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Interversion série-intégrale

Intervertir série et intégrale, c'est écrire ∫I∑nfn=∑n∫Ifn\int_I\sum_n f_n=\sum_n\int_I f_n. Il n'y a pas un théorème unique mais plusieurs, aux hypothèses différentes : cette fiche indique lequel choisir selon l'intervalle et le signe des fnf_n.

Au programmeDeuxième année (MP, MPI, PSI) · Suites et séries de fonctions, intégration sur un intervalle quelconque

Énoncé

Proposition (trois façons d'intervertir)

Soit II un intervalle et (fn)(f_n) une suite de fonctions continues par morceaux de II dans K\K, telle que ∑fn\sum f_n converge simplement sur II vers une fonction SS continue par morceaux. On note Sn=∑k=0nfkS_n=\sum_{k=0}^n f_k. La fonction SS est intégrable sur II, la série ∑∫Ifn\sum\int_I f_n converge et

∫I∑n=0+∞fn=∑n=0+∞∫Ifn\int_I\sum_{n=0}^{+\infty}f_n=\sum_{n=0}^{+\infty}\int_I f_n

dans chacun des cas suivants.

  1. Segment et convergence uniforme : I=[a,b]I=[a,b], les fnf_n sont continues et ∑fn\sum f_n converge uniformément sur [a,b][a,b].
  2. Intégration terme à terme : chaque fnf_n est intégrable sur II et ∑∫I∣fn∣\sum\int_I|f_n| converge.
  3. Convergence dominée sur les sommes partielles : il existe φ\varphi continue par morceaux et intégrable sur II telle que ∣Sn(t)∣≤φ(t)|S_n(t)|\le\varphi(t) pour tout nn et tout t∈It\in I (les SnS_n, donc les fn=Sn−Sn−1f_n=S_n-S_{n-1}, sont alors intégrables).

Cas des séries entières. Si ∑anxn\sum a_nx^n a un rayon R>0R>0 et si [α,β]⊂ ]−R,R[[\alpha,\beta]\subset\,]-R,R[, alors ∫αβ∑n=0+∞anxn dx=∑n=0+∞anβn+1−αn+1n+1\int_\alpha^\beta\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n\,\dd x=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n\frac{\beta^{n+1}-\alpha^{n+1}}{n+1}.

Esquisse de démonstration

  1. SS est continue comme limite uniforme de fonctions continues, ∫abSn=∑k=0n∫abfk\int_a^b S_n=\sum_{k=0}^n\int_a^b f_k par linéarité, et ∣∫abS−∫abSn∣≤(b−a)sup⁡[a,b]∣S−Sn∣→0\left|\int_a^b S-\int_a^b S_n\right|\le(b-a)\sup_{[a,b]}|S-S_n|\to0.
  2. C'est le théorème d'intégration terme à terme du programme, en général admis (voir la fiche correspondante).
  3. Le théorème de convergence dominée appliqué à la suite (Sn)(S_n) donne SS intégrable et ∫ISn→∫IS\int_I S_n\to\int_I S. Comme ∫ISn=∑k=0n∫Ifk\int_I S_n=\sum_{k=0}^n\int_I f_k, la série ∑∫Ifk\sum\int_I f_k converge et a pour somme ∫IS\int_I S.

Pour les séries entières, on pose r=max⁡(∣α∣,∣β∣)<Rr=\max(|\alpha|,|\beta|)<R. Sur [α,β][\alpha,\beta], ∣anxn∣≤∣an∣rn|a_nx^n|\le|a_n|r^n et ∑∣an∣rn\sum|a_n|r^n converge : la convergence est normale, donc uniforme, et le cas 1 s'applique.

Méthode : quand et comment l'utiliser

Face à ∫IF\int_I F avec F=∑fnF=\sum f_n :

  1. Si II est un segment et que la convergence est uniforme (série entière sur un segment de l'intervalle ouvert de convergence, reste majoré par le critère spécial des séries alternées), utiliser le cas 1.
  2. Sinon, calculer ∫I∣fn∣\int_I|f_n|. Pour des fnf_n positives, c'est ∫Ifn\int_I f_n. Si ∑∫I∣fn∣\sum\int_I|f_n| converge, utiliser le cas 2.
  3. Si ∑∫I∣fn∣\sum\int_I|f_n| diverge (typiquement fn=(−1)ngnf_n=(-1)^ng_n avec ∫Ign\int_I g_n de l'ordre de 1n\frac1n), dominer les sommes partielles. Pour une série alternée qui vérifie en chaque tt le critère spécial, ∣Sn(t)∣≤∣f0(t)∣|S_n(t)|\le|f_0(t)| ; pour une série géométrique, on utilise l'expression explicite de SnS_n.

Exemple du cas 3 : sur [0,1[[0,1[, Sn(t)=∑k=0n(−t)k=1−(−t)n+11+tS_n(t)=\sum_{k=0}^n(-t)^k=\frac{1-(-t)^{n+1}}{1+t} vérifie ∣Sn(t)∣≤2|S_n(t)|\le2, alors que ∫01tk dt=1k+1\int_0^1t^k\,\dd t=\frac1{k+1} est le terme d'une série divergente. On obtient ln⁡2=∫01dt1+t=∑k=0+∞(−1)kk+1\ln2=\int_0^1\frac{\dd t}{1+t}=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(-1)^k}{k+1}.

Exemples d'application

Calcul de ∫01ln⁡(1+t)t dt\int_0^1\frac{\ln(1+t)}{t}\,\dd t

Pour t∈ ]0,1[t\in\,]0,1[, la série entière de ln⁡(1+t)\ln(1+t) divisée par tt donne ln⁡(1+t)t=∑n=0+∞fn(t)\frac{\ln(1+t)}{t}=\sum_{n=0}^{+\infty}f_n(t) avec fn(t)=(−1)ntnn+1f_n(t)=\frac{(-1)^nt^n}{n+1}. La fonction t↦ln⁡(1+t)tt\mapsto\frac{\ln(1+t)}{t} se prolonge par continuité en 00 (valeur 11) : elle est intégrable sur ]0,1[]0,1[.

Ici ∫01∣fn∣=1(n+1)2\int_0^1|f_n|=\frac{1}{(n+1)^2} et ∑1(n+1)2\sum\frac1{(n+1)^2} converge : le cas 2 s'applique sur ]0,1[]0,1[ et

∫01ln⁡(1+t)t dt=∑n=0+∞(−1)n(n+1)2=∑k=1+∞(−1)k−1k2=π212,\int_0^1\frac{\ln(1+t)}{t}\,\dd t=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{(n+1)^2}=\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{k-1}}{k^2}=\frac{\pi^2}{12},

car ∑k≥1(−1)k−1k2=∑k≥11k2−2∑k≥11(2k)2=π26−π212\sum_{k\ge1}\frac{(-1)^{k-1}}{k^2}=\sum_{k\ge1}\frac1{k^2}-2\sum_{k\ge1}\frac{1}{(2k)^2}=\frac{\pi^2}{6}-\frac{\pi^2}{12}. Le cas 1 convenait aussi sur [0,1][0,1] : pour tout t∈[0,1]t\in[0,1], le critère spécial donne ∣Rn(t)∣≤tn+1n+2≤1n+2|R_n(t)|\le\frac{t^{n+1}}{n+2}\le\frac1{n+2}, d'où la convergence uniforme.

Calcul de ∫0+∞tet−1 dt\int_0^{+\infty}\frac{t}{e^t-1}\,\dd t

Pour t>0t>0, 0<e−t<10<e^{-t}<1, donc tet−1=t e−t1−e−t=∑n=1+∞t e−nt\frac{t}{e^t-1}=\frac{t\,e^{-t}}{1-e^{-t}}=\sum_{n=1}^{+\infty}t\,e^{-nt}. Les fonctions fn:t↦t e−ntf_n:t\mapsto t\,e^{-nt} sont continues, positives et intégrables sur ]0,+∞[]0,+\infty[, et une intégration par parties donne ∫0+∞t e−nt dt=1n2\int_0^{+\infty}t\,e^{-nt}\,\dd t=\frac{1}{n^2}. La somme est continue sur ]0,+∞[]0,+\infty[ et ∑1n2\sum\frac1{n^2} converge : par le cas 2,

∫0+∞tet−1 dt=∑n=1+∞1n2=π26.\int_0^{+\infty}\frac{t}{e^t-1}\,\dd t=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac1{n^2}=\frac{\pi^2}{6}.

Le cas 1 était inutilisable, l'intervalle n'étant pas borné.

Erreurs classiques

  • Utiliser la convergence uniforme sur un intervalle non borné : sur [0,+∞[[0,+\infty[, fn(t)=1ne−t/nf_n(t)=\frac1ne^{-t/n} tend uniformément vers 00 mais ∫0+∞fn=1\int_0^{+\infty}f_n=1 pour tout nn.

  • Dans le cas 3, dominer chaque fnf_n au lieu des sommes partielles : la convergence dominée s'applique à la suite (Sn)(S_n), et c'est ∣Sn∣|S_n| qu'il faut majorer indépendamment de nn.

  • Conclure à l'échec quand ∑∫I∣fn∣\sum\int_I|f_n| diverge : c'est la situation typique des séries alternées, où la convergence dominée ou une majoration explicite du reste permet souvent de conclure.

  • Oublier que l'égalité peut être fausse : avec gn(t)=n e−ntg_n(t)=n\,e^{-nt} sur ]0,+∞[]0,+\infty[, f0=g1f_0=g_1 et fn=gn+1−gnf_n=g_{n+1}-g_n pour n≥1n\ge1, on a Sn=gn+1S_n=g_{n+1}, donc ∑fn=0\sum f_n=0, mais ∑∫fn=1\sum\int f_n=1. Aucune des trois hypothèses n'est satisfaite.

Place dans le programme

Deuxième année (MP, MPI, PSI), chapitre « Suites et séries de fonctions, intégration sur un intervalle quelconque ».

Les trois théorèmes utilisés (convergence uniforme sur un segment, intégration terme à terme, convergence dominée) sont au programme de deuxième année ; les deux derniers sont en général admis. L'expression « théorème d'interversion série-intégrale » n'est pas un nom officiel : elle désigne l'un ou l'autre selon le contexte.

Dans les sujets de concours

Pour vous entraîner sur des sujets complets : Suites et séries de fonctions (403 sujets), Intégrales à paramètres (255 sujets).

Sujets où cette notion intervient explicitement :

Questions fréquentes

Quand peut-on intervertir somme et intégrale ?

Toujours pour une somme finie, par linéarité. Pour une série, il faut l'une des hypothèses ci-dessus : convergence uniforme sur un segment, convergence de ∑∫I∣fn∣\sum\int_I|f_n|, ou domination des sommes partielles par une fonction intégrable.

Interversion ou inversion série-intégrale : est-ce la même chose ?

Oui, les deux expressions désignent l'échange ∫∑=∑∫\int\sum=\sum\int. Le terme usuel est interversion.

Quel théorème choisir pour des fonctions positives ?

Le théorème d'intégration terme à terme : pour fn≥0f_n\ge0, son hypothèse principale se réduit à la convergence de la série ∑∫Ifn\sum\int_I f_n.

Peut-on intervertir série et dérivée de la même façon ?

Non, les hypothèses sont différentes : il faut la convergence uniforme de la série des dérivées sur tout segment (théorème de dérivation terme à terme).

Exercices corrigés utilisant : Interversion série-intégrale

1 exercice

Étude d'une fonction définie par une série de fractions rationnelles

Convergence absolue
série de fonctionsconvergence normalerelation fonctionnelleCritère des séries alternéesThéorème d'interversion série-intégrale