BCE Maths appliquées ESSEC ECE 2008Sujet, corrigé et rapport du jury

BANQUE COMMUNE D'ÉPREUVES

OPTION ÉCONOMIQUE

MATHEMATIQUES III

Exercice 1 : probabilités discrètes

Deux personnes P_1 et P_2 ont rendez-vous dans un complexe formé de cinq sites S_1, S_2, S_3, S_4, S_5 disposés en pentagone et reliés par des routes, comme l'illustre le schéma ci-contre.
Ils arrivent au rendez-vous à l'heure prévue, mais suite à un malentendu, P_1 se présente au site S_1 et P_2 au site S_2.

• à partir d'un site, chacun choisit de se rendre sur l'un des deux sites voisins, les deux possibilités étant équiprobables ;
• les déplacements des deux personnes se font simultanément;
• tous les choix de déplacement se font indépendamment les uns des autres.

A. Modélisation du problème

• A_n : «les deux personnes sont sur le même site après le n^(ème) déplacement»
• B_n : «les deux personnes sont sur des sites adjacents après le n^(ème) déplacement»
• C_n : «les deux personnes sont à deux routes de distance après le n^(ème) déplacement»

1. Justifier que A_n, B_n, C_n forment un système complet d'événements.
2. Déterminer les valeurs de a_0, b_0 et c_0.
3. (a) Montrer : ∀n ∈ ℕ, P(A_(n + 1)/C_n) = 1/4.
   (b) Justifier : P(A_(n + 1)/A_n) = 1.
   (c) Déterminer toutes les probabilités conditionnelles analogues.

On représentera les résultats en reproduisant et complétant le schéma suivant :

4. Établir les relations suivantes, pour tout entier n ∈ ℕ : {a_(n + 1), = a_n + 1/4c_n; b_(n + 1), = 3/4b_n + 1/4c_n; c_(n + 1), = 1/4b_n + 1/2c_n
5. (a) Déterminer une relation entre b_(n + 2), b_(n + 1) et b_n.
(b) En déduire une expression de b_n en fonction de n.

B. Nombre de déplacements avant rencontre

1. Déterminer X(Ω), l'ensemble des valeurs prises par X .
2. Soit n ∈ X(Ω), montrer :

3. Calculer l'espérance de X .
4. Calculer la variance et l'écart-type de X.

Exercice 2 : probabilités et analyse

I. Quitte ou double

1. Déterminer deux réels a et b vérifiant : ∀n ∈ ℕ, C_(n + 1) = C_n + (aX_(n + 1) + b)M_(n + 1).
2. Établir : ∀n ∈ ℕ^∗, E(C_n) = C_0 + (2p − 1)∑_(k = 1)^n E(M_k)

II. Stratégie à mises proportionnelles

1. Établir : ∀n ∈ ℕ, C_(n + 1) = (1 + α)^(X_(n + 1))(1 − α)^(1 − X_(n + 1))C_n.
2. On pose S_n = ∑_(k = 1)^n X_k.

III. Optimisation : le critère de Kelly

1. Étude de f.
   (a) Étudier les variations de f sur 10,1 [, et montrer que f est concave.

IV. Étude de la valeur critique α_C

1. On définit la fonction φ sur 10, 1[parφ(x) = (ln(1 + x))/(ln(1 − x)).
   (a) Montrer que φ est prolongeable par continuité sur l'intervalle [0, 1].

V. Simulation informatique

• le capital initial est fixé à 100 ;
• en entrée, le programme demande la valeur de p, la valeur de α à utiliser et le capital que l'on souhaite atteindre;
• en sortie, le programme renvoie le nombre de parties jouées pour atteindre l'objectif demandé.

program kellyl;
var n : integer;
    cap,cap_obj,u,p,alpha : real;
begin
    writeln('valeur_de_p_:');read(p);
    writeln('objectif_à_atteindre_:');read(cap_obj);
    writeln('valeur_de_alpha_:');read(alpha);
    cap:=100;
    n:=0;
    randomize;
    while ********** do
        begin .
            u:=random;
            if u<p then
                    begin
                    **********
                    end
                else
                    begin
                    **********
                    end;
            **********
        end;
    writeln('nombre_de_parties_jouées_:',n);
    writeln('capital_atteint_:',cap)
end.

1. Compléter les quatre lignes d'instructions manquantes.
2. Afin de vérifier que la stratégie de Kelly est optimale, on modifie le programme kelly1 de la façon suivante :

• les entrées restent les mêmes;
• le nouveau programme calcule la valeur de Kelly α_K;
• en sortie, le nouveau programme renvoie, en plus du nombre de parties jouées pour atteindre l'objectif demandé, le capital que l'on aurait obtenu si on avait choisi la valeur α_K à la place de α pendant ces mêmes parties.