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Transformation d'Abel

La transformation d'Abel est l'analogue discret de l'intégration par parties : elle réécrit ∑akbk\sum a_kb_k à l'aide des sommes partielles BkB_k de (bk)(b_k) et des différences ak−ak+1a_k-a_{k+1}. Elle permet d'établir la convergence de séries comme ∑sin⁡nn\sum\frac{\sin n}{n} ou ∑einθn\sum\frac{e^{in\theta}}{n}, qui ne convergent pas absolument.

Classique, à redémontrerDeuxième année (MP, MPI, PSI) · Séries numériques et séries de fonctions

Énoncé

Théorème (transformation et critère d'Abel)

Transformation d'Abel. Soit (ak)k≥0(a_k)_{k\ge0} et (bk)k≥0(b_k)_{k\ge0} deux suites complexes, et Bn=∑k=0nbkB_n=\sum_{k=0}^nb_k, avec la convention B−1=0B_{-1}=0. Pour tout n≥0n\ge0 :

∑k=0nakbk=anBn+∑k=0n−1(ak−ak+1)Bk.\sum_{k=0}^na_kb_k=a_nB_n+\sum_{k=0}^{n-1}(a_k-a_{k+1})B_k.

Critère d'Abel. On suppose que (an)(a_n) est une suite réelle, décroissante, de limite nulle, et que la suite (Bn)(B_n) des sommes partielles de (bn)(b_n) est bornée : ∣Bn∣≤M|B_n|\le M pour tout nn. Alors la série ∑anbn\sum a_nb_n converge et son reste vérifie, pour tout n≥0n\ge0 :

∣∑k=n+1+∞akbk∣≤2M an+1.\left|\sum_{k=n+1}^{+\infty}a_kb_k\right|\le2M\,a_{n+1}.

Ces énoncés s'adaptent sans changement à des suites indexées à partir d'un rang n0n_0. Dans la littérature anglo-saxonne, ce critère est appelé critère de Dirichlet.

Démonstration

Transformation. Comme bk=Bk−Bk−1b_k=B_k-B_{k-1} pour k≥0k\ge0,

∑k=0nakbk=∑k=0nakBk−∑k=0nakBk−1=∑k=0nakBk−∑k=0n−1ak+1Bk,\sum_{k=0}^na_kb_k=\sum_{k=0}^na_kB_k-\sum_{k=0}^na_kB_{k-1}=\sum_{k=0}^na_kB_k-\sum_{k=0}^{n-1}a_{k+1}B_k,

par le changement d'indice k↦k+1k\mapsto k+1 dans la seconde somme et B−1=0B_{-1}=0. En isolant le terme anBna_nB_n de la première somme, on obtient la formule.

Convergence. La suite (an)(a_n) décroît vers 00, donc an≥0a_n\ge0 et ak−ak+1≥0a_k-a_{k+1}\ge0 pour tout kk. D'une part, ∣anBn∣≤Man→0|a_nB_n|\le Ma_n\to0. D'autre part, ∣(ak−ak+1)Bk∣≤M(ak−ak+1)|(a_k-a_{k+1})B_k|\le M(a_k-a_{k+1}), et la série télescopique ∑(ak−ak+1)\sum(a_k-a_{k+1}) converge (vers a0a_0) puisque ak→0a_k\to0. La série ∑(ak−ak+1)Bk\sum(a_k-a_{k+1})B_k est donc absolument convergente, et la formule montre que les sommes partielles de ∑akbk\sum a_kb_k convergent.

Reste. Pour N>nN>n, le même calcul mené entre les indices n+1n+1 et NN donne

∑k=n+1Nakbk=aNBN−an+1Bn+∑k=n+1N−1(ak−ak+1)Bk,\sum_{k=n+1}^Na_kb_k=a_NB_N-a_{n+1}B_n+\sum_{k=n+1}^{N-1}(a_k-a_{k+1})B_k,

d'où, par inégalité triangulaire et télescopage,

∣∑k=n+1Nakbk∣≤M(aN+an+1+(an+1−aN))=2M an+1.\left|\sum_{k=n+1}^Na_kb_k\right|\le M\left(a_N+a_{n+1}+(a_{n+1}-a_N)\right)=2M\,a_{n+1}.

On conclut en faisant tendre NN vers +∞+\infty.

Méthode : quand et comment l'utiliser

  • Repérer un produit anbna_nb_n où ana_n décroît vers 00 (typiquement 1n\frac1n, 1ns\frac1{n^s} avec s>0s>0, 1ln⁡n\frac1{\ln n}) et où bnb_n oscille avec des sommes partielles bornées : (−1)n(-1)^n, einθe^{in\theta}, cos⁡(nθ)\cos(n\theta), sin⁡(nθ)\sin(n\theta) avec θ∉2πZ\theta\notin2\pi\Z.
  • Majorer ∣Bn∣|B_n| grâce à la somme géométrique.
  • Pour une série de fonctions, la majoration du reste par 2M an+12M\,a_{n+1}, uniforme dès que MM et an+1a_{n+1} le sont, donne la convergence uniforme.
  • Avec bn=(−1)nb_n=(-1)^n, on retrouve la convergence donnée par le critère spécial des séries alternées (avec une constante moins bonne pour le reste).

Exemples d'application

La série ∑einθn\sum\frac{e^{in\theta}}{n}

Soit θ∈R∖2πZ\theta\in\R\setminus2\pi\Z, an=1na_n=\frac1n et bn=einθb_n=e^{in\theta} pour n≥1n\ge1. Par la somme géométrique,

∣Bn∣=∣∑k=1neikθ∣=∣eiθ 1−einθ1−eiθ∣≤2∣1−eiθ∣=1∣sin⁡(θ/2)∣.|B_n|=\left|\sum_{k=1}^ne^{ik\theta}\right|=\left|e^{i\theta}\,\frac{1-e^{in\theta}}{1-e^{i\theta}}\right|\le\frac{2}{|1-e^{i\theta}|}=\frac{1}{|\sin(\theta/2)|}.

Le critère d'Abel s'applique : ∑einθn\sum\frac{e^{in\theta}}{n} converge, ainsi que ses parties réelle et imaginaire ∑cos⁡(nθ)n\sum\frac{\cos(n\theta)}{n} et ∑sin⁡(nθ)n\sum\frac{\sin(n\theta)}{n}. En particulier, ∑sin⁡nn\sum\frac{\sin n}{n} converge (on peut montrer que sa somme vaut π−12\frac{\pi-1}{2}).

La convergence n'est pas absolue : ∣sin⁡n∣n≥sin⁡2nn=12n−cos⁡(2n)2n\frac{|\sin n|}{n}\ge\frac{\sin^2n}{n}=\frac{1}{2n}-\frac{\cos(2n)}{2n}, où ∑cos⁡(2n)2n\sum\frac{\cos(2n)}{2n} converge (critère d'Abel avec θ=2\theta=2) et ∑12n\sum\frac{1}{2n} diverge.

Convergence uniforme de ∑sin⁡(nx)n\sum\frac{\sin(nx)}{n}

Soit δ∈]0,π[\delta\in]0,\pi[. Pour x∈[δ,2π−δ]x\in[\delta,2\pi-\delta], on a x2∈[δ2,π−δ2]\frac x2\in[\frac\delta2,\pi-\frac\delta2], donc sin⁡x2≥sin⁡δ2>0\sin\frac x2\ge\sin\frac\delta2>0. Les sommes partielles de (sin⁡(kx))k≥1(\sin(kx))_{k\ge1}, parties imaginaires de ∑k=1neikx\sum_{k=1}^ne^{ikx}, sont donc majorées en module par M=1sin⁡(δ/2)M=\frac{1}{\sin(\delta/2)}, indépendamment de xx. La majoration du reste donne

sup⁡x∈[δ,2π−δ]∣∑k=n+1+∞sin⁡(kx)k∣≤2(n+1)sin⁡(δ/2)→n→+∞0.\sup_{x\in[\delta,2\pi-\delta]}\left|\sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac{\sin(kx)}{k}\right|\le\frac{2}{(n+1)\sin(\delta/2)}\xrightarrow[n\to+\infty]{}0.

La série converge donc uniformément sur [δ,2π−δ][\delta,2\pi-\delta], et sa somme y est continue.

Erreurs classiques

  • Confondre la bornitude de (bn)(b_n) et celle de ses sommes partielles : pour bn=1b_n=1, la suite (bn)(b_n) est bornée mais (Bn)(B_n) ne l'est pas, et ∑1n\sum\frac1n diverge.

  • Oublier la monotonie de (an)(a_n) : avec an=1n+(−1)nna_n=\frac{1}{\sqrt n}+\frac{(-1)^n}{n}, qui tend vers 00 sans être décroissante, et bn=(−1)nb_n=(-1)^n, on obtient ∑((−1)nn+1n)\sum\left(\frac{(-1)^n}{\sqrt n}+\frac1n\right), qui diverge.

  • Oublier le terme de bord anBna_nB_n ou se tromper d'indice dans la sommation par parties : il est prudent de vérifier la formule pour n=0n=0 et n=1n=1.

  • Conclure à la convergence absolue : le critère d'Abel ne donne que la convergence, comme le montre ∑sin⁡nn\sum\frac{\sin n}{n}.

Place dans le programme

Deuxième année (MP, MPI, PSI), chapitre « Séries numériques et séries de fonctions ».

La transformation d'Abel et le critère d'Abel ne figurent pas au programme officiel. Ils sont fréquents dans les sujets de concours, souvent sous forme guidée ; sans indication de l'énoncé, il faut refaire le calcul de sommation par parties dans la copie ou à l'oral avant de conclure.

Dans les sujets de concours

Pour vous entraîner sur des sujets complets : Séries numériques et familles sommables (224 sujets).

Sujets où cette notion intervient explicitement :

Questions fréquentes

Quelle différence entre transformation d'Abel et critère d'Abel ?

La transformation d'Abel est une identité sur les sommes finies (sommation par parties). Le critère d'Abel en est une conséquence : si (an)(a_n) décroît vers 00 et si les sommes partielles de (bn)(b_n) sont bornées, alors ∑anbn\sum a_nb_n converge.

Le critère d'Abel est-il au programme ?

Non : il faut refaire la transformation d'Abel dans la copie avant de conclure, ce qui prend quelques lignes. Dans de nombreux sujets, la démarche est d'ailleurs guidée par l'énoncé.

Quel rapport avec l'intégration par parties ?

La suite (Bk)(B_k) joue le rôle d'une primitive de (bk)(b_k) et ak+1−aka_{k+1}-a_k celui de la dérivée de aa : la formule ∑k=0nakbk=anBn−∑k=0n−1(ak+1−ak)Bk\sum_{k=0}^na_kb_k=a_nB_n-\sum_{k=0}^{n-1}(a_{k+1}-a_k)B_k est l'analogue discret de ∫uv′=[uv]−∫u′v\int uv'=[uv]-\int u'v.

Exercices corrigés utilisant : Transformation d'Abel

19 exercices

Convergence d'une série trigonométrique à coefficients lents

Méthode par majoration globale
Abelsérie trigonométriqueconvergence uniformeTransformation d'AbelCritère de Cauchy

Série trigonométrique et transformation de somme

Calcul exact de la norme infinie
série trigonométriqueconvergence uniformetélescopageTransformation d'AbelFormules de Simpson

Étude de continuité d'une série trigonométrique

Convergence absolue
série de fonctionscontinuitétransformation d'AbelTransformation d'AbelConvergence uniforme

Série de Dirichlet d'un caractère de Dirichlet

Critère des séries alternées uniforme
caractèretransformation d'Abelsérie de DirichletTransformation d'AbelPropriété des caractères

Série logarithmique complexe et applications

Problèmes aux bornes
logarithme complexesérie entièretransformation d'AbelRègle de d'AlembertFactorisation angle moitié

Convergence uniforme des séries de Dirichlet

Convergence absolue
DirichletAbelSecteurTransformation d'AbelCritère de Cauchy

Vitesse de convergence des séries

Calcul exact de la norme infinie
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Convergence uniforme de séries trigonométriques

Méthode par majoration globale
AbelSéries trigonométriquesCauchy uniformeTransformation d'AbelCritère de Cauchy

Lemme de Kronecker et sommation d'Abel

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KroneckerAbelSommation par partiesTransformation d'AbelThéorème de Cesàro

Comportement asymptotique d'une moyenne pondérée

Théorème de la double limite et commurarions de limites
CesàroSommation par partiesAbelThéorème de CesàroTransformation d'Abel

Convergence et minoration de cosinus

Calcul exact de la norme infinie
SérieCosinusAbelTransformation d'AbelLinéarisation trigonométrique

Transformation d'Abel et séries trigonométriques

Transformation d'Abel uniforme
AbelSéries trigonométriquesConvergence uniformeTransformation d'AbelSommes partielles

Transformation d'Abel et convergence uniforme

Convergence Dominée pour les suites
Abelconvergence uniformeBanachTransformation d'AbelCritère de Cauchy uniforme

Généralisation du critère d'Abel

Passage à la limite sous l'intégrale (Segment)
AbelCauchyEspace de BanachTransformation d'AbelCritère de Cauchy

Transformation d'Abel et convergence uniforme

Méthode par majoration globale
AbelCauchy uniformemonotonieTransformation d'AbelCritère de Cauchy

Séries alternées et sommes oscillantes

Convergence absolue
CSSAAbelOscillationsTransformation d'AbelCritère spécial

Série trigonométrique à coefficients de variation bornée

Étude de la convergence ponctuelle
Abelsinusconvergence uniformeTransformation d'AbelSommation par parties

Transformation de Borel et sommation

Convergence absolue
série entièreinterversionAbelIntégration par partiesTransformation d'Abel

Régularité des séries de Dirichlet

Continuité de la somme
Dirichletabscisse de convergencerégularitéTransformation d'AbelThéorème de dérivation