Feuille d'entraînement : Lentilles, miroirs et formation des images

Corrigés

1. Exercice 1ENS Physique-Chimie L PC 2022, Q12

   L'utilisation d'un réflecteur parabolique présente un avantage déterminant par rapport à un miroir sphérique :

   • Stigmatisme rigoureux pour un objet à l'infini sur l'axe : par propriété géométrique de la parabole, tout rayon incident parallèle à l'axe optique converge exactement au foyer image F, quelle que soit sa distance à l'axe.
   • Absence d'aberration de sphéricité : un miroir sphérique ne réalise un stigmatisme qu'approché, valable uniquement dans les conditions de Gauss (rayons paraxiaux, proches du sommet et peu inclinés). Pour un miroir sphérique de grande dimension, les rayons marginaux (éloignés de l'axe) se croisent plus près du sommet que les rayons paraxiaux, formant une tache focale le long de l'axe appelée aberration géométrique de sphéricité.

   Le réflecteur parabolique permet donc de s'affranchir de l'aberration de sphéricité et d'ouvrir largement le miroir (grand diamètre) afin de collecter un maximum de lumière tout en conservant une image parfaitement nette au foyer pour les objets situés sur l'axe.

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2CentraleSupélec Physique 2 PC 2021, Q2

   L'objet AB est placé perpendiculairement à l'axe optique, en avant du foyer principal objet F_1 de l'objectif L_1.

   1. Construction de l'image intermédiaire A_1B_1 par l'objectif L_1 : Pour déterminer la position du point image B_1, on trace deux rayons issus de B :

   • le rayon passant par le centre optique O_1, qui n'est pas dévié ;
   • le rayon parallèle à l'axe optique, qui émerge de L_1 en passant par le foyer principal image F'_1.

   Ces deux rayons se coupent en B_1. Le point A_1 étant le projeté orthogonal de B_1 sur l'axe optique, il est confondu avec le foyer principal objet de l'oculaire :

   A_1 = F_2

   L'image intermédiaire A_1B_1 est réelle, inversée et fortement agrandie.

   2. Construction de l'image définitive à travers l'oculaire L_2 : Le point B_1 appartenant au plan focal objet de L_2, l'oculaire en donne une image à l'infini :

   • les deux rayons précédemment tracés se propagent au-delà de B_1 et rencontrent la lentille L_2 ;
   • ils émergent de L_2 parallèlement entre eux, inclinés d'un angle \alpha' par rapport à l'axe optique, parallèlement au rayon fictif non dévié passant par B_1 et le centre optique O_2.

   L'image finale A'B' est donc rejetée à l'infini :

   \boxed{AB \xrightarrow{L_1} A_1 B_1 \text{ (dans le plan focal objet de } L_2) \xrightarrow{L_2} A_\infty B_\infty \text{ (à l'infini)}}

   Résultat

   $$AB\stackrel{L_1}{\to }{A}_1{B}_1\text{ (dans le plan focal objet de }{L}_2)\stackrel{L_2}{\to }{A}_{\infty }{B}_{\infty }\text{ (aˋ l’infini)}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3Mines-Ponts Physique 1 PC 2021, Q22

   Pour former une image finale A_2 B_2 rejetée à l'infini à travers l'oculaire convergent L_2, l'image intermédiaire A_1 B_1 doit se situer dans le plan focal objet de L_2. Le point A_1 est donc confondu avec le foyer objet F_2 (A_1 = F_2).

   La construction des rayons lumineux issus du point objet B s'effectue en deux étapes :

   • À travers l'objectif L_1 :

     • Le rayon incident issu de B et passant par le centre optique O_1 n'est pas dévié.
     • Le rayon incident issu de B et parallèle à l'axe optique émerge de L_1 en passant par le foyer image F'_1.
     • L'intersection de ces deux rayons définit la position de l'image intermédiaire B_1, qui est réelle et renversée.

   • À travers l'oculaire L_2 :

     • Le rayon passant par B_1 et le centre optique O_2 traverse L_2 sans déviation.
     • Tous les autres rayons issus de B_1 (notamment ceux provenant de L_1) émergent de L_2 parallèlement à cette direction B_1 O_2. Le faisceau émergeant est constitué de rayons parallèles entre eux, formant une image à l'infini vue sous le diamètre apparent \alpha'.

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4Mines-Ponts Physique 2 PC 2020, Q4

   Le microscope simple de Van Leeuwenhoek fonctionne sur le principe d'une loupe de très courte distance focale f'_L.

   L'intérêt d'interposer cette lentille entre l'échantillon et l'observateur est double :

   • Observation sans fatigue visuelle : En plaçant l'échantillon AB dans le plan focal objet de la lentille (A=F), l'image A'B' est rejetée à l'infini. Un œil emmétrope placé juste derrière la lentille observe ainsi l'image sans accommoder.

   • Augmentation spectaculaire de l'angle apparent (grossissement) : À l'œil nu, pour voir un objet le plus gros possible, l'observateur doit le placer au punctum proximum (d_{PP} \approx 25\text{ cm}), sous un angle apparent :

     \alpha_{\text{nu}} \approx \frac{AB}{d_{PP}}

     Avec la lentille boule, l'angle sous lequel est vue l'image à l'infini s'exprime dans les conditions de Gauss par :

     \alpha' \approx \frac{AB}{f'_L}

     Le grossissement commercial associé est alors :

     \boxed{G_c = \frac{\alpha'}{\alpha_{\text{nu}}} = \frac{d_{PP}}{f'_L}}

   Comme le rayon de la bille de silice est millimétrique, sa distance focale f'_L est extrêmement courte (f'_L \approx 1\text{ mm}), ce qui procure un grossissement commercial considérable (G_c \approx 250). Des détails microscopiques invisibles à l'œil nu deviennent ainsi discernables.

   Résultat

   $$G_c=\frac{{\alpha }^{\prime }}{{\alpha }_{\text{nu}}}=\frac{d_{PP}}{f_L^{\prime }}$$

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5. Exercice 5CCINP Physique PC 2026, Q5

   Dans une configuration en coin d'air éclairé par une source étendue (ici obtenue grâce à l'élargisseur de faisceau), les franges d'interférences sont localisées au voisinage immédiat des miroirs (la surface des miroirs joue le rôle de plan source/objet d'interférences).

   Pour projeter et observer nettement cette figure d'interférences sur l'écran, celui-ci doit se trouver dans le plan conjugué du miroir M_2 à travers la lentille convergente (\mathcal{L}').

   En notant O_L le centre optique de la lentille (\mathcal{L}') et en orientant l'axe optique dans le sens de propagation de la lumière :

   • la position de l'objet (miroir M_2) est \overline{O_L M_2} = -D (avec D > 0) ;
   • la position de l'image (écran) est \overline{O_L \text{Écran}} = D' (avec D' > 0) ;
   • la distance focale image est f'.

   La relation de conjugaison de Descartes donne :

   \frac{1}{\overline{O_L \text{Écran}}} - \frac{1}{\overline{O_L M_2}} = \frac{1}{f'} \iff \frac{1}{D'} - \frac{1}{-D} = \frac{1}{f'} \iff \frac{1}{D'} = \frac{1}{f'} - \frac{1}{D} = \frac{D - f'}{D f'}.

   L'écran doit donc être placé à la distance :

   \boxed{D' = \frac{D f'}{D - f'}}

   Résultat

   $$D^{\prime }=\frac{D{f}^{\prime }}{D-f^{\prime }}$$

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6. Exercice 6CentraleSupélec Physique 1 PC 2026, Q40

   Pour obtenir un faisceau de lumière parallèle à partir d'une source étendue, on réalise un système de collimation à deux lentilles convergentes :

   • La source spectrale étendue (lampe à vapeur de sodium) éclaire une première lentille convergente \mathcal{L}_1 (jouant le rôle de condenseur).
   • Un diaphragme de faible dimension (trou ou fente source), centré sur l'axe optique, est disposé au point où \mathcal{L}_1 forme l'image de la source (ou dans son plan focal image si la source est éloignée). Ce diaphragme sélectionne une portion spatiale très restreinte du faisceau, formant ainsi une source secondaire quasi ponctuelle de forte luminance.
   • Une seconde lentille convergente \mathcal{L}_2 (dite lentille de collimation), de distance focale f'_2, est positionnée de façon à ce que son foyer principal objet F_2 coïncide avec le centre du diaphragme.

   D'après les lois de l'optique géométrique, tout rayon issu du foyer objet F_2 émerge de la lentille \mathcal{L}_2 parallèlement à l'axe optique : on obtient ainsi en sortie un faisceau de rayons parallèles (modélisable par une onde plane monochromatique).

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7CentraleSupélec Physique 2 PC 2026, Q1

   Plusieurs raisons physiques et techniques justifient l'utilisation de miroirs concaves plutôt que de lentilles dans les télescopes :

   • Absence d'aberrations chromatiques : les lois de la réflexion (lois de Snell-Descartes) sont rigoureusement indépendantes de la longueur d'onde \lambda. À l'inverse, la réfraction dans une lentille dépend de l'indice n(\lambda) du verre (phénomène de dispersion), ce qui focalise les différentes couleurs à des distances différentes.
   • Absence d'absorption dans le matériau : le faisceau lumineux ne traverse pas l'épaisseur du verre mais se réfléchit sur une surface traitée. Dans l'infrarouge (domaine d'étude privilégié du JWST), la plupart des verres optiques usuels absorbent fortement le rayonnement.
   • Contraintes mécaniques et thermiques : un miroir peut être soutenu sur toute sa face arrière et allégé (structure alvéolaire, miroirs segmentés comme sur le JWST), alors qu'une lentille de grand diamètre ne peut être maintenue que par ses bords et se déforme sous son propre poids. De plus, seul l'état de surface d'un miroir doit être parfait, sans exiger l'homogénéité du matériau dans la masse.

   Une seule de ces raisons suffit pour répondre à la question ; l'absence totale d'aberration chromatique constitue l'argument optique principal.

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8. Exercice 8X-ENS Physique B PC 2025, Q5

   Les conditions de l'approximation de Gauss imposent que les rayons lumineux soient paraxiaux, c'est-à-dire :

   • proches de l'axe optique : la distance r d'un rayon à l'axe doit être très petite devant les dimensions caractéristiques du système optique, ici la distance focale f ;
   • peu inclinés par rapport à l'axe optique : l'angle \theta formé par les rayons avec l'axe doit vérifier \theta \ll 1\text{ rad} (de sorte que \sin\theta \approx \tan\theta \approx \theta).

   Pour le faisceau incident, l'essentiel de la puissance lumineuse est confiné dans un cylindre de rayon w_0 = 4\text{ mm} autour de l'axe optique. On a donc :

   \frac{w_0}{f} = \frac{4\times 10^{-3}\text{ m}}{1\text{ m}} = 4\times 10^{-3} \ll 1

   Les rayons traversent donc la lentille à une distance de l'axe très faible devant la distance focale.

   Par ailleurs :

   • avant la lentille, le faisceau étant assimilé à un cylindre d'axe Oz, les rayons sont parallèles à l'axe (\theta \approx 0) ;

   • après la lentille, les rayons convergent vers le foyer situé à une distance f = 1\text{ m}. L'angle maximal \theta_{\max} avec l'axe optique correspond aux rayons marginaux situés à r \approx w_0 :

     \theta_{\max} \approx \frac{w_0}{f} = 4\times 10^{-3}\text{ rad} \ll 1\text{ rad}

   Les conditions de Gauss sont donc très largement satisfaites.

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9. Exercice 9X-ENS Physique B PC 2025, Q6

   Le faisceau incident quasi-parallèle de waist w_0 est focalisé par la lentille convergente de distance focale f. Le waist du faisceau émergent est situé au voisinage immédiat du foyer image F' (z \approx f) car la longueur de Rayleigh incidente z_R \approx 60\text{ m} est très supérieure à f = 1\text{ m}.

   D'après les relations données en (1), dans la zone de champ lointain (z \gg z'_R), le demi-angle de divergence du faisceau émergent s'écrit :

   \theta' = \lim_{z \to \infty} \frac{w(z)}{z} = \frac{w'_0}{z'_R} = \frac{\lambda}{\pi w'_0}

   Par ailleurs, dans les conditions de Gauss (Q5), les rayons périphériques émergent de la lentille avec une inclinaison par rapport à l'axe optique donnée par :

   \theta' \approx \frac{w_0}{f}

   En identifiant ces deux expressions, on obtient :

   \frac{w_0}{f} = \frac{\lambda}{\pi w'_0}

   d'où l'expression du waist émergent :

   \boxed{w'_0 = \frac{\lambda f}{\pi w_0}}

   Application numérique :

   w'_0 = \frac{800 \times 10^{-9} \times 1}{\pi \times 4 \times 10^{-3}} = \frac{2 \times 10^{-4}}{\pi}\text{ m} \approx 6 \times 10^{-5}\text{ m} = 60\ \mu\text{m}

   Avec un seul chiffre significatif :

   \boxed{w'_0 \approx 6 \times 10^{-5}\text{ m}}

   Résultat

   $$w_0^{\prime }=\frac{\lambda f}{\pi w_0}$$

   $$w_0^{\prime }\approx 6\times 10^{-5}\text{ m}$$

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10. Exercice 10Polytechnique Physique A PC 2024, Q18

    Le capteur étant carré et formé de N = 1024 pixels de pas p = 21\text{ }\mu\text{m}, son côté mesure :

    L = N \, p = 1024 \times 21 \times 10^{-6}\text{ m} \approx 2{,}15 \times 10^{-2}\text{ m} \approx 2 \times 10^{-2}\text{ m} = 2\text{ cm}.

    Le Soleil étant situé à l'infini par rapport au télescope, son image se forme dans le plan focal de la lentille équivalente. Dans l'approximation paraxiale (angles petits), le diamètre D de l'image du Soleil sur le capteur vaut :

    D = f \Delta.

    Numériquement, avec f = 1{,}867\text{ m} et \Delta = 9 \times 10^{-3}\text{ rad} :

    D = 1{,}867 \times 9 \times 10^{-3}\text{ m} \approx 1{,}68 \times 10^{-2}\text{ m} \approx 2 \times 10^{-2}\text{ m} = 1{,}7\text{ cm}.

    En comparant les dimensions :

    D \approx 16{,}8\text{ mm} < L \approx 21{,}5\text{ mm}.

    Le diamètre de l'image du Soleil est inférieur au côté du capteur carré : le disque solaire est donc intégralement inscrit dans le capteur.

    \boxed{\text{Oui, les dimensions du capteur permettent d'observer l'intégralité de la photosphère solaire.}}

    Résultat

    $$\text{Oui, les dimensions du capteur permettent d’observer l’inteˊgraliteˊ de la photospheˋre solaire.}$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question