Vrai-Faux sur les thèmes du programme et modèles de dynamique des populations
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L'épreuve écrite est constituée de deux problèmes indépendants. Le premier est un questionnaire de type Vrai-Faux avec réponses argumentées portant sur six thématiques du programme du concours. Le second traite de plusieurs modèles de dynamique des populations, du modèle discret au modèle proie-prédateur.
1Problème 1 : Vrai-FauxQuestions argumentées sur la proportionnalité, l'analyse, l'arithmétique, le dénombrement-probabilités, la géométrie et l'algorithmique.
2Problème 2 : modèles de dynamique d'une populationÉtude d'un modèle discret dépendant d'un paramètre, puis d'un modèle logistique continu et d'un modèle proie-prédateur.
Difficile. La moyenne de 7,12 sur 20 et le fait que seuls 20% des candidats aient traité la deuxième série de questions du problème 2 jusqu'au bout traduisent une épreuve peu réussie.
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)
Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.
Source : rapport du jury. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.
Ce qu'a observé le jury
6 erreurs relevées
Confusion entre condition nécessaire et suffisante · Confusion entre appartenance et inclusion · Raccourcis interdits dans les démonstrations
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Cette épreuve étant identique à la première épreuve écrite du CAPES externe, le rapport reprend les commentaires de ce concours. Le jury déplore une rédaction souvent laconique, une orthographe mal maîtrisée et une utilisation inappropriée des symboles et notations mathématiques.
Les erreurs les plus sanctionnées
1
Confusion entre condition nécessaire et suffisante
Malgré une bonne participation, des erreurs de logique apparaissent dans les réponses du problème 1, notamment des confusions entre condition nécessaire et condition suffisante.
2
Confusion entre appartenance et inclusion
Le manque de maîtrise du vocabulaire mathématique trahit un défaut de compréhension des notions, avec des confusions entre appartenance et inclusion.
3
Raccourcis interdits dans les démonstrations
Le jury attend des réponses complètes et non des raccourcis du type et ainsi de suite, notamment pour les démonstrations par récurrence.
« et ainsi de suite »
4
Erreurs classiques dans les démonstrations par récurrenceQ2
Le jury relève la position erronée du pour tout n dans la démonstration et l'implication P(k) implique P(k+1) non montrée pour tout k.
5
Modèle logistique continu peu traité
La partie sur le modèle logistique continu, qui porte sur une équation différentielle du premier ordre non linéaire, n'a été traitée que par 10% des candidats.
6
Confusion entre points du plan et valeurs de la suite
Certains candidats confondent les points du plan et les valeurs de la suite lors de la représentation graphique demandée.
Ce qui a été bien réussi
Les parties Arithmétique et Proportionnalité du problème 1 ont été abordées par presque tous les candidats et sont les mieux réussies.
Les questions calculatoires sont les mieux réussies et des méthodes comme l'intégration par parties semblent maîtrisées.
La première partie du problème 2, le modèle discret, a été abordée à 90%.
La première série de questions du modèle discret, sur les fonctions polynômes du second degré, a été réussie par 50% des candidats.
Conseils du jury
Rédiger une copie soignée, sans faute d'orthographe, en utilisant rigoureusement les symboles et quantificateurs mathématiques.
Vérifier systématiquement les conditions d'application d'un théorème avant de l'utiliser.
Rédiger des démonstrations par récurrence complètes, sans raccourci, en précisant l'initialisation et l'hérédité pour tout rang.
Travailler les bases de l'algorithmique, notamment l'écriture d'une boucle.
Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.
Description
Sujet officiel CAPES troisième concours en mathématiques, session 2024.
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Épreuve disciplinaire
L'épreuve permet d'apprécier la connaissance des notions du programme et l'aptitude à les mobiliser pour résoudre des problèmes.
Elle sollicite également les capacités de raisonnement, de démonstration et d'expression écrite du candidat.
Le sujet est constitué d'un ou plusieurs problèmes.
Durée : 5 heures
L'usage de la calculatrice est autorisé dans les conditions relevant de la circulaire du 17 juin 2021 BOEN du 29 juillet 2021.
L'usage de tout ouvrage de référence, de tout dictionnaire et de tout autre matériel électronique est rigoureusement interdit.
Il appartient au candidat de vérifier qu'il a reçu un sujet complet et correspondant à l'épreuve à laquelle il se présente.
Si vous repérez ce qui vous semble être une erreur d'énoncé, vous devez le signaler très lisiblement sur votre copie, en proposer la correction et poursuivre l'épreuve en conséquence. De même, si cela vous conduit à formuler une ou plusieurs hypothèses, vous devez la (ou les) mentionner explicitement.
NB : Conformément au principe d'anonymat, votre copie ne doit comporter aucun signe distinctif, tel que nom, signature, origine, etc. Si le travail qui vous est demandé consiste notamment en la rédaction d'un projet ou d'une note, vous devrez impérativement vous abstenir de la signer ou de l'identifier. Le fait de rendre une copie blanche est éliminatoire.
Cette épreuve est constituée de deux problèmes indépendants.
Notations. ℕ désigne l'ensemble des nombres entiers naturels. ℕ^∗ désigne l'ensemble des nombres entiers naturels non nuls. ℝ désigne l'ensemble des nombres réels. ℝ_+désigne l'ensemble des nombres réels positifs. ℝ_+^∗ désigne l'ensemble des nombres réels strictement positifs.
Problème 1 : VRAI - FAUX
Pour chacune des assertions suivantes, préciser si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse donnée. Toute réponse non argumentée ne sera pas prise en compte.
Proportionnalité
1.
Pour que le tableau ci-contre soit un tableau de proportionnalité il faut et il suffit que m = 5.
1 − m
-3
8
1 + m
2.Après une augmentation de 55%, le coût d'un produit a baissé de 28%.
Le pourcentage d'augmentation total est de 27%.
3.Si l'on augmente son rayon de 22%, l'aire d'un disque augmente de 44%.
Analyse
4.On considère la fonction F définie sur [0, + ∞[ par F(x) = ∫_0^x e^(− t^2)dt
On a 1/e ⩽ F(1) ⩽ 1 − 1/e.
5.On note pour tout réel t ⩾ 1, A(t) = ∫_1^t x^2 lnxdx.
On a lim_(t → + ∞)(A(t))/(t^2) = + ∞
6.Toute suite (u_n) qui vérifie l'assertion suivante tend vers + ∞. ∃n_0 ∈ ℕ; ∀A ∈ ℝ, n ∈ ℕ, (n ⩾ n_0 ⇒ u_n ⩾ A).
Arithmétique
7.On a 3/(11) = 0, 272727272727.
8.Le produit de deux nombres irrationnels est un nombre irrationnel.
9.Soit n ∈ ℕ. La contraposée de l'assertion " n^2 pair ⇒ n pair" est " n pair ⇒ n^2 pair".
10.Si la somme des chiffres en base 10 d'un entier naturel est divisible par 3 alors cet entier est divisible par 9.
11.Soient a et b deux entiers naturels et n un entier naturel non nul.
Si 2a ≡ 2b(modn) alors a ≡ b(modn).
12.Soit n un entier naturel non nul, la somme des n premiers nombres impairs est égale au carré de 2n + 1.
13.Soient a, b et c trois entiers tels que a^2 = b^2 + c^2.
L'un au moins des nombres a, b et c est multiple de 5 .
Géométrie
14.Un triangle dont les mesures des angles sont dans un ratio 1 : 2 : 3 est un triangle rectangle.
15.Dans un plan affine euclidien, on considère un triangle ABC sur lequel sont construits extérieurement les triangles équilatéraux ABD et ACE.
On a BE = DC.
16.Dans un espace affine euclidien, muni d'un repère cartésien orthonormé, les droites D et D^′ de représentations paramétriques {x = 1 + t; y = 3 − t; z = 5 − 2t t ∈ ℝ et {x, = 1 + t; y, = 3 − t; z, = − 5t − 1 t ∈ ℝ sont coplanaires.
17.On considère le cube ABCDEFGH ci-dessous.
On se place dans le repère (D, DA^(→−); DC^(→−); DH^(→−)).
Le point K(9; − 10; − 8) est un point du plan (ABG).
Dénombrement-Probabilités
18.Soit E un ensemble fini non vide dont un des éléments est noté a.
Il y a autant de parties de E contenant a que de parties ne le contenant pas.
19.Le nombre de trajets les plus courts pour aller du départ à l'arrivée sur le quadrillage ci-dessous est égal à120.
20.Une agence reçoit en moyenne 8 appels téléphoniques par heure. On modélise le nombre d'appels reçus par heure par une loi de Poisson.
La probabilité qu'il y ait plus de 3 appels téléphoniques au cours d'une heure est supérieure à 0, 95 .
21.Soient A et B deux évènements d'un espace probabilisé. Les assertions suivantes sont équivalentes :
-les évènements A et B sont indépendants;
-les évènements A¯ et B¯ sont indépendants.
22. On dépose au hasard n boules numérotées de 1 à n dans n urnes numérotées de 1 à n, en plaçant une boule par urne.
L'espérance du nombre de coïncidences (boule de même numéro que l'urne où elle se trouve) est égale à 1.
Algorithmique
Le programme ci-dessous est écrit en langage Python.
En saisissant la commande encadrement (0, 2, 0.001), on obtient un encadrement de longueur inférieure à 10^(− 3) de la solution de l'équation e^(x/2) + x^2 − 3 = 0 dans l'intervalle [0; 2].
from math import *
def f(x):
return exp(0.5*x)+x**2-3
def encadrement(a,b,epsilon):
m = (a + b)/2
while b - a > epsilon:
if f(a)*f(m) < 0 :
b = m
else:
a = m
return a, b
Problème 2 : quelques modèles de dynamique d'une population
Dans ce problème, on s'intéresse à différents modèles d'évolution d'une population. Les trois parties sont indépendantes.
Le modèle logistique discret
Dans cette partie, on modélise la taille de la population par une suite (u_n) où n est un entier naturel qui désigne le temps écoulé depuis un instant donné pris pour origine.
On suppose que la taille de la population est bornée c'est-à-dire qu'il existe un réel strictement positif M tel que
∀n ∈ ℕ, 0 ⩽ u_n < M.
Dans toute cette partie, on suppose 0 < u_0 < M, et on pose v_n = (u_n)/M pour tout entier n ∈ ℕ. On a alors v_0 ∈ ]0, 1[.
On suppose qu'il existe un réel a tel que la suite (v_n)_(n ∈ ℕ) vérifie la relation de récurrence suivante :
∀n ∈ ℕ, v_(n + 1) = av_n(1 − v_n).
Le but de cette partie est d'étudier le comportement de la suite (v_n)_(n ∈ ℕ) dans le cas où 0 < a ⩽ 1 et de faire une étude numérique pour le cas a = 5/2.
Le cas 0 < a ⩽ 1.
On rappelle que v_0 ∈ ]0, 1[.
On considère les fonctions f_a, et g_a définies sur [0,1], par
1.Dresser le tableau des variations de la fonction f_a sur l'intervalle [0, 1].
2.Déduire de la question précédente que pour tout n ∈ ℕ, v_n ∈ [0, 1].
3.Démontrer que si la suite (v_n)_(n ∈ ℕ) converge vers un réel ℓ ∈ [0, 1], alors ℓ est un point fixe de f_a, c'est-à-dire que f_a(ℓ) = ℓ.
4.Démontrer que f_a admet 0 pour unique point fixe dans l'intervalle [0, 1].
5.Démonter que g_a(x) ⩽ 0 pour tout x ∈ ]0, 1[. On pourra utiliser que 1 − 1/a ⩽ 0.
6.En déduire que la suite (v_n)_(n ∈ ℕ) est décroissante.
7.Justifier la convergence de la suite (v_n)_(n ∈ ℕ) vers un réel que l'on déterminera.
8.Que prédit le modèle sur l'évolution de la taille de la population dans ce cas ?
Le cas a = 5/2.
On pose v_0 = 1/2. On introduit, les fonctions f, g et h définies pour x ∈ [0, 1], par
f(x) = 5/2x(1 − x), g(x) = f(x) − x et h(x) = f ∘ f(x) − x.
9.Démontrer que f admet sur [0, 1] exactement deux points fixes.
10.Calculer v_1, v_2, v_3 et v_4. On donnera les valeurs décimales à 10^(− 3) près.
11.Écrire un algorithme qui permet de calculer les 10 premiers termes de la suite (v_n). En déduire v_(10).
12.Dans un repère orthonormé on a représenté, sur le graphique ci-dessous, pour des abscisses comprises entre 0, 5 et 0, 7 :
-la courbe représentative de la fonction f,
-la droite d'équation y = x.
Reproduire le graphique en mettant en évidence les nombres v_0, v_1, v_2, v_3 et v_4.
13.Vérifier que l'on a ∀x ∈ [0, 1], h(x) = − (x(5x − 3)(25x^2 − 35x + 14))/8.
14.En déduire que les fonctions f et f ∘ f ont les mêmes points fixes sur [0, 1].
15.Etudier le signe de la fonction h sur l'intervalle [0, 3/5].
16.On admet que l'intervalle [2/5, 3/5] est stable par la fonction f ∘ f. Déduire de la question précédente que la suite (v_(2n))_(n ∈ ℕ) est croissante.
17.Démontrer que la suite (v_(2n))_(n ∈ ℕ) converge vers 3/5.
18.En déduire que la suite (v_(2n + 1))_(n ∈ ℕ) converge également vers 3/5, puis que la suite (v_n)_(n ∈ ℕ) converge vers 3/5.
19.Conclure sur le comportement asymptotique de la taille de la population prédit par le modèle.
Le modèle logistique continu
Dans cette partie, on modélise l'évolution de la population par une fonction. La taille de la population à l'instant t ∈ ℝ_+est représentée par le réel y(t) où y désigne une fonction de ℝ_+vers ℝ_+.
On suppose que la taille de la population est bornée par un réel strictement positif M, c'est-à-dire que
∀t ∈ ℝ_+, 0 < y(t) < M.
On suppose qu'il existe un réel strictement positif a tel que y soit une fonction de classe C^1 solution de l'équation
∀t ∈ ℝ_+, y^′(t) = ay(t)(M − y(t)).
20.a. Démontrer qu'il existe des réels α, β que l'on déterminera tels que pour tout réel z vérifiant 0 < z < M, 1/(z(M − z)) = α1/z + β1/(M − z).
En déduire que y vérifie l'équation : ∀t ∈ ℝ_+, α(y^′(t))/(y(t)) + β(y^′(t))/(M − y(t)) − a = 0.
b. Déterminer en fonction de a et de M, une primitive de la fonction ψ : t ↦ α(y^′(t))/(y(t)) + β(y^′(t))/(M − y(t)) − a sur ℝ_+.
21.Déduire de la question précédente qu'il existe un réel c > 0 tel que pour tout t ∈ ℝ_+, y(t) = (cMe^(aMt))/(1 + ce^(aMt)).
22.Déterminer lim_(n → + ∞)y(t).
23.Qu'en déduire sur l'évolution de la population prédite par le modèle ?
Un modèle proies-prédateurs discret
On s'intéresse dans cette partie à l'évolution de deux populations dans le même milieu : une population de proies, et une population de prédateurs.
En préliminaire, on étudie les suites (x_n) et (y_n) définies par les relations de récurrence suivantes.
où α est un réel strictement positif et indépendant de n.
24.On introduit la matrice A = (1, − α; α, 1).
a.Pour n ∈ ℕ, exprimer ((x_n + 1)/(y_(n + 1))) à l'aide de ((x_n)/(y_n)) et A.
b. Démontrer que pour tout n ∈ ℕ, ((x_n)/(y_n)) = A^n((x_0)/(y_0)).
25.a. Démontrer que A admet deux valeurs propres complexes, notées λ et μ, que l'on précisera.
b. Justifier l'existence de r ∈ ℝ_+^⋆ et θ ∈ [0, 2π[ tels que λ = re^(iθ) et μ = re^(− iθ), et donner l'expression de r en fonction de α.
26.Justifier l'existence d'une matrice inversible P ∈ M_2(ℂ) telle que A = P(λ, 0; 0, μ)P^(− 1).
27.Démontrer que P = (1, 1; − i, i) et déterminer P^(− 1).
28.Démontrer que pour tout n ∈ ℕ, A^n = P(λ^n, 0; 0, μ^n)P^(− 1).
29.En déduire que pour tout n ∈ ℕ, {x_n = r^n(cos(nθ)x_0 − sin(nθ)y_0),; y_n = r^n(sin(nθ)x_0 + cos(nθ)y_0).
30.On propose dans la suite un modèle discret pour suivre l'évolution des populations de proies et de prédateurs.
L'entier n désigne le temps écoulé depuis un instant donné pris pour origine. Les tailles des populations de proies et de prédateurs sont respectivement données par les suites (u_n) et (v_n) définies par : {u_n = u¯ + x_n,; v_n = v¯ + y_n,
où les réels strictement positifs u¯ et v¯ sont fixés et correspondent à des tailles de référence pour les populations de proies et de prédateurs.
On a tracé sur le graphique ci-dessous les points de coordonnées (u_n, v_n) pour les premières valeurs de n comprises entre 0 et un entier N strictement positif.
Faire une description qualitative de l'évolution des populations de proies et de prédateurs prédite par le modèle.
31.On suppose que x_0 et y_0 ne sont pas tous les deux nuls. Pour n ∈ ℕ, exprimer x_n^2 + y_n^2, en fonction de r, x_0, y_0 et en déduire que les suites (u_n)_(n ∈ ℕ) et (v_n)_(n ∈ ℕ) ne peuvent pas être toutes les deux bornées. Discuter de la pertinence du modèle.
INFORMATION AUX CANDIDATS
Vous trouverez ci-après les codes nécessaires vous permettant de compléter les rubriques figurant en en-tête de votre copie. Ces codes doivent être reportés sur chacune des copies que vous remettrez.
-Concours externe du CAPES de l'enseignement public
Sur quels chapitres porte l'épreuve écrite du troisième concours CAPES maths 2024 ?
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Sur quels chapitres porte l'épreuve écrite du troisième concours CAPES maths 2024 ?
+
Elle porte sur la proportionnalité, l'arithmétique, le dénombrement-probabilités et l'algorithmique dans le premier problème, puis sur les suites, les équations différentielles et l'algèbre linéaire dans le second.
Quelle est la moyenne à l'épreuve écrite du troisième concours CAPES maths 2024 ?
+
La moyenne est de 7,12 sur 20, avec un écart type de 4,23.
Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur cette épreuve écrite CAPES troisième concours maths 2024 ?
+
Le jury relève des confusions logiques comme condition nécessaire et suffisante, des rédactions de récurrence incomplètes et un manque de rigueur dans les notations mathématiques.
Le problème 2 sur la dynamique des populations du CAPES troisième concours 2024 est-il difficile ?
+
Oui, seuls 20% des candidats traitent la deuxième série de questions jusqu'au bout et seulement 10% abordent la partie sur le modèle logistique continu.
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Commentaires• CAPES mathématiques troisième concours 2024, épreuve écrite
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