Avion solaire SolarStratos, production de sel par dissolution et synthèse du longifolène
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La partie physique suit l'avion solaire SolarStratos : étude de la stratosphère, mouvement de l'avion puis fonctionnement de ses panneaux photovoltaïques (dopage du silicium, jonction PN). La partie chimie comporte deux problèmes : un procédé de production du sel par dissolution (cristallographie, thermochimie, précipitation) et la synthèse historique du longifolène, centrée sur la chimie organique.
1Physique, partie 1 : étude de la stratosphèreChamp de gravitation par le théorème de Gauss, relation fondamentale de l'hydrostatique et profil de pression d'une atmosphère à gradient thermique (Q1 à Q6).
2Physique, partie 2 : le mouvement de l'avionBilan des forces avec portance et traînée, analyse dimensionnelle, vitesse de croisière et puissance électrique nécessaire (Q7 à Q12).
3Physique, partie 3 : les panneaux photovoltaïquesÉnergie des photons visibles, diffusion des impuretés lors du dopage et champ électrique dans la zone de déplétion d'une jonction PN (Q13 à Q20).
4Chimie, problème 1 : production du sel par dissolutionpremière et deuxième annéesStructure cristalline du chlorure de sodium, thermochimie de la dissolution et équilibres de précipitation (Q21 à Q31).
5Chimie, problème 2 : synthèse du longifolèneprincipalement deuxième annéeAcétalisation, addition de Michael, mécanismes, orbitales frontalières et aspects expérimentaux des transformations (Q32 à Q43).
Ce qu'a observé le jury
6 erreurs relevées
Théorème de Gauss gravitationnel mal maîtrisé · Relation locale et relation intégrale de l'hydrostatique · Données de l'énoncé non exploitées
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En physique, le jury relève un manque de rigueur dans les notations, les chiffres significatifs, la distinction entre vecteur et valeur et l'interprétation des résultats, ainsi qu'une lecture trop rapide de l'énoncé. En chimie, le premier problème a été assez bien traité malgré des notions de première année parfois lointaines, tandis que le second, surtout de deuxième année, a été moins bien réussi.
Les erreurs les plus sanctionnées
1
Théorème de Gauss gravitationnel mal maîtriséQ1, Q2
Peu de candidats identifient les symétries et invariances avant d'appliquer le théorème, et les résultats aberrants sont rarement signalés.
« Le théorème de Gauss pour la gravitation est dans l’ensemble très mal connu »
2
Relation locale et relation intégrale de l'hydrostatiqueQ4
L'expression locale demandée est confondue avec la forme intégrée valable pour un fluide incompressible, et le signe est souvent choisi au hasard.
« De nombreux candidats ont confondu l’expression locale, demandée ici, et l’expression intégrale dans un fluide incompressible. »
3
Données de l'énoncé non exploitéesQ12
Pour la puissance électrique, la plupart se limitent à un calcul simpliste sans tenir compte des deux rendements fournis.
« Très peu de candidats a pris en compte les deux rendements pour aboutir au bon résultat. »
4
Interprétation thermodynamique hasardeuseQ26 à Q28
Le signe de l'enthalpie standard est mal interprété, l'approximation d'Ellingham est presque jamais citée et la relation de Van't Hoff est souvent erronée.
« L’approximation d’Ellingham n’est quasiment jamais citée »
5
Montages de chimie organique confondusQ32
Le montage Dean-Stark est souvent confondu avec le reflux ou la distillation fractionnée, ce qui révèle une maîtrise insuffisante des aspects expérimentaux.
« Une proportion importante de candidats confond le montage Dean-Stark »
6
Flèches mécanistiques et formes mésomèresQ34, Q36
Les flèches ne partent pas toujours d'un doublet, la lacune du carbocation est oubliée et les formes mésomères sont souvent incohérentes avec les déplacements d'électrons proposés.
« Les formes mésomères sont trop rarement bien écrites. »
Ce qui a été bien réussi
Le bilan des forces sur l'avion (Q7) a été très bien traité dans l'ensemble.
L'analyse dimensionnelle (Q8) semble maîtrisée par l'ensemble des candidats.
Le bilan de matière et l'équation de diffusion (Q14, Q15) ont été bien traités, souvent avec une démonstration détaillée.
Les configurations électroniques (Q21) et la structure du composé A avec le mécanisme d'acétalisation (Q33) sont presque toujours correctes.
La protection de la fonction cétone (Q35) a été bien traitée par la grande majorité des candidats.
Conseils du jury
Donner les résultats numériques avec un nombre de chiffres significatifs adapté et une unité cohérente.
Signaler un résultat aberrant plutôt que de poursuivre sans commentaire.
Détailler les applications numériques, même quand la valeur est donnée dans la question.
Légender les courbes tracées et distinguer composantes et vecteurs dans une même relation.
Choisir l'outil le plus simple : l'équation de Maxwell-Gauss était plus directe que le théorème de Gauss en Q20.
Justifier les choix en chimie organique : orbitales frontalières, contrôle thermodynamique, chronologie des étapes.
Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.
Corrigé détaillé
20 questions
Indice, stratégie puis corrigé complet pour chaque question, avec les remarques du jury.
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20 questions corrigées une à une : un indice, puis la stratégie, puis le corrigé complet avec le résultat encadré et les remarques du jury. Chaque question est vérifiée avant publication.
La partie physique suit l'avion solaire SolarStratos : étude de la stratosphère, mouvement de l'avion puis fonctionnement de ses panneaux photovoltaïques (dopage du silicium, jonction PN). La partie chimie comporte deux problèmes : un procédé de production du sel par dissolution (cristallographie, thermochimie, précipitation) et la synthèse historique du longifolène, centrée sur la chimie organique.
Le problème se déroulera en 3 parties :
Partie 1 - Une étude de la stratosphère
Partie 2 - Le mouvement de l'avion
Partie 3 - Regardons les panneaux de plus près
SolarStratos est un avion solaire bi-place avec lequel l'explorateur suisse Raphaël Domjan et son équipe envisagent de réaliser un record absolu d'altitude.
La mission «To the edge of space» a pour but de lui permettre d'atteindre une altitude supérieure à 25000 mètres.
Le premier vol en tandem à basse altitude a été réalisé le 20 août 2020.
Source : https://www.raphaeldomian.com/projets/solarstratos/
L'explorateur Raphaël Domjan déclare : « Au-delà des innovations technologiques, SolarStratos a pour objectif de promouvoir les énergies renouvelables afin de protéger le climat de notre planète des gaz à effet de serre. SolarStratos vise aussi à démontrer qu'avec les technologies actuelles, il est possible de réaliser des prouesses qui dépassent le potentiel des énergies fossiles. Notre avion, qui pourra voler dans la stratosphère, ouvre une porte sur cette aviation électrique et solaire et sur la mobilité de demain. L'appareil fonctionne grâce au soleil et aux batteries lithium-ion embarquées, constituant une première mondiale également. Afin de limiter le poids de l'avion et de rendre cet exploit possible, SolarStratos ne sera pas pressurisé, obligeant son pilote, Raphaël Domjan, à porter une combinaison pressurisée d'astronaute. Le défi est à la fois technique et humain. La mission durera environ six heures. L'ascension de l'avion vers la stratosphère et son maintien à une vitesse constante dans l'espace durera 2 heures 45 minutes. L'avion et son pilote seront soumis à des températures extrêmes, de l'ordre de − 70^∘C. »
Données: Quelques caractéristiques de l'avion SolarStratos
Longueur
8, 5 m
Envergure
24, 8 m
Habitacle
Deux places en tandem
Masse
M = 450 kg
Propulsion
Hélice 2, 2 m; 4 pales
Rendement du moteur électrique
90 %
Surface des panneaux
22 m^2
Rendement des panneaux photovoltaïques
24 %
Batteries
Lithium-ion
Données générales
Constante gravitationnelle: G = 6, 67.10^(− 11)SI
La Terre est supposée sphérique de rayon R_T = 6370 km
Masse de la Terre : M_T = 5, 96.10^(24) kg
Masse volumique de l'air à 25, 0 km d'altitude : μ_1 = 7, 0 × 10^(− 2) kg ⋅ m^(− 3)
Surface totale des ailes de l'avion : S = 24 m^2
Expression de la force modélisant la portance : R_Z = 1/2μ_1 C_Z v^2 S
Expression de la force modélisant la traînée : R_X = 1/2μ_1 C_X v^2 S
Coefficient de portance de l'aile : C_z = 1, 1 USI
Coefficient de trainée de l'aile: C_x = 2, 0.10^(− 2) USI
Masse molaire de l'air : Mair = 29 g ⋅ mol^(− 1)
Constante des gaz parfaits: R = 8, 31 USI
Célérité de la lumière dans le vide : c = 3, 00.10^8 m.s^(− 1)
Charge élémentaire : e = 1, 60.10^(− 19)C
Constante de Planck : h = 6, 63 ⋅ 10^(− 34) kg ⋅ m^2 ⋅ s^(− 1)
Permittivité diélectrique du vide : ε_0 = 1/(36π × 10^9) F ⋅ m^(− 1)
Pour le silicium :
Permittivité diélectrique relative : ε_r = 11, 7
Énergie de gap : E_g = 1, 11eV
Donnée mathématique
divE⃗ = (∂E_x)/(∂x) + (∂E_y)/(∂y) + (∂E_z)/(∂z)
Partie 1 - Une étude de la stratosphère
On considère que la Terre est sphérique à répartition homogène de masse et que l'atmosphère est répartie de manière uniforme autour de la Terre.
On assimilera le champ de pesanteur au champ de gravitation et on ne tiendra pas compte du terme d'entraînement et on négligera la masse de l'atmosphère.
Q1. À l'aide du théorème de Gauss pour la gravitation, établir l'expression du champ de pesanteur à une altitude z, dont l'origine sera choisie au niveau du sol et l'axe orienté dans le sens des altitudes croissantes.
L'avion Solarstratos volera dans la stratosphère entre z_0 = 20, 0 km et z_1 = 25, 0 km d'altitude.
Q2. Déterminer les valeurs du champ de pesanteur à z_0 et à z_1.
Q3. En déduire que l'on peut considérer le champ de pesanteur uniforme à ces altitudes, à une incertitude que l'on précisera. On prendra par la suite g = 9, 7 m ⋅ s^(− 2).
Figure 1 - Évolution de la température et de la pression avec l'altitude.
Source : Fondation Lamap
On considère qu'entre z_0 et z_1, l'évolution de la température en fonction de l'altitude z est de la forme T(z) = T_0 + a(z − z_0) avec T_0 la température à l'altitude z_0 et a le gradient thermique adiabatique. On suppose de plus que l'air est assimilable à un gaz parfait.
Q4. Énoncer la relation fondamentale de l'hydrostatique puis la projeter sur l'axe z, vertical ascendant. On notera μ la masse volumique de l'air.
Q5. Montrer que l'évolution de la pression en fonction de l'altitude z est de la forme P(z) = P_0(1 + b(z − z_0))^α avec P_0 = P(z = z_0).
Déterminer les expressions de b et α en fonction de M_(air), g, a, R et de T_0.
Q6. Déterminer alors l'expression de la masse volumique à l'altitude z_1. Effectuer l'application numérique
Données : T_0 = 217 K et P_0 = 55hPa à l'altitude z = z_0 ⋅ a = 1, 0 × 10^(− 3)USI.
Commenter le résultat obtenu et donner une explication sur la différence observée avec la valeur réelle μ_1 = 7, 0 × 10^(− 2) kg ⋅ m^(− 3).
Partie 2 - Le mouvement de l'avion
On néglige dans cette partie la rotondité de la Terre et on considérera le référentiel lié à un point O fixe par rapport au sol et situé à 25, 0 km d'altitude comme galiléen.
On modélisera l'action qui propulse l'avion par une force unique notée F⃗.
On rappelle que l'avion est soumis, entre autres, à une force de traînée et à une force de portance (données fournies dans l'énoncé)
Q7. Faire le bilan des forces auxquelles est soumis l'avion, puis les représenter sur un schéma.
Q8. Déterminer, à l'aide d'une analyse dimensionnelle, la dimension des coefficients C_x et C_z.
Q9. Établir les équations différentielles vérifiées par v_x et v_z, en supposant le mouvement dans un plan xOz , avec O un point fixe dans le référentiel arbitrairement choisi.
Q10. Lors de son vol, l'avion atteint une vitesse v_C, appelée «vitesse de croisière», et le mouvement devient rectiligne et uniforme.
Déterminer l'expression de cette «vitesse de croisière». Faire l'application numérique.
Q11. En déduire la force de propulsion, puis la puissance de la force associées à cette vitesse.
Q12. De quelle puissance électrique l'avion doit-il ainsi disposer pendant cette phase de vol? Sachant que la puissance surfacique lumineuse reçue dans la stratosphère est de l'ordre de 1200 W.m^(− 2), de quelle surface minimale de panneaux photovoltaiques l'avion doit-il disposer? Commenter.
Partie 3 - Regardons les panneaux de plus près
Les panneaux photovoltaïques sont composés de silicium, un matériau semi-conducteur.
Lorsque la température du solide tend vers le zéro absolu, deux bandes d'énergie permises jouent un rôle particulier. La dernière bande complètement remplie est appelée «bande de valence». La bande d'énergie permise qui la suit est appelée «bande de conduction». Elle peut être vide ou partiellement remplie.
Source : wikipedia.fr
L'énergie qui sépare la bande de valence de la bande de conduction est appelée le « gap » (fossé, interstice en anglais, bande interdite en français). Les électrons de la bande de valence contribuent à la cohésion locale du solide (entre atomes voisins) et sont dans des états localisés. Ils ne peuvent pas participer aux phénomènes de conduction électrique.
Découvert par Antoine Becquerel en 1839, l'effet photovoltaïque permet la «transformation de l'énergie lumineuse en énergie électrique ». Lorsqu'un photon suffisamment énergétique frappe la cellule, il fait passer un électron de charge -e de la bande de valence à la bande de conduction et laisse une liaison covalente incomplète, qu'on appelle trou, de charge +e. Les trous comme les électrons contribuent à la conduction électrique. Le silicium devient ainsi un « mauvais » conducteur.
Q13. Déterminer les énergies maximale et minimale (en eV ) des photons dans le domaine du visible.
Que se passe-t-il lorsque le matériau est éclairé par de la lumière visible?
On peut améliorer cette piètre conductivité en «dopant» le silicium, c'est-à-dire en incluant des éléments chimiques tiers au sein du silicium pur.
Si, au sein du silicium, on met un atome de phosphore avec ses cinq électrons, alors quatre d'entre eux serviront à former les liaisons chimiques, mais le dernier restera libre. Ce silicium est dit «dopé» au phosphore. Inversement, si l'on place du bore avec trois électrons dans la matrice de silicium, alors il y a un manque d'électron à un endroit. Il y a comme un trou.
Le dopage s'effectue par un phénomène de diffusion qui a lieu à température élevée. Lorsque le système est ramené à température ambiante, les impuretés sont alors figées.
On note c(M, t) la concentration en impuretés en un point M à un instant t.
L'inhomogénéité entraîne un mouvement des impuretés, caractérisé par un vecteur densité de courant de particules J_d^(→−)(M, t). On notera D le coefficient de diffusion dans le semiconducteur. Le semi-conducteur est assimilé à un milieu homogène et on suppose la diffusion unidirectionnelle. On note c(x, t) la concentration en impuretés.
Figure 2 - Milieu semi-conducteur
Q14. En effectuant un bilan de matière dans un volume élémentaire de section S et d'épaisseur dx, situé entre les abscisses x et x + dx, traduisant la conservation du nombre d'impuretés, établir une relation entre j_d(x, t) et c(x, t).
Q15. En utilisant la loi de Fick, établir l'équation de diffusion sous la forme :
(∂c)/(∂t) = D(∂^2 c)/(∂x^2).
À l'instant initial ( t = 0 ), la concentration en impuretés est nulle en tout point du semiconducteur. On note N_0 le nombre d'impuretés par unité de surface introduites à partir de l'instant initial en x = 0 à la surface du semi-conducteur considéré comme semi-infini (voir figure 2).
Q16. On cherche, pour t > 0, une solution de l'équation de diffusion de la forme : c(x, t) = A(t)e^(((− x^2)/(B(t)))) et A(t) = K/(√t), avec K une constante positive.
En exploitant la relation (1) en x = 0 et en utilisant la conservation de la matière :
Déterminer l'expression de K en fonction de N_0 et de D.
Montrer que B(t) = 4Dt.
Donnée mathématique : ∫_0^(+ ∞)e^(− x^2)dx = (√π)/2.
Q17. Tracer sur un même graphe l'allure de la concentration c en fonction de x à deux instants t_1 et t_2 > t_1.
Q18. A˙ une date t_0 fixée, à quelle profondeur δ la concentration est-elle moitié de celle en x = 0 ? Exprimer δ en fonction de D et de t_0. La calculer au bout d'une heure.
Donnée : Le coefficient de diffusion du phosphore dans le silicium à 1000^∘C vaut D = 3, 4 × 10^(− 14) cm^2 ⋅ s^(− 1).
Si les impuretés augmentent la concentration en électrons libres dans le semi-conducteur, on dit que le semi-conducteur est dopé N et si c'est le nombre de trous qui est augmenté, on dit que le semi-conducteur est dopé P . Les électrons de la partie du semi-conducteur dopée N diffusent dans la partie dopée P où la concentration en électrons libres est plus faible, les trous de la partie du semi-conducteur dopée P diffusent dans la partie dopée N .
On obtient ainsi un état d'équilibre et une «jonction PN » (figure 3).
Figure 3 - Présentation de la jonction PN
Figure 4 - Schéma représentant l'état d'équilibre
Une fois l'équilibre atteint :
La région [x_1, 0], avec x_1 < 0 est chargée avec une densité volumique algébrique de charge uniforme ρ_1;
La région [0, x_2], avec x_2 > 0 est chargée avec une densité volumique de charge algébrique uniforme ρ_2;
En dehors de la zone [x_1, x_2], appelée zone de déplétion, la densité de charge volumique est nulle (figure 4)
Q19. Justifier, dans la zone de déplétion, à l'équilibre, les signes des densités volumiques de charge ( ρ_1 < 0 et ρ_2 > 0 ), puis établir, en exprimant la neutralité de la zone de déplétion, une relation entre ρ_1, ρ_2, x_1 et x_2.
Q20. On admet que le champ électrique peut s'écrire E⃗ = E(x)e⃗_x dans la jonction et qu'il est nul dans la zone x < x_1.
Exprimer le champ électrique en tout point et tracer l'allure de E(x) en fonction de x.
Questions fréquentes
4 questions
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La physique mobilise la gravitation, la statique des fluides, la mécanique, la diffusion de particules et l'électrostatique autour de l'avion SolarStratos. La chimie porte sur la cristallographie, la thermochimie, les équilibres de précipitation et la chimie organique avec la synthèse du longifolène.
Quelles erreurs le jury a-t-il relevées en physique-chimie E3A PC 2024 ?
+
Le jury cite le théorème de Gauss gravitationnel mal connu, la confusion entre relations locale et intégrale de l'hydrostatique, l'oubli des rendements, des interprétations thermodynamiques hasardeuses, des confusions de montages et des mécanismes mal écrits.
Le problème de chimie organique E3A PC 2024 a-t-il été bien réussi ?
+
Non, ce problème portant surtout sur le programme de deuxième année a été moins bien traité que le premier. Les aspects expérimentaux et l'écriture des formes mésomères posent le plus de difficultés, même si l'acétalisation et la protection de la cétone sont bien connues.
Quelles questions de chimie E3A PC 2024 relèvent de la première année ?
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D'après le rapport, dans le premier problème, la cristallographie et les équilibres de précipitation relèvent de la première année, la thermochimie de la deuxième année.
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