BCE Maths appliquées ESSEC ECE 2010Sujet, corrigé et rapport du jury

CONCOURS D'ADMISSION DE 2010

Concepteur: ESSEC

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

Dans tout ce problème, on note n un entier supérieur ou égal à 2 et ℳ_n(ℝ) l'ensemble des matrices carrées possédant n lignes et n colonnes dont les coefficients sont réels. On note I_n la matrice identité de ℳ_n(ℝ).

On note 𝒟_n l'ensemble des matrices M = (m_(i, j))_(1 ⩽ i, j ⩽ n) de ℳ_n(ℝ) qui vérifient les propriétés suivantes :
( Δ_1 ) les coefficients diagonaux m_(1, 1), …, m_(n, n) de la matrice M sont des valeurs propres de M ;
( Δ_2 ) la matrice M n'a pas d'autres valeurs propres que les nombres m_(1, 1), …, m_(n, n).

I.1. Montrer que toutes les matrices triangulaires supérieures et toutes les matrices triangulaires inférieures de ℳ_n(ℝ) appartiennent à 𝒟_n.
1.2. Si M est une matrice de 𝒟_n, établir que pour tout α réel, la matrice M + αI_n est encore un élément de 𝒟_n.
1.3. On note K_n la matrice de ℳ_n(ℝ) dont tous les coefficients valent 1 .
(a) Montrer que la matrice K_n n'appartient pas à 𝒟_n.
(b) Lensemble 𝒟_n est-il un sous-espace vectoriel de ℳ_n(ℝ) ?
1.4. (a) Soit (x, y, z) un élément de ℝ^3. Montrer que la matrice (0, x; y, z) est inversible si et seulement si les nombres x et y sont non nuls.
(b) En déduire que l'ensemble 𝒟_2 ne contient pas d'autre élément que les matrices triangulaires de ℳ_2(ℝ).
I.5. Montrer que la matrice A = (3, 1, 1; 0, 2, − 1; 1, 1, 4) appartient à 𝒟_3. Cette matrice est-elle diagonalisable?
1.6. Pour tout t réel, on considère la matrice M(t) = (3, 1, 1 + t; 0, 2, − 1 − t; 1, 1, 4 + 2t).
(a) Déterminer l'ensemble des valeurs propres de la matrice M(t) selon la valeur de t. En déduire les valeurs de t pour lesquelles la matrice M(t) appartient à 𝒟_3.
(b) Déterminer les valeurs de t pour lesquelles la matrice M(t) est diagonalisable.

Une matrice M de ℳ_3(ℝ) est nilpotente si, et seulement si, il existe un entier naturel p non nul tel que la matrice M^p soit la matrice nulle.
II.1. Soit M une matrice nilpotente de ℳ_3(ℝ).

Montrer que 0 est une valeur propre de M et que c'est la seule valeur propre de M .
II.2. Soit M une matrice nilpotente de ℳ_3(ℝ). On va prouver par l'absurde que M^3 est la matrice nulle. Pour cela, on suppose que M^3 n'est pas la matrice nulle.
Notons ℬ = (e_1, e_2, e_3) la base canonique de ℝ^3 et u l'endomorphisme de l'espace vectoriel ℝ^3 représenté par la matrice M dans la base ℬ.
(a) Montrer les inclusions Ker(u) ⊂ Ker(u^2) et Ker(u^2) ⊂ Ker(u^3).
(b) Montrer que les noyaux Ker(u^2) et Ker(u^3) ne peuvent pas être égaux. Pour cela, montrer que dans le cas contraire, le noyau de u^2 est égal à celui de u^i pour tout entier i supérieur ou égal à 2 , et en tirer une contradiction.
(c) Montrer que les noyaux Ker(u) et Ker(u^2) ne peuvent pas être égaux non plus.
(d) Conclure en considérant la dimension des noyaux mentionnés ci-dessus.
II.3. Soit ( a, b, c, d, e, f ) un élément de ℝ^6. On considère la matrice M = (0, a, b; c, 0, d; e, f, 0) de ℳ_3(ℝ).

On définit les réels γ(M) = ac + df + be et δ(M) = bcf + ade.
(a) Établir l'égalité M^3 = γ(M)M + δ(M)I_3.
(b) Montrer que la matrice M est nilpotente si et seulement si γ(M) et δ(M) sont nuls.
(c) On suppose que a, b et d sont égaux à 1 .

Justifier qu'il existe une infinité de choix pour le triplet ( c, e, f ) de ℝ^3 pour lesquels la matrice M est nilpotente.
(d) En déduire que l'ensemble 𝒟_3 contient une infinité de matrices nilpotentes qui ne sont pas triangulaires.
(e) Exhiber une matrice de 𝒟_3 dont tous les coefficients sont non nuls.

On utilise dans tout ce problème les notations E(X) et V(X) pour désigner l'espérance et la variance d'une variable aléatoire X.

On rappelle que pour tout entier naturel n, le moment centré d'ordre n de X , s'il existe, est défini par

On dit qu'une variable aléatoire X admet un kurtosis lorsque

On appelle alors kurtosis, ou coefficient d'applatissement de X , le réel défini par:

On admet le résultat suivant : une variable aléatoire X admet une variance nulle si, et seulement si, il existe un réel a tel que P(X = a) = 1. On dit dans ce cas que la loi de X est certaine.

Soit X une variable aléatoire admettant un kurtosis. Soient α et β deux réels, avec α ≠ 0. Montrer que la variable aléatoire αX + β admet un kurtosis, et que l'on a :

I.1. Loi uniforme

Soit X une variable aléatoire réelle suivant la loi uniforme sur l'intervalle [0, 1].
(a) Rappeler l'espérance de X et calculer sa variance.
(b) Calculer le kurtosis de X .
(c) En utilisant le préliminaire, déterminer le kurtosis pour une loi uniforme sur [a, b] (avec a et b réels et a < b ).
I.2. Loi normale

Soit X une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite.
(a) Montrer que X admet un moment centré d'ordre n pour tout entier naturel n.
(b) Pour tout entier naturel n, établir la relation : μ_(n + 2)(X) = (n + 1)μ_n(X).
(c) Montrer que le kurtosis de X est nul.
(d) Que vaut le kurtosis pour une loi normale de paramètres quelconques?
1.3. Loi de Bernoulli

Soit X une variable aléatoire suivant la loi de Bernoulli de paramètre p ∈ 10, 1[.
(a) Calculer le kurtosis de X en fonction de p.
(b) Montrer que K(X) est minimum pour p = 1/2 et déterminer la valeur minimale.

II.1. Soit Y une variable aléatoire admettant une variance. Montrer: E(Y^2) ⩾ E(Y)^2.
II.2. Montrer que le kurtosis d'une variable aléatoire, s'il est défini, est toujours supérieur ou égal à -2.
II.3. Soient a et b deux réels distincts. On suppose que X suit la loi uniforme sur {a, b}, autrement dit que P(X = a) = P(X = b) = 1/2. Vérifier que K(X) = − 2.
II.4. On se propose de montrer la réciproque de ce résultat. Soit X une variable aléatoire admettant un kurtosis égal à -2.
(a) Montrer que la variable (X − E(X))^2 suit une loi certaine.
(b) En déduire que P(X = x) est non nulle uniquement pour deux valeurs réelles de x que l'on notera a et b.
(c) Montrer que X suit la loi uniforme sur {a, b}.
II.5. Existe-t-il une majoration du kurtosis, c'est-à-dire un réel M tel que K(X) ⩽ M pour toute variable aléatoire X admettant un kurtosis?

III.1. Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes, centrées, admettant un kurtosis.

Montrer: E(X + Y)^4) = E(X^4) + 6 V(X)V(Y) + E(Y^4).
III.2. Établir la formule : K(X + Y) = (V(X)^2 K(X) + V(Y)^2 K(Y))/([V(X) + V(Y)]^2).
III.3. Montrer que cette formule est encore valable pour des variables X et Y indépendantes mais non nécessairement centrées.
III.4. Pour tout n dans ℕ^∗, montrer que si X_1, X_2, …, X_n sont n variables aléatoires mutuellement indépendantes, chacune admettant un kurtosis, alors

III.5. Soient X une variable aléatoire admettant un kurtosis, et (X_n)_(n ∈ ℕ^∗) une suite de variables aléatoires indépendantes, de même loi que X . On pose S_n = ∑_(k = 1)^n X_k.
(a) Établir: lim_(n → + ∞)K(S_n) = 0.
(b) Interpréter ce résultat, en commençant par rappeler l'énoncé du théorème de la limite centrée.