E3A Mathématiques 3 MP 2002Sujet et corrigé

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Concours ENSAM - ESTP - ECRIN - ARCHIMEDE

Épreuve de Mathématiques 3 MP
durée : 4 heures

Problème

Préliminaires (définitions et rappels).

Dans tout le problème $E$ désigne un espace vectoriel de dimension finie sur le corps $ℂ$ des nombres complexes. On note $n$ sa dimension et on suppose $n ⩾ 2$ . On note $L(E)$ son algèbre d'endomorphismes.
Soit $u \in L(E)$ . Si $B$ est une base de $E$ , on note $Mat(u, B)$ la matrice de $u$ sur la base $B$ .
Soit $u \in L(E)$ . Pour tout entier naturel $p$ non nul. on note $u^p = u \circ \dots \circ u_()_(p fois)$ . On pose $u^0 = Id$ .
Soit $P \in ℂ[X]$ et $u \in L(E)$ ; on notera $P(u)$ l'application linéaire définie par :

\forallq \in ℕ, P(u) = \sum_(0 ⩽ k ⩽ q)a_k u^k si P(X) = \sum_(0 ⩽ k ⩽ q)a_k X^k.

Soit $u \in L(E)$ . On appelle commutant de u l'ensemble $C(u)$ des endomorphismes qui commutent avec $u$ ; on a :

C(u) = {v \in L(E), u \circ v = v \circ u}.

On rappelle que

C(u)

est un sous-espace vectoriel de

L(E)

On dit qu'un endomorphisme $u \in L(E)$ est nilpotent si et seulement si il existe un entier naturel non nul $p$ tel que $u^p = 0$ . Dans ce cas, le plus petit entier $p$ vérifiant $u^p = 0$ est appelé indice de nilpotence de $u$ .
On note $M_n(ℂ)$ l'algèbre des matrices carrées à $n$ lignes et $n$ colonnes et à coefficients dans le corps des nombres complexes $ℂ$ .

Partie 0. Un exemple.

Dans cette partie, on considère la matrice

M

M_n(ℂ)

telle que :

M

est diagonale et ses coefficients diagonaux sont les

n

entiers consécutifs

1, 2, \dots.n

. Ainsi, on a:

M = (1, 0, 0, ., ., 0; 0, 2, 0, 0, ., .; 0, 0, ., 0, ., .; ., 0, ., ., ., .; ., ., ., ., ., 0; 0, ., ., ., 0, n)

On note

C(M)

le sous-espace vectoriel formé par les matrices de

M_n(ℂ)

qui commutent avec

M

Démontrer que $C(M)$ est l'ensemble des matrices diagonales.
En déduire la dimension de $C(M)$ .

Dans toute la suite du problème,

u

désigne un endomorphisme de

E

Partie I. Commutant d'un endomorphisme diagonalisable.

λ \in ℂ

est une valeur propre de

u

, on note

E_λ(u)

le sous-espace propre associé :

E_λ(u) = ker(u - λId).

Dans cette partie, on suppose l'endomorphisme

u

diagonalisable.
Soient

p \in ℕ^*

(λ_1, λ_2, \dots, λ_p) \in ℂ^p

ses valeurs propres. On a :

E = ⨁_(1 ⩽ i ⩽ p)E_(λ_i)(u).

On pose

n_i = dimE_(λ_i)(u)

pour

1 ⩽ i ⩽ p

.
Soit

B

une base de

E

. On rappelle que la base

B

est dite adaptée à la somme directe

E = ⨁_(i < p)E_(λ_i)(u)

s'il existe pour chaque entier

i

compris entre 1 et

p

, une base (

e_1^i, \dots, e_(n_i)^i

) du sous-espace

1 ⩽ i ⩽ p

vectoriel

E_(λ_i)(u)

telle que

B = (e_1^1, \dots, e_(n_1)^1, e_1^2, \dots, e_(n_2)^2, \dots, e_1^p, \dots, e_(n_p)^p)

Montrer que si $v \in C(u)$ alors les sous-espaces $E_(λ_i)(u)$ sont stables par $v$ .
Pour tout entier $i$ compris entre 1 et $p$ , on note $u_i$ l'endomorphisme de $E_(λ_i)(u)$ induit par $u$ . Que peut-on dire de $u_i$ ?
En déduire que $v \in C(u)$ si et seulement si, sur une base $B$ adaptée à la somme directe $E = ⨁_(1 ⩽ i ⩽ p)E_(λ_i)(u) :$

Mat(v, B) = (V_1, 0, 0, ., ., 0; 0, V_2, 0, 0, ., .; 0, 0, ., 0, ., .; ., 0, ., ., ., .; ., ., ., ., ., 0; 0, ., ., ., 0, V_p)

avec

V_i \in M_(n_i)(ℂ)

pour

1 ⩽ i ⩽ p

.
4. Montrer que

dimC(u) = \sum_(1 ⩽ i ⩽ p)n_i^2

.
5. Montrer que si

u

est diagonalisable, alors

dimC(u) ⩾ n

.
6. Montrer qu'il existe

u \in L(E)

diagonalisable tel que

dimC(u) = n

Partie II. Commutant d'un endomorphisme nilpotent d'indice 2.

On suppose dans cette partie que

u

est nilpotent d'indice 2 et que

n ⩾ 2

. On note

r

le rang de

u

. On pose

s = n - 2r

Montrer que $Imu \subset keru$ . En déduire que $r ⩽ n/2$ .
Soit $G$ un supplémentaire de $keru$ dans $E$ muni de la base $(e_1^', e_2^', \dots, e_r^')$ , montrer que la famille $(u(e_1^'), u(e_2^'), \dots, u(e_r^'))$ est une base de $Imu$ .
En utilisant un sous-espace vectoriel $H$ de $E$ tel que $keru = Imu \oplus H$ , montrer qu'il existe une base $B^'$ de $E$ telle que :

Mat(u, B^') = (0, 0, I_r; 0, 0, 0; 0, 0, 0; s^\leftrightarrow, r^\leftrightarrow)↓s^(↑r)↑r^(↑r)

I_r

désigne la matrice identité d'ordre

r

.
4. Soit

v \in L(E)

; la matrice de

v

dans la base

B^'

est définie par blocs en posant :

Mat(v, B^') = (A_1, A_2, A_3; A_4, A_5, A_6; A_7, A_8, A_9)r^\leftarrow^(↑r)↑^↑s ↓^(↑r)

Montrer que

v \in C(u)

si et seulement si

éà{A_4 = 0_(s, r); A_7 = 0_(r, r); A_8 = 0_(r, s); A_9 = A_1 0_(p, q) désignant la matrice nulle à p lignes et q colonnes.

En déduire la dimension de $C(u)$ en fonction de $n$ et de $r$ . Montrer que : $dimC(u) ⩾ (n^2)/2$ .

Partie III. Commutant d'un endomorphisme $u$ vérifiant la relation (1):

(u - Id) \circ (u - 2Id)^2 = 0.

Id désigne l'application identique de

E

. On rappelle que :

(u - 2Id)^2 = (u - 2Id) \circ (u - 2Id).

On pose

E_1 = ker(u - Id)

E_2 = ker(u - 2Id)^2, n_1 = dimE_1

n_2 = dimE_2;

on suppose de plus

n_1 ⩾ 1, n_2 ⩾ 1

n ⩾ 2

Montrer en rappelant le théorème utilisé que :

E = E_1 \oplus E_2.

On note

p_1

le projecteur sur

E_1

parallèlement à

E_2

p_2

le projecteur sur

E_2

parallèlement à

E_1

.
2. Décomposer en éléments simples dans

ℂ(X)

la fraction rationnelle

F(X) = 1/((X - 1)(X - 2)^2).

En déduire deux polynômes

U

V

tels que :

1 = U(X)(X - 1) + V(X)(X - 2)^2, degU < 2 et degV < 1.

Montrer que $p_1 = V(u) \circ (u - 2Id)^2$ et $p_2 = U(u) \circ (u - Id)$ .
On note $d = p_1 + 2p_2$ ; montrer que $d$ est diagonalisable.
Soit $w = u - d$ . Calculer $w^2$ , en déduire que $w = 0$ ou $w$ est nilpotent d'indice 2 .
Détermination de $dimC(u)$ .
(a) Montrer que : $v \in C(u)$ si et seulement si $v \in C(d)$ et $v \in C(w)$ .
(b) Déterminer les restrictions de $w$ à $E_1$ et $E_2$ respectivement. En déduire qu'il existe une base $B$ de $E$ telle que

Mat(w, B) =, (0, 0; 0, N)↑n_1; ↑n_2; n^\leftrightarrow_1 n_2^\leftrightarrow

où

N

est la matrice de l'endomorphisme induit par (

u - 2Id

) sur

E_2

sur une base de

E_2

.
(c) Montrer que le rang de la matrice

N

est égal à

n_2 - dim(ker(u - 2Id))

.
(d) Montrer que

v \in C(u)

si et seulement si

Mat(v, B) =, (V_1, 0; 0, V_2)↑n_2^(↓n_1); n_1^\leftrightarrown_2^\leftrightarrow

V_2 N = NV_2

(e) Montrer que

u

est diagonalisable si et seulement si

N = 0

.
(f) On suppose

u

non diagonalisable. déterminer

dimC(U)

en fonction de

n_1, n_2

dim(ker(u - 2Id)

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Partie 0. Un exemple.

Partie I. Commutant d'un endomorphisme diagonalisable.

Partie II. Commutant d'un endomorphisme nilpotent d'indice 2.

Partie III. Commutant d'un endomorphisme u vérifiant la relation (1):

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Partie III. Commutant d'un endomorphisme $u$ vérifiant la relation (1):