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BCE Maths appliquees ESSEC ECE 2004

Epreuve de maths appliquees - ECE 2004

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Probabilités finies, discrètes et dénombrementSuites et séries de fonctionsSéries entières (et Fourier)
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Banque
BCE
Année
2004
Filière
ECE
Matière
Mathématiques
Annales BCE ECE MathématiquesBCE ECE 2004ECE MathématiquesMathématiques 2004

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Description

Annale de maths appliquees BCE ESSEC pour la filiere ECE, session 2004.

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Version HTML avec rendu des formules, intégrée sur la page canonique.

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14dcea7e-f5e5-4b0e-b72c-05e1309eaa85

Chapitre 7

ESSEC MATHS 2. Sujet

Notations

Dans tout le problème, désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2 .
On note et l'ensemble des permutations sur . Pour tout ensemble fini , on note son cardinal, c'est à dire son nombre d'éléments.
On note , ou , le nombre .
On rappelle enfin la formule de Poincaré, sous sa forme ensembliste : soit un ensemble de cardinal fini, et , des sous-ensembles de . Alors

Partie I

  1. Rappeler la valeur de . Pour tout on pose .
  2. Montrer que pour tout et pour tout tels que
En déduire, pour tout , la valeur de
  1. On note
a) Montrer que
Pour tout , on appelle l'ensemble formé des tels qu'il existe tels que et tel que pour tout , on a , et pour tout , on a .
b) Montrer que pour tout
c) Montrer que pour tout
  1. On pose .
    a) Ecrire la matrice du système d'équations qui donne ( ) en fonction de ( ).
    b) En se plaçant dans l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à , donner l'expression de l'endomorphisme représenté, dans la base canonique, par cette matrice.
    c) En déduire que cet endomorphisme est inversible en exprimant son inverse.
    d) En déduire la relation qui lie ( ) à ( ).

Partie II

Afin de lancer un nouveau produit sur le marché, le service marketing d'une entreprise propose au directeur général la campagne suivante :
  • mettre en vente au prix unitaire de euros, exemplaires du produit,
  • chaque exemplaire sera numéroté de façon apparente d'un nombre compris entre 1 et ,
  • à l'intérieur du produit, et de façon cachée, se trouve un second numéro,
  • l'acheteur qui trouvera à l'intérieur de l'exemplaire un numéro identique à celui figurant à l'extérieur gagnera euros.
    On suppose que les numéros cachés sont tous différents, compris entre 1 et et choisis « au hasard» .
    Avant de donner son accord, le directeur général souhaite étudier le coût d'une telle campagne.
    Afin de formaliser la notion de choix au hasard, et pour toute la suite du problème, on munit de la probabilité uniforme discrète définie pour tout par
Enfin, on note la variable aléatoire représentant le nombre de gagnants.
  1. a) En utilisant les résultats de la question I.3, déterminer la loi de .
    b) Etablir les égalités suivantes
(on justifiera de manière précise l'interversion des deux signes sommes)
2. Pour tout , on note la variable aléatoire définie par . Justifier l'égalité
et en déduire l'espérance de la variable aléatoire .
3. a) Montrer que
b) En déduire la variance de la variable aléatoire
4. a) Montrer que le coût aléatoire de l'opération pour l'entreprise est donné par
En déduire le coût moyen , ainsi que le risque donné par l'écart type .
b) Quelle sera, d'après vous, la réponse du directeur général?
5. Montrer que le gain d'un acheteur ayant acquis un seul produit est donné par
où est une variable aléatoire suivant une loi de Bernouilli de paramètre . En déduire le gain moyen de l'acheteur.

Partie III

  1. Montrer que la suite des variables aléatoires ( ) converge en loi vers une loi de Poisson de paramètre .
  2. Montrer que pour tout
  1. Soit . Montrer que
(on remarquera que pour tout )
4. En déduire que
  1. On considère les instructions Pascal suivantes:
eps := 0.00001;
x := 2;
k := 2;
While x > eps/2 do
begin
x := x*(2/k) ;
k := k+1 ;
end ;
writeln(k)
a) On entre dans la boucle while avec . On suppose qu'on est passé fois dans cette boucle. Quelle est la valeur de x à l'entrée de la boucle la fois suivante?
b) Montrer que la suite définie par est décroissante, et admet une limite que l'on calculera.
c) En déduire que la boucle While ci-dessus se termine.
d) La valeur affichée par la dernière ligne est . Que représente-t-elle?

Partie IV.

On suppose dans cette partie qu'un acheteur a acquis , exemplaires du produit. L'ensemble de ces exemplaires est noté .
On note la variable aléatoire égale au nombre d'exemplaires gagnants du produit parmi ces exemplaires achetés.
  1. On rappelle que pour tout , on note la variable aléatoire définie par
Justifier l'égalité
En déduire l'espérance de la variable aléatoire .
2. a) Montrer que
b) En déduire la variance de la variable aléatoire
3. a) Montrer que le gain de l'acheteur est égal à
b) Déterminer son gain moyen, ainsi que l'écart type de ce gain.
c) Du point de vue de l'acheteur, est-il intéressant d'acquérir plusieurs exemplaires du produit?
  1. La valeur initialement écrite sur le sujet était 11, ce qui est faux. L'auteur de ces lignes s'est permis de modifier le sujet.

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