (2πΔV)/(If) où f est le facteur géométrique à exprimer en fonction des distances MA, MB, NA et NB.
Q 44. Dans le cas de la configuration dite de Wenner (figure 15), les points A, M, N et B sont équidistants espacés de la longueur ℓ. Exprimer le facteur géométrique f.
Figure 15
Q 45. Les courbes de la figure 16 présentent le résultat de la simulation des équipotentielles tracées pour deux électrodes distantes de 10 m situées en ± 5, 0 m plantées dans un terrain de résistivité ρ = 100Ω ⋅ m. L'intensité du courant est I = 0, 50 A. Que vaut le facteur géométrique correspondant dans la configuration de Wenner? Cette valeur est-elle en accord avec la simulation de la figure 16 ?
Figure 16
Q 46. Tracer, en expliquant votre démarche, l'allure des lignes de courant.
V. B - Modèle à deux terrains
Dans le cas d'un milieu inhomogène on parle de résistivité apparente. Dans le modèle dit à deux terrains, le sol est constitué de deux couches superposées de résistivité ρ_1 et d'épaisseur h_1 pour la couche supérieure et de résistivité ρ_2 et d'épaisseur infinie pour la couche inférieure (figure 17). La résistivité apparente est mesurée pour différents espacements entre électrodes (distance AB variable).
Figure 17 Illustration du sondage électrique (d'après Chouteau et Giroux (2006)), allure des lignes de courant
Q 47. Vers quelle valeur tend à priori la résistivité apparente lorsque AB est faible ? lorsque AB est très grande ?
Q 48. La courbe de la figure 18 représente la résistivité apparente ρ_a mesurée expérimentalement en fonction de la distance AB/2. Déterminer la résistivité ρ_1 et ρ_2 des terrains ainsi qu'une estimation de la valeur h_1, épaisseur de la couche supérieure. On s'aidera de l'abaque CH1 donné figure 19 qui représente ρ_a/ρ_1 en fonction de AB/2h_1 en échelle bi-logarithmique. Chaque courbe de cet abaque correspond ainsi à la courbe d'un sondage électrique exécuté sur un sous-sol composé de deux terrains où la première couche a une épaisseur h_1 et une résistivité ρ_1.
Figure 18 Mesure deux terrains
Données numériques
Constante de gravitation universelle
Rayon de la Terre
Masse de la Terre
Unité de mesure de la pesanteur
Ordre de grandeur de la sensibilité des gravimètres actuels G = 6, 67 × 10^(− 11) kg^(− 1) ⋅ m^3 ⋅ s^(− 2) R_T = 6, 37 × 10^3 km M_T = 5, 97 × 10^(24) kg 1gal = 1, 00 cm ⋅ s^(− 2) Δg = 1μgal
Figure 19 Abaque CH1
Questions fréquentes
4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de physique-chimie 2 Centrale MP 2018 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de physique-chimie 2 Centrale MP 2018 ?
+
Le sujet porte sur le champ gravitationnel et le théorème de Gauss, la mécanique dans un référentiel non galiléen, les oscillateurs mécaniques appliqués aux gravimètres, et l'électrocinétique appliquée à la prospection électrique des sols.
Ce sujet Centrale MP physique-chimie 2 2018 contient-il de la chimie ?
+
Non, le rapport précise que le sujet ne comporte pas de question de chimie, ce chapitre étant évalué dans l'épreuve de physique-chimie 1.
Le sujet de physique-chimie 2 Centrale MP 2018 est-il difficile ?
+
Le rapport le qualifie de sujet sans difficulté majeure et de longueur raisonnable, environ un quart des candidats étant parvenu à traiter l'ensemble des parties.
Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet Centrale MP 2018 ?
+
Le jury relève de nombreuses erreurs de signe dans l'application du théorème de Gauss et dans le modèle de Wenner, ainsi qu'une mauvaise prise en compte de la brisure de symétrie sphérique dans la partie sur les applications de la gravimétrie.
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