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3.5

Classes de similitude, invariants et orbites

30 exercices

Réduction et similitude des matrices de rang 1

Approfondissement : Endomorphismes et Similitude
rang 1tracediagonalisationThéorème du rangPolynôme annulateur

Généralisations du théorème de Burnside

Torsion et Théorème de Burnside
classe de similitudetrace finiediagonalisableInvariant de similitudeSommes de Newton

Connexité des classes de similitude

Connexité des classes
connexitéréel vs complexecommutantGLn(C) connexeSigne du déterminant

Réduction d'une matrice nilpotente de rang 2n

Réduction et structure de Jordan
nilpotencerangsemblableThéorème du rangNoyaux itérés

Topologie des involutions et des classes de similitude

Ensembles définis par équation (Projecteurs/Involutions)
InvolutionsClasse de similitudeConnexité par arcsTraceDiagonalisabilité

Similitude de matrices diagonales à coefficients rationnels

Matrices à coefficients dans Z\mathbb{Z} ou Q\mathbb{Q}
similitudematrice compagnoncorps rationnelsMatrice compagnonDiagonalisabilité

Similitude et traces des puissances

Sommes de Newton (Traces des puissances)
tracepolynôme caractéristiquediagonalisabilitéRelations de NewtonPolynôme caractéristique

Matrices à produits toujours diagonalisables

Arguments polynomiaux (polynôme scindé a racines simples)
diagonalisabilitéGLnmatrice nilpotenteRéduction au rangPolynôme minimal

Points isolés des classes de similitude

Propriétés élémentaires (Borné, Intérieur)
classe de similitudepoint isolécommutantDéterminantContinuité

Autosimilitude et matrices nilpotentes

Similitude et Homothétie
nilpotencesimilitudespectreSpectreThéorème de Cayley-Hamilton

Similitude et commutant à spectre simple

Variations sur la Commutativité
spectre simplematrices semblablescommutantChangement de baseSpectre

Similitude entre une matrice et ses multiples

Similitude et Homothétie
nilpotencesimilitudespectreThéorème de Cayley-HamiltonInvariance du spectre

Endomorphismes vérifiant une relation polynomiale

Relations Polynomiales et Calcul Fonctionnel
diagonalisationpolynôme annulateurracines simplesLemme des noyauxPolynôme minimal

Similitude d'une matrice et de sa transposée

Applications
similitudetranspositionbloc de JordanRéduction de JordanChangement de base

Caractérisations des matrices nilpotentes

Applications structurelles et abstraites
nilpotencecommutateurtraceTraceLemme de factorisation

Réduction des endomorphismes nilpotents

Démonstrations structurelles (Standard)
nilpotencenoyaux itérésblocs de JordanSomme directeThéorème du rang

Matrices semblables à leur carré

Problèmes avancés et originaux
similitudecarréspectreLemme des noyauxThéorème du rang

Similitude et matrices compagnons en dimension 2

Exemples concrets et basse dimension
matrice compagnonsimilitudevecteur cycliquePolynôme caractéristiqueVecteur cyclique

Crochet de Lie et matrices nilpotentes

Commutateurs et Lemme de Jacobson
nilpotencecrochet de LietraceTraceDualité

Similitude et réduction de matrices circulantes

Matrices Circulantes : Exemples Introductifs
matrice circulantepermutationsimilitudePolynôme caractéristiqueVecteurs propres

Compacité d'une classe de similitude

Propriétés élémentaires (Borné, Intérieur)
classe de similitudecompactbornéCaractérisation séquentielle de la compacitéChangement de base

Crochet de Lie et similitude

Le lemme fondamental [f, g] = f
exponentielle de matricecrochet de LiesimilitudeÉquations différentielles matriciellesTraces des puissances

Connexité des classes de similitude

Connexité des classes
classe de similitudeconnexité par arcsmatrice symétriqueThéorème spectralTransvections

Similitude et diagonalisation par blocs

Matrices triangulaires par blocs (Avancé)
blocssimilitudediagonalisationMatrices de passagePolynôme annulateur

Similitude matricielle sur Q et Z

Matrices à coefficients dans Z\mathbb{Z} ou Q\mathbb{Q}
similitudecorps Qanneau ZPolynôme caractéristiqueÉquation AP=PB

Réduction des matrices nilpotentes de taille 3

Réduction et structure de Jordan
nilpotencesimilitudebase de KrylovThéorème du rangCayley-Hamilton

Adhérence d'une orbite de similitude

Adhérence et Nilpotence
similitudeadhérencerangPolynôme caractéristiqueDécomposition de Dunford

Polynôme minimal et similitude en dimension 2

Calculs explicites et matrices classiques
polynôme minimalsimilitudedimension 2Théorème de Cayley-HamiltonChangement de base

Caractérisation des fonctions invariantes par similitude

Applications : Invariants et Commutation
continuitésimilitudepolynôme caractéristiqueTrigonalisationDensité de D_n(C)

Décomposition en produit de matrices symétriques

Problèmes abstraits et avancés
matrice symétriquematrice compagnonFrobeniusMatrices compagnonsSimilitude à la transposée