On réalise un bobinage en enroulant sur un tronc de cône, jointivement suivant la génératrice, N spires d'un fil de cuivre de diamètre a et de résistivité ρ. Le tronc de cône de sommet S, de demi-angle au sommet α, est caractérisé par les rayons r_1 et r_2 > r_1 de ses deux bases.
Chaque spire est repérée par sa cote z qui mesure la distance qui sépare son centre de S. On désigne par r le rayon de la spire située à la cote z.
Exprimer le nombre N de spires qui constituent le bobinage en fonction de r_1, r_2, a et α.
a) N = (r_2 − r_1)/(acosα)
b) N = (r_2 − r_1)/(atanα)
c) N = (r_2 + r_1)/(2acosα)
d) N = (r_2 − r_1)/(asinα)
2. - On désigne par dN le nombre de spires dont la cote est comprise entre z et z + dz. On considère que ces dN spires ont la
même circonférence et qu'elles créent le même champ magnétique. Exprimer dN.
a) dN = (dz)/(acosα)
b) dN = (dz)/(asinα)
c) dN = (dz)/(atanα)
d) dN = (dz)/(2asinα)
3. - La résistance R d'un fil de résistivité ρ, de section S et de longueur ℓ est donnée par la relation : R = ρℓ/s. Calculer R.
a) R = ρ(r_2^2 − r_1^2)/(a^3 cosα)
b) R = 4ρ(r_2^2 − r_1^2)/(a^3 sinα)
c) R = 2ρ(r_2^2 − r_1^2)/(a^3 tanα)
d) R = ρ(r_2^2 + r_1^2)/(2a^3 cosα)
4. - Le bobinage est parcouru par un courant I dans le sens représenté sur la figure ci-dessus. On désigne par μ_0 la perméabilité du vide. Calculer le champ magnétique B⃗_1 créé en S par une spire de rayon r.
a) B⃗_1 = (μ_0 I)/(2r)sin^3 αe⃗_z
b) B⃗_1 = (μ_0 I)/rsin^3 αe⃗_z
c) B⃗_1 = (μ_0 I)/(2πr)sin^3 αe⃗_z
d) B⃗_1 = (μ_0 I)/(4πr)sin^3 αe⃗_z
5. - En déduire le champ magnétique créé en S par la totalité du bobinage.
a) B⃗ = (μ_0 Isin^3 α)/(2πa)ln(r_2 − r_1)/(r_2 + r_1)e⃗_z
b) B⃗ = (μ_0 Isin^3 α)/(2π(r_2 − r_1))ln(r_2)/(r_1)e⃗_z
c) B⃗ = (μ_0 Isin^3 α)/(2a)ln(r_2)/(r_1)e⃗_z
d) B⃗ = (μ_0 Isin^2 α)/(4π(r_2 + r_1))ln(r_2)/(r_1)e⃗_z
ENAC pilotes 2000
6. - Un microscope est constitué d'un objectif et d'un oculaire que l'on peut assimiler à deux lentilles minces convergentes L_1 et L_2. Le foyer image F_1^′ de L_1 et le foyer objet F_2 de L_2 sont séparés par une distance Δ = 16 cm. L'objectif L_1 a une distance focale image f_1^′ = 4 mm. Un observateur dont l'œil est normal et accommode à l'infini, regarde un objet A_0 B_0 à travers l'instrument (cf. figure). Calculer, dans ces conditions, la distance d_0 = O_1 A_0^– de l'objet au centre optique de L_1 pour qu'une image nette se forme sur la rétine.
a) d_0 = − 3, 5 mm
b) d_0 = − 4, 1 mm
c) d_0 = − 5, 2 mm
d) d_0 = − 7, 3 mm
7. - Calculer le grandissement transversal γ_(ob) de l'objectif.
a) γ_(ob) = − 40
b) γ_(ob) = − 30
c) γ_(ob) = − 20
d) γ_(ob) = − 25
8. - On désigne par d_m = 25 cm la distance minimale de vision distincte d'un oeil normal. On définit le grossissement commercial G d'un instrument optique par le rapport G = (α_i)/(α_o), où α_i est l'angle sous lequel un oeil normal accommodant à l'infini voit l'objet à travers l'instrument et a_o l'angle sous lequel l'objet est vu à l'œil nu lorsqu'il est placé à la distance minimale de vision distincte.
Déterminer le grossissement commercial G_(oc) de l'oculaire en fonction de f_2^′ et d_m.
a) G_(oc) = − (d_m − f_2^′)/(f_2^′)
b) G_(oc) = (d_m + f_2^′)/(f_2^′)
c) G_(oc) = (d_m)/(d_m + f_2^′)
d) G_(oc) = (d_m)/(f_2^′)
9. - Sachant que le grossissement commercial de l'oculaire vaut G_(oc) = 10, calculer le grossissement commercial G_m du microscope.
a) G_m = − 2000
b) G_m = − 300
c) G_m = − 200
d) G_m = − 400
10. - On définit la puissance P du microscope par le rapport P = α_i/A_0 B_0^– de la dimension angulaire α_i de l'objet vu à travers l'instrument par un oeil normal accommodant à l'infini sur la dimension réelle A_0 B_0^– de cet objet. Calculer P.
a) P = 3000δ
b) P = 1600δ
c) P = 1000δ
d) P = 500δ
11. - Un moteur M équivalent à un résistor de résistance R associé en série avec une bobine de coefficient d'auto-inductance L est alimenté en courant alternatif sinusoïdal de fréquence 50 Hz par un fil de résistance négligeable (cf. figure ci-contre). Le moteur consomme une puissance moyenne P_M = 4, 4 kW et son facteur de puissance est égal à 0,6 . On mesure entre ses bornes A et B une tension de valeur efficace U = 220 V.
Calculer le courant efficace I circulant dans la ligne.
a) I = 12, 5 A
b) I = 27, 2 A
c) I = 42, 6 A
d) I = 33, 3 A
12. - Calculer R.
a) R = 4Ω
b) R = 8Ω
c) R = 2Ω
d) R = 12Ω
Moteur M
Calculer L.
a) L = 7mH
b) L = 12mH
c) L = 17mH
d) L = 52mH
Pour relever le facteur de puissance de l'installation, on connecte entre les bornes A et B un condensateur de capacité C. La tension mesurée aux bornes du moteur a toujours la valeur U = 220 V.
Calculer la plus petite valeur de C pour que le nouveau facteur de puissance soit égal à 0,9 .
a) C = 246μ F
b) C = 354μ F
c) C = 192μ F
d) C = 53μ F
15. - Calculer la puissance moyenne P_M^′ absorbée par le moteur.
a) P_M^′ = 2, 3 kW
b) P_M^′ = 4, 4 kW
c) P_M^′ = 7, 8 kW
d) P_M^′ = 5, 3 kW
16. - Calculer le courant I^′ circulant dans la ligne.
a) I^′ = 12, 5 A
b) I^′ = 53, 4 A
c) I^′ = 33, 3 A
d) I^′ = 22, 2 A
17. - Une masse constante de gaz parfait, dont le rapport des capacités thermiques à pression et volume constants est γ = 1, 4 parcourt le cycle représenté sur le schéma de la figure ci-contre. Le gaz initialement dans l'état d'équilibre thermodynamique A caractérisé par une pression P_A = 10^5 Pa, une température T_A = 144, 4 K et un volume V_A = 4, 14.10^(− 4) m^3 subit une évolution isentropique qui l'amène à la température T_B = 278, 8 K.
Calculer la pression P_B du gaz dans ce nouvel état d'équilibre B .
a) P_B = 10^6 Pa
b) P_B = 5, 2.10^5 Pa
c) P_B = 12, 7 ⋅ 10^6 Pa
d) P_B = 3, 5 ⋅ 10^4 Pa
18. - Calculer V_B.
a) V_B = 3, 7 ⋅ 10^(− 3) m^3
b) V_B = 1, 4.10^(− 3) m^3
c) V_B = 0, 8 ⋅ 10^(− 4) m^3
d) V_B = 2, 3 ⋅ 10^(− 5) m^3
19. - Le gaz est mis en contact avec une source à la température T_B et subit une détente isotherme réversible qui ramène son volume à sa valeur initiale V_A.
Calculer la valeur P_C de la pression dans ce nouvel état d'équilibre C .
a) P_C = 0, 27 ⋅ 10^5 Pa
b) P_C = 1, 72.10^4 Pa
c) P_C = 1, 35.10^5 Pa
d) P_C = 1, 93.10^5 Pa
20. - Calculer la variation d'entropie ΔS_(BC) du gaz au cours de son évolution isotherme BC .
a) ΔS_(BC) = 3, 42 J ⋅ K^(− 1)
b) ΔS_(BC) = 0, 471 J ⋅ K^(− 1)
c) ΔS_(BC) = − 7, 17 J ⋅ K^(− 1)
d) ΔS_(BC) = 12, 14 J ⋅ K^(− 1)
21. - Le gaz dans l'état d'équilibre C est alors mis en contact avec une source à la température T_A tandis que son volume est maintenu constant à la valeur V_A.
Calculer la variation d'entropie ΔS_(CA) du gaz au cours de cette évolution isochore.
a) ΔS_(CA) = 12, 6 J ⋅ K^(− 1)
b) ΔS_(CA) = − 15, 3 J ⋅ K^(− 1)
c) ΔS_(CA) = 7, 17 J ⋅ K^(− 1)
d) ΔS_(CA) = − 0, 471 J.K^(− 1)
22. - Calculer la quantité de chaleur Q_(CA) échangée avec la source.
a) Q_(CA) = − 96, 3 J
b) Q_(CA) = − 12, 6 J
c) Q_(CA) = − 7, 32 J
d) Q_(CA) = 12, 9 J
23. - En déduire la valeur S_(CA)^c de l'entropie créée au cours de l'évolution isochore.
a) S_(CA)^c = 15, 2 J ⋅ K^(− 1)
b) S_(CA)^c = − 0, 256 J ⋅ K^(− 1)
c) S_(CA)^c = 0 J ⋅ K^(− 1)
d) S_(CA)^c = 0, 196 J ⋅ K^(− 1)
24. - On peut donc conclure que l'évolution est :
a) monotherme réversible
b) monotherme irréversible
c) isotherme irréversible
d) impossible
25. - Une particule chargée M de masse m et de charge q est lancée à l'origine O d'un repère d'espace R(Oxyz) avec une vitesse initiale V⃗_0 contenue dans le plan zOx : V⃗_0 = V_(0x)e⃗_x + V_(0z)e⃗_z. Cette particule est soumise à l'action d'un champ magnétique B⃗ = Be⃗_z uniforme et constant, dirigé suivant l'axe Oz et qui règne dans tout l'espace. On désigne par H la projection orthogonale de M sur le plan xOy.
On considère un second repère d'espace R^′(Ox^′ y^′ z), de même origine O et de même axe Oz que R. Ce repère est animé d'un mouvement de rotation autour de l'axe Oz avec une vitesse angulaire Ω⃗ = Ωe⃗_z constante.
On désigne par v⃗ la vitesse de la particule dans R. Donner l'expression de la force magnétique de Lorentz F⃗_L qui s'exerce sur elle dans R.
a) F⃗_L = qB⃗ ∧ v⃗
b) F⃗_L = qv⃗ ∧ B⃗
c) F⃗_L = 2qv⃗_0 ∧ B⃗
d) F⃗_L = − qv⃗_0 ∧ B⃗
26. - Exprimer la vitesse initiale v⃗_0^′ de la particule dans R^′.
a) v⃗_0^′ = − v⃗_0
b) v⃗_0^′ = Ωv⃗_0
c) v⃗_0^′ = 0→
d) v⃗_0^′ = v⃗_0
27. - On étudie le mouvement de la particule dans R^′. Montrer que la force d'inertie d'entraînement F⃗_(ie) peut s'écrire :
a) F⃗_(ie) = mΩ^2 HM^(→−)
b) F⃗_(ie) = − mΩ^2 HM^(→−)
c) F⃗_(ie) = − mΩ^2 OH^(→−)
d) F⃗_(ie) = mΩ^2 OH^(→−)
28. - On pose ω_c = qB/m et l'on impose que Ω = − ω_c/2.
On admettra que la force de Lorentz F⃗_L^′ qui s' exerce sur M dans R^′ a la même valeur que dans R : F⃗_L^′ = F⃗_L et l'on négligera la force de pesanteur.
Calculer la force résultante F⃗ qui s'exerce sur la particule.
a) F⃗ = − (mω_c^2 OH^(→−))/4
b) F⃗ = − (mω_c^2 OM^(→−))/2
c) F⃗ = − (mω_c^2 OM^(→−))/4
d) F⃗ = (mω_c^2 OH^(→−))/2
29. - Déterminer la loi horaire x^′(t) du mouvement suivant x^′.
a) x^′(t) = (v_(0x))/(ω_c)sinω_c t
b) x^′(t) = (2v_(0x))/(ω_c)sin(ω_c)/2t
c) x^′(t) = (2v_(0x))/(ω_c)sin2ω_c t
d) x^′(t) = (v_(0x))/2t^2
30. - Déterminer la loi horaire y^′(t) du mouvement suivant y^′.
a) y^′(t) = (v_(0x))/(ω_c)sinω_c t
b) y^′(t) = (2v_(0x))/(ω_c)sin(ω_c)/2t
c) y^′(t) = 0
d) y^′(t) = (v_(0x))/2t^2
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