Lien entre racines du polynôme annulateur et spectre

81 exercices

Uniformité de l'ordre des matrices entières

\mathbb{Z}

\mathbb{Q}

ordre fini Viète PPCM Relations coefficients-racines Diagonalisation

u

u^k

diagonalisation puissance de matrice noyaux itérés Somme directe de sous-espaces propres Stabilité

Éléments propres de l'opérateur de transposition pondérée

Endomorphismes canoniques de

\mathcal{M}_n(K)

transposition symétrique antisymétrique Somme directe S_n et A_n Polynôme annulateur

Diagonalisabilité et racines du polynôme minimal

Relations Polynomiales et Calcul Fonctionnel

polynôme annulateur polynôme minimal diagonalisabilité Polynôme minimal Raisonnement par l'absurde

Intégrité de suites récurrentes linéaires

Généralisations et Problèmes

suite récurrente linéaire entiers polynôme annulateur Polynôme caractéristique Récurrence forte

Diagonalisabilité de A et de A - A⁻¹

Relations Polynomiales et Calcul Fonctionnel

diagonalisation polynôme annulateur racines simples Critère polynomial de diagonalisabilité Étude de fonction

Réduction à une matrice compagnon

Exemples concrets et basse dimension

polynôme annulateur matrice compagnon endomorphisme cyclique Polynôme minimal Vecteur cyclique

Finitude des classes de similitude

Dénombrement de classes et équations polynomiales

classe de similitude polynôme annulateur noyaux itérés Dimensions des noyaux itérés Finitude du spectre

Calcul des puissances d'une matrice

Puissances

A^k

puissance diagonalisation binôme Binôme de Newton Division euclidienne

Équation faisant intervenir la comatrice

Équations avec la comatrice

comatrice adjugée polynôme annulateur Relation adjugée-déterminant Densité de GLn(C)

Étude d'une équation matricielle cubique

Équations polynomiales (P(X) = A)

polynôme annulateur déterminant diagonalisation Théorème des valeurs intermédiaires Critère de diagonalisation

Caractérisation de l'identité par trace et ordre fini

Arguments polynomiaux (polynôme scindé a racines simples)

trace ordre fini racines de l'unité Polynôme annulateur Somme de complexes

Topologie de l'ensemble des matrices annulant un polynôme

Ensemble

\{P(M)=0\}

polynôme annulateur composantes connexes points isolés Décomposition de Dunford Lemme des noyaux

Réduction et polynôme annulateur à racine double

Relations Polynomiales et Calcul Fonctionnel

diagonalisation polynôme annulateur trace Lemme des noyaux Polynôme minimal

Invariants de similitude et contre-exemple

Invariants de similitude et Rangs

polynôme caractéristique polynôme minimal matrices semblables Matrices par blocs Invariant du rang

Réduction de l'opérateur de retournement des polynômes

Projecteurs et symetries

involution polynôme réciproque caractéristique Polynôme annulateur Base de vecteurs propres

Matrices réelles annulant $X^2+X+1$

Relations Polynomiales et Calcul Fonctionnel

polynôme annulateur diagonalisabilité trace Polynôme scindé à racines simples Multiplicité des valeurs propres complexes

Calcul de puissances de matrices

Puissances

A^k

puissance de matrice diagonalisation polynôme annulateur Polynôme caractéristique Théorème du rang

Diagonalisabilité de matrices triangulaires par blocs

Matrices triangulaires par blocs (Avancé)

blocs diagonalisation polynôme annulateur Récurrence Polynôme de matrice

Endomorphisme vérifiant u^3 = u^2

Étude de cas spécifiques (Vers Fitting)

polynôme annulateur spectre diagonalisabilité Lemme des noyaux Critère de diagonalisation

Équations matricielles et non-diagonalisabilité

Racines carrees (X^2 = A)

nilpotence développement limité triangulation Indice de nilpotence Séries de matrices

Propriétés spectrales d'une matrice à structure antisymétrique

Arguments polynomiaux (polynôme scindé a racines simples)

déterminant polynôme caractéristique transposée Relation A + ^tA = 2I Polynôme scindé à racines simples

Sous-espaces stables en dimension 3

Pratique et calculs en dimension 3

sous-espace stable polynôme caractéristique valeur propre Théorème de Cayley-Hamilton Divisibilité polynomiale

Calcul de puissances de matrices d'ordre 2

Puissances

A^k

puissances de matrices diagonalisation binôme de Newton Polynôme caractéristique Matrice nilpotente

Polynôme minimal d'un graphe fortement régulier

Applications et ouvertures

graphe matrice d'adjacence polynôme annulateur Matrice J Vecteurs propres

Existence d'une solution à une équation polynomiale

Équations polynomiales (P(X) = A)

polynôme annulateur racine réelle valeurs intermédiaires Théorème des valeurs intermédiaires Matrices scalaires

Matrices et relation trace-puissance

Relations Polynomiales et Calcul Fonctionnel

trace diagonalisation polynôme annulateur Polynôme annulateur Trace

Somme des coefficients et matrices d'ordre 6

Matrices à coefficients dans

\mathbb{Z}

\mathbb{Q}

ordre groupe linéaire rationnel Polynôme caractéristique Trace

Équation A^p = I dans M_p(Q)

Matrices à coefficients dans

\mathbb{Z}

\mathbb{Q}

polynôme cyclotomique irréductibilité Eisenstein Critère d'Eisenstein Polynôme minimal

Réduction d'une matrice symétrique à paramètres

Calculs en dimension fixée (3 et 4)

diagonalisation polynôme d'endomorphisme matrice à paramètres Polynôme annulateur Valeurs propres

Structure de l'algèbre des polynômes en u

Isomorphismes, Décompositions et Dénombrements

isomorphisme d'algèbres polynôme minimal diagonalisabilité Théorème des restes chinois Noyau d'évaluation

Sous-groupes cycliques du groupe linéaire réel

Sous-groupes de

\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})

\mathrm{GL}_n(\mathbb{Z})

groupe linéaire isomorphisme racines de l'unité Polynôme annulateur Valeurs propres complexes

Équation matricielle avec transposition et diagonalisabilité

Arguments polynomiaux (polynôme scindé a racines simples)

transposition polynôme annulateur diagonalisation Lemme des noyaux Spectre

Diagonalisation d'une matrice triangulaire par blocs

Matrices triangulaires par blocs (Avancé)

matrices par blocs polynôme annulateur diagonalisation Polynôme de matrice Dérivation polynomiale

Supplémentarité du noyau et de l'image

Étude de cas spécifiques (Vers Fitting)

noyau image somme directe Lemme des noyaux Identité de Bézout

Réduction et contraintes sur les coefficients

Arguments polynomiaux (polynôme scindé a racines simples)

Spectre Trace Polynôme annulateur Trace Polynôme annulateur

Topologie des matrices d'ordre fini

Matrices d'ordre fini et torsion

racines de l'unité matrices diagonalisables polynôme caractéristique Polynôme annulateur Norme subordonnée

Clôture algébrique des rationnels

Matrices à coefficients dans

\mathbb{Z}

\mathbb{Q}

nombres algébriques extension finie corps algébriquement clos Dimension finie Théorème de Cayley-Hamilton

Sous-groupes cycliques de GL_n(R)

Sous-groupes de

\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})

\mathrm{GL}_n(\mathbb{Z})

isomorphisme groupe cyclique ordre d'une matrice Polynôme annulateur Conjugaison complexe

Réduction d'une matrice d'ordre 3

Relations Polynomiales et Calcul Fonctionnel

racines de l'unité diagonalisation similitude réelle Polynôme annulateur Spectre complexe

Équation matricielle et contrainte de trace

Équations polynomiales (P(X) = A)

trace transposée polynôme annulateur Nombre d'or Substitution

Trace et déterminant via polynôme annulateur

Calculs explicites en petite dimension ou rang faible

polynôme annulateur trace déterminant Théorème des valeurs intermédiaires Relations de Viète

Ordre fini dans GL2(Q)

Matrices à coefficients dans

\mathbb{Z}

\mathbb{Q}

ordre d'une matrice rationnels polynôme cyclotomique Polynôme minimal Polynôme caractéristique

Convergence d'une suite de fonctions itérées

Théorème de la double limite et commurarions de limites

point fixe convergence uniforme continuité Théorème de continuité Suites récurrentes

Comportement asymptotique d'une somme à exposant variable

Absence de convergence simple

exposant variable équivalent convergence dominée Inversion de sommation Convergence dominée discrète

Série trigonométrique et intégrales de Dirichlet

Théorème de dérivation

série de fonctions convergence normale transformation d'Abel Théorème de dérivation Intégration par parties

Convergence uniforme du taux d'accroissement

Convergence Dominée pour les suites

taux d'accroissement convergence uniforme théorème de Heine Théorème fondamental de l'analyse Théorème de Heine

Théorème de Dini et compacité

Convergence absolue

Dini compacité convergence uniforme Bolzano-Weierstrass Extraction de sous-suites

Convergence uniforme et fonctions lipschitziennes

Transmission de la continuité

lipschitz convergence simple convergence uniforme Inégalité triangulaire Subdivision

Non-interversion limite-intégrale sur un segment

2.1.3

convergence simple intégrale uniforme Primitivation Equivalents

Étude asymptotique de séries rationnelles

Théorème de la double limite et commurarions de limites

équivalent comparaison série-intégrale continuité Comparaison intégrale Convergence normale

Limites d'intégrales et puissances de x

Convergence Dominée pour les suites

convergence dominée changement de variable continuité Théorème de convergence dominée

Lien entre intégrales rationnelles et séries alternées

Intégration sur un segment

série alternée fraction rationnelle interversion TCD CSSA

Changement de variable et intégrale de Gauss

Théorème de la double limite et commurarions de limites

Gauss changement de variable intégration par parties Intégrale de Gauss Changement de variable linéaire

Limite divergente et minoration

Théorème de la double limite et commurarions de limites

divergence minoration segment Théorème de convergence dominée Propriété de minoration

Représentation intégrale de la constante d'Euler par Frullani

Fonctions Spéciales

Euler gamma Frullani Série harmonique Théorème de convergence dominée

Approximation de l'exponentielle et intégrale du logarithme

Convergence Dominée pour les suites

Euler logarithme IPP Théorème de convergence dominée Intégration par parties

Ensemble à point d'accumulation unique

2.1.3

point d'accumulation dénombrabilité Bolzano-Weierstrass Bolzano-Weierstrass Dénombrabilité

Propriétés de l'enveloppe équilibrée

Transmission de la continuité

équilibré compact fermé Image continue d'un compact Contre-exemple

Équivalent d'une série à paramètre

Passage à la limite sous l'intégrale (Segment)

série de fonctions équivalent comparaison série-intégrale Comparaison série-intégrale Décomposition en éléments simples

Étude d'une série de fonctions logarithmiques

Théorème de la double limite et commurarions de limites

série alternée dérivation équivalent CSSA Théorème de dérivation

Représentation intégrale d'une série entière

3.2.4

série entière intégration terme à terme transformation de Borel Théorème d'intégration terme à terme Fonction Gamma

Série de fonctions et comparaison intégrale

Théorème de la double limite et commurarions de limites

saut équivalent comparaison intégrale Changement de variable Convergence normale

Densité des fonctions dérivables par régularisation

Théorème d'Ascoli

uniforme continuité équation différentielle densité Variation de la constante Inégalité des accroissements finis

Itérés d'un opérateur de Volterra

Convergence absolue

Opérateur intégral Noyau de Volterra Série de Neumann Fubini Récurrence

Étude d'une série de fonctions logarithmiques

Limites et équivalents

série de fonctions convergence normale interversion limite-somme Sommes partielles Équivalents

Asymptotique d'une intégrale de puissances

Passage à la limite sous l'intégrale (Segment)

Intégrale de Wallis Convergence dominée Équivalent Théorème de convergence dominée Convexité

Étude d'une suite d'intégrales par développement en série

Intégration sur un segment

logarithme série entière intégration terme à terme Théorème d'intégration terme à terme Intégration par parties

Représentation intégrale de la fonction Zêta

Intégration sur un segment

Gamma Zeta intégration terme à terme Théorème d'intégration terme à terme Changement de variable

Convergence uniforme et équicontinuité lipschitzienne

Théorème d'Ascoli

Lipschitz compacité convergence uniforme Inégalité triangulaire Recouvrement fini

Comportement asymptotique de la fonction Zêta de Riemann

Convergence Dominée pour les suites

Zeta de Riemann constante d'Euler convergence uniforme Comparaison série-intégrale Convergence normale

Lien entre racines du polynôme annulateur et spectre

Uniformité de l'ordre des matrices entières

Caractérisation de la diagonalisabilité par les projecteurs spectraux

Réduction d'une suite de matrices par blocs

Rang d'une matrice annulant X^3+X^2+X

Réduction réelle d'une matrice d'ordre 3

Existence de polynômes minimaux réels

L'équation matricielle de Sylvester

Diagonalisabilité et composition polynomiale

Inversibilité et projecteurs dans K[u]

Sous-algèbres réduites de matrices

Puissances bornées et noyaux itérés

Condition de diagonalisabilité via une puissance

Éléments propres de l'opérateur de transposition pondérée

Diagonalisabilité et racines du polynôme minimal

Intégrité de suites récurrentes linéaires

Diagonalisabilité de A et de A - A⁻¹

Réduction à une matrice compagnon

Finitude des classes de similitude

Calcul des puissances d'une matrice

Équation faisant intervenir la comatrice

Étude d'une équation matricielle cubique

Caractérisation de l'identité par trace et ordre fini

Topologie de l'ensemble des matrices annulant un polynôme

Réduction et polynôme annulateur à racine double

Invariants de similitude et contre-exemple

Réduction de l'opérateur de retournement des polynômes

Matrices réelles annulant X2+X+1X^2+X+1X2+X+1

Calcul de puissances de matrices

Diagonalisabilité de matrices triangulaires par blocs

Endomorphisme vérifiant u^3 = u^2

Équations matricielles et non-diagonalisabilité

Propriétés spectrales d'une matrice à structure antisymétrique

Sous-espaces stables en dimension 3

Calcul de puissances de matrices d'ordre 2

Polynôme minimal d'un graphe fortement régulier

Existence d'une solution à une équation polynomiale

Matrices et relation trace-puissance

Somme des coefficients et matrices d'ordre 6

Équation A^p = I dans M_p(Q)

Réduction d'une matrice symétrique à paramètres

Structure de l'algèbre des polynômes en u

Sous-groupes cycliques du groupe linéaire réel

Équation matricielle avec transposition et diagonalisabilité

Diagonalisation d'une matrice triangulaire par blocs

Supplémentarité du noyau et de l'image

Réduction et contraintes sur les coefficients

Topologie des matrices d'ordre fini

Clôture algébrique des rationnels

Sous-groupes cycliques de GL_n(R)

Réduction d'une matrice d'ordre 3

Équation matricielle et contrainte de trace

Trace et déterminant via polynôme annulateur

Ordre fini dans GL2(Q)

Convergence d'une suite de fonctions itérées

Comportement asymptotique d'une somme à exposant variable

Série trigonométrique et intégrales de Dirichlet

Convergence uniforme du taux d'accroissement

Théorème de Dini et compacité

Convergence uniforme et fonctions lipschitziennes

Non-interversion limite-intégrale sur un segment

Étude asymptotique de séries rationnelles

Limites d'intégrales et puissances de x

Lien entre intégrales rationnelles et séries alternées

Changement de variable et intégrale de Gauss

Limite divergente et minoration

Représentation intégrale de la constante d'Euler par Frullani

Approximation de l'exponentielle et intégrale du logarithme

Ensemble à point d'accumulation unique

Propriétés de l'enveloppe équilibrée

Équivalent d'une série à paramètre

Étude d'une série de fonctions logarithmiques

Représentation intégrale d'une série entière

Série de fonctions et comparaison intégrale

Densité des fonctions dérivables par régularisation

Itérés d'un opérateur de Volterra

Étude d'une série de fonctions logarithmiques

Asymptotique d'une intégrale de puissances

Étude d'une suite d'intégrales par développement en série

Représentation intégrale de la fonction Zêta

Matrices réelles annulant $X^2+X+1$