CAPES mathématiques troisième concours 2025, épreuve écriteSujet et rapport du jury

Troisième concours du Capes section mathématiques - Sujet de l'épreuve écrite de la session 2025

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Sujet officiel CAPES troisième concours en mathématiques, session 2025.

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SESSION 2025

CAPES ET CAFEP
Concours externe - Troisième concours

Section
MATHÉMATIQUES
Section
LANGUES RÉGIONALES
option BRETON

Épreuve disciplinaire
L'épreuve permet d'apprécier la connaissance des notions du programme et l'aptitude à les mobiliser pour résoudre des problèmes.
Elle sollicite également les capacités de raisonnement, de démonstration et d'expression écrite du candidat.
Le sujet est constitué d'un ou plusieurs problèmes.

Durée : 5 heures

L'usage de la calculatrice est autorisé dans les conditions relevant de la circulaire du 17 juin 2021 BOEN du 29 juillet 2021.

L'usage de tout ouvrage de référence, de tout dictionnaire et de tout autre matériel électronique est rigoureusement interdit.

Il appartient au candidat de vérifier qu'il a reçu un sujet complet et correspondant à l'épreuve à laquelle il se présente.

Si vous repérez ce qui vous semble être une erreur d'énoncé, vous devez le signaler très lisiblement sur votre copie, en proposer la correction et poursuivre l'épreuve en conséquence. De même, si cela vous conduit à formuler une ou plusieurs hypothèses, vous devez la (ou les) mentionner explicitement.

NB : Conformément au principe d'anonymat, votre copie ne doit comporter aucun signe distinctif, tel que nom, signature, origine, etc. Si le travail qui vous est demandé consiste notamment en la rédaction d'un projet ou d'une note, vous devrez impérativement vous abstenir de la signer ou de l'identifier. Le fait de rendre une copie blanche est éliminatoire.

Cette épreuve est constituée de trois problèmes indépendants.
Notations

ℕ

désigne l'ensemble des nombres entiers naturels.
N* désigne l'ensemble des nombres entiers naturels non nuls.

ℝ

désigne l'ensemble des nombres réels.

ℝ^*

désigne l'ensemble des nombres réels non nuls.

Problème 1 : VRAI - FAUX

Pour chacun des items suivants, préciser si l'assertion finale est vraie ou fausse et justifier la réponse donnée. Toute réponse non argumentée ne sera pas prise en compte.

Calculs dans

ℝ

1.Un article taxé à 10% a été payé 110 euros TTC (toutes taxes comprises).
Le montant de la taxe est de 11 euros.
2.Soient $α$ et $β$ deux nombres réels.
Le nombre $α^2 + αβ + β^2$ est positif.
3.Soient $a$ et $b$ deux nombres réels.
La négation de $(a > 1$ et $b > 1 \Rightarrow a + b > 2)$ est $(a \leq 1$ ou $b \leq 1 \Rightarrow a + b \leq 2)$ .
4.On considère l'équation d'inconnue réelle $x : cos(2025x) = 1$ .
Cette équation admet 2025 solutions dans l'intervalle $] - π; π$ ].

Arithmétique

5.Soit $f : ℕ \to ℕ$ l'application définie pour tout $n \in ℕ$ par $f(n) = 8n^2 - 10n + 3$ .
L'application $f$ est injective.
6.Pour tout entier naturel $n, 2^(3n) - 1$ est divisible par 7.
7.Soient $a, b$ et $n$ trois entiers naturels avec $n$ non nul tels que $a$ est congru à $b$ modulo $n$ .
Pour tout entier $x$ , on a $x^a \equiv x^b[n]$ .
8.Soit $n$ un entier strictement positif.
La somme des carrés des $n$ premiers entiers naturels non nuls est égale à $(n(n + 1)(2n + 1))/6$ .

Analyse réelle

9.Soit $(u_n)_(n \in ℕ)$ la suite définie par $u_0 = - 3$ et, pour tout entier naturel $n, u_(n + 1) = - 4u_n$ .
La suite $(u_n)_(n \in ℕ)$ tend vers $+ \infty$ .
10.Soit $(u_n)_(n \in ℕ^*)$ la suite définie sur $ℕ^*$ par $u_n = (- 1)^n + 1/n$ .
La suite $(u_n)_(n \in ℕ^*)$ n'admet pas de limite.

11.Soit $(u_n)_(n \in ℕ)$ une suite de nombres réels admettant une limite finie strictement positive. La suite $(u_n)_(n \in ℕ)$ est positive à partir d'un certain rang.
12.Soit $f$ une fonction définie et strictement décroissante sur $ℝ$ , à valeurs dans $ℝ$ .
Soit $u_0$ un réel et soit $(u_n)_(n \in ℕ)$ la suite de premier terme $u_0$ et telle que pour tout entier naturel $n, u_(n + 1) = f(u_n)$ .
La suite $(u_n)_(n \in ℕ)$ est strictement décroissante.
13.L'équation $e^x = x + 1$ admet 0 comme unique solution sur $ℝ$ .
14.Soient $I$ un intervalle de $ℝ$ , $a$ un réel de $I$ et $f$ une fonction, définie sur $I$ , à valeurs dans $ℝ$ .
Si $f$ est continue en $a$ , alors $f$ est dérivable en $a$ .
15.Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ par $f(x) = \int_0^x e^(- t)dt$ .
La fonction $f$ est bornée sur $[0; + \infty[$ .
16.Soit $(I_n)_(n \in ℕ^*)$ la suite définie sur $ℕ^*$ par $I_n = \int_0^1 x^n e^(- x)dx$ .
La suite $(I_n)_(n \in ℕ^*)$ est croissante.
17.Soit $(I_n)_(n \in ℕ^*)$ la suite définie sur $ℕ^*$ par $I_n = \int_1^e t(ln(t))^n dt$ .
Pour tout entier naturel $n$ non nul, $I_(n + 1) = 1/2(e^2 + (n + 1)I_n)$ .
\section*{Géométrie}
18. La figure codée ci-contre, réalisée à main levée, représente une configuration géométrique du plan affine euclidien.
Les points $C, D$ et $E$ de cette configuration sont alignés.
19.On considère un triangle $ABC$ du plan affine euclidien tel que $AB = 4, BC = 8$ et $CA = 4\sqrt3$ .
L'angle géométrique $ABCˆ$ mesure $π/3$ radians.
20.Dans un repère orthonormé direct ( $O, ı⃗, ȷ⃗$ ) du plan, on considère les points $A(1; 2), B(3; 1)$ et $M(5x; x^2 - 1)$ où $x$ est un nombre réel.
Les points $A, B$ et $M$ sont alignés si et seulement si $x = 1$ .
21.On considère un plan $(P)$ de l'espace et trois points $A, B$ et $C$ non alignés n'appartenant pas à $(P)$ , tels que la droite $(AB)$ coupe $(P)$ en $C^'$ , la droite $(BC)$ coupe $(P)$ en $A^'$ et la droite $(AC)$ coupe $(P)$ en $B^'$ .
Les points $A^', B^'$ et $C^'$ sont alignés.

22.On considère un pavé droit $ABCDEFGH$ d'un espace affine euclidien de dimension 3, avec $AB = 5, AD = 4$ et $AE = 3$ et $I$ le milieu de $[AB]$ , conformément à la figure ci-contre.
La mesure de l'angle $FHˆI$ arrondie au degré près est $45^\circ$ .

23. Le nombre complexe

e^(2iπ/3) + e^(- iπ/2)

admet

π/(12)

pour argument.

Algèbre linéaire

24.Soit $E$ un $ℝ$ espace vectoriel muni d'un produit scalaire et de la norme associée notée $‖$ . $‖.$ Deux vecteurs $u$ et $v$ de $E$ sont orthogonaux si et seulement si $‖u + v‖^2 = ‖u‖^2 + ‖v‖^2$ .
25.On considère la matrice A de $M_2(ℂ)$ , définie par $A = (1, - 1; 1, 1)$ Le produit des valeurs propres de $A$ est égal à 2.
26.On considère une matrice carrée $A$ de taille $n$ diagonalisable ( $n \in ℕ^*$ ). La matrice $A^2$ est diagonalisable.

Dénombrement et probabilités

27.20 personnes, dont 13 femmes, sont convoquées à un entretien. Les candidats sont reçus individuellement. La liste fixant l'ordre de passage a été établie par un tirage au sort équiprobable parmi l'ensemble des listes possibles.
La probabilité que le deuxième candidat interrogé soit une femme sachant que le premier candidat interrogé est une femme est égale à $(12)/(19)$ .

On lance trois dés à six faces numérotées de 1 à 6 et on fait la somme des résultats obtenus. Le programme ci-dessous est écrit en langage Python.

from math import*
n=int(input("Entrez un entier compris entre 3 et 18 :"))
s=0
for i in range(1,7):
    for j in range(1,7):
        for k in range(1,7):
            if i+j+k==n:
                print(i,j,k)
s=s+1
print("Le nombre de façons d'obtenir",n,"avec trois dés est :",s)

La ligne 10 de ce programme donne le nombre de façons d'obtenir pour somme l'entier

n

, saisi par l'utilisateur.

Problème 2 : meilleure approximation affine

Ce problème a pour objet de s'intéresser à la notion de meilleure approximation affine d'une fonction en un point.

Définitions
Soit

f

une fonction d'une variable réelle, définie sur un intervalle ouvert non vide

I

.
Pour tout réel

a \in I

, on appelle approximation affine de

f

en a toute fonction affine

g

définie sur

I

telle que

g(a) = f(a).

Soient

g_1

g_2

deux approximations affines de

f

a

. Dire que

g_1

est une meilleure approximation affine de f en a que

g_2

signifie qu'il existe un intervalle ouvert

D

contenant

a

tel que

\forallx \in I \cap D, |f(x) - g_1(x)| ⩽ |f(x) - g_2(x)|.

Si de plus

f

est dérivable sur

I

de dérivée

f^'

, pour tout

a \in I

, on appelle fonction affine tangente de

f

au point

a

la fonction

t

définie sur

I

par

\forallx \in I, t(x) = f(a) + f^'(a)(x - a).

Étude d'un exemple
Soit

f

la fonction définie sur

ℝ

par

f(x) = x^2 - x

1.Étudier la dérivabilité de la fonction $f$ sur $ℝ$ .
2.Tracer l'allure de la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé.
3.Déterminer la fonction $t$ affine tangente à $f$ en 0 . Tracer la tangente en 0 sur la figure précédente.
4.Soit $h$ la fonction définie sur $ℝ$ par
$h(x) = - 1/2x.$
4.1Justifier que $h$ est une approximation affine de $f$ en 0. Tracer la courbe représentative de $h$ sur la même figure.
4.2Démontrer que
$\forallx \in ℝ, |f(x) - t(x)| ⩽ |f(x) - h(x)| \Leftrightarrow |x| ⩽ |x - 1/2|$
4.3En déduire que $t$ est une meilleure approximation affine de $f$ en 0 que $h$ .

5.Pour tout réel $k \neq - 1$ , on note $g_k$ la fonction affine définie sur $ℝ$ par
$g_k(x) = kx.$
- 5.1Justifier que $g_k$ est une approximation affine de $f$ en o.
- 5.2Démontrer que
  $\forallx \in ℝ, |f(x) - t(x)| ⩽ |f(x) - g_k(x)| \Leftrightarrow |x| ⩽ |x - (1 + k)|.$
- 5.3Démontrer que
  $\forallx \in ] - |(1 + k)/2|, |(1 + k)/2|[, |f(x) - t(x)| ⩽ |f(x) - g_k(x)|.$
6.Que peut-on en conclure pour la fonction $t$ ?

Cas général

On suppose ici que

I = ℝ

et que la fonction

f

est dérivable sur

I

7.Démontrer que $g$ est une approximation affine de $f$ en $a$ si et seulement si
$\existsk \in ℝ, \forallx \in ℝg(x) = f(a) + k(x - a).$
Soit $g$ une approximation affine de $f$ en $a$ telle que $k \neq f^'(a)$ . On pose pour tout $x \in ℝ∖{a}$ ,
$T(x), = (f(x) - t(x))/(x - a); G(x), = (f(x) - g(x))/(x - a).$
8.Déterminer les limites des fonctions $T$ et $G$ en $a$ .
9.Que peut-on en conclure pour la fonction $t$ ?

Relation d'ordre

10.Rappeler la définition d'une relation d'ordre.
11.Soient $f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert $I$ et $a$ un élément de $I$ .
La relation « être une meilleure approximation affine de $f$ en $a$ que» constitue-t-elle une relation d'ordre dans l'ensemble des approximations affines de $f$ en $a$ ?

Problème 3 : dérangements

Ce problème a pour objet de déterminer le nombre de dérangements d'un ensemble fini.

Notations, définitions et rappels

Soit

n

un entier naturel non nul et soit

E_n

le sous ensemble de

ℕ

défini par

E_n = {1, 2, ⋯, n}

.
On appelle permutation de

E_n

toute bijection de

E_n

dans lui-même. Soit

σ

une permutation de

E_n

i

un élément de

E_n

. Dire que

i

est un point fixe de

σ

signifie que

σ(i) = i

.
On appelle dérangement de

E_n

une permutation de

E_n

n'ayant aucun point fixe.
On note

S_n

l'ensemble des permutations de

E_n

.
On rappelle que le cardinal de

S_n

est

n!

.
On note

D_n

l'ensemble des dérangements de

E_n

.
Le cardinal de

D_n

est noté

d_n

Généralités

Dans cette partie,

E

désigne un ensemble fini non vide.

A_1, A_2

A_3

sont des parties de

E

1.Justifier l'égalité
$card(A_1 \cup A_2) = card(A_1) + card(A_2) - card(A_1 \cap A_2)$
où card désigne le cardinal des ensembles considérés.
2.En s'inspirant de la relation précédente et en illustrant la réponse par un schéma, donner sans démonstration une expression de $card(A_1 \cup A_2 \cup A_3)$ , en fonction des cardinaux des intersections de ces parties.

Dans la suite, on admettra la formule du crible ci-dessous qui constitue une généralisation des deux précédentes.
Étant données

n

parties

A_1, A_2, \dotsA_n

d'un ensemble

E

fini non vide, on a

card(⋃_(i = 1)^n A_i) = \sum_(k = 1)^n((- 1)^(k - 1)\sum_(1 ⩽ i_1 < i_2 < \dots < i_k ⩽ n)card(A_(i_1) \cap A_(i_2) \cap \dots \cap A_(i_k)))

3.Retrouver à l'aide de la formule du crible la réponse obtenue à la question 2.

Calcul du nombre de dérangements

4.Donner les valeurs de $d_1$ et $d_2$ .

Pour tout entier

i

élément de

E_n

, on note

A_i

l'ensemble des permutations admettant au moins

i

pour point fixe.

A_i = {σ ∈ S_n|σ(i) = i}

5.Démontrer que
$S_n∖D_n = ⋃_(i = 1)^n A_i.$
6.Étant donnés un entier $k$ de $E_n$ et $k$ entiers deux à deux distincts $i_1, i_2, \dotsi_k$ , justifier l'égalité
$card(A_(i_1) \cap A_(i_2) \cap \dots \cap A_(i_k)) = (n - k)!$
7.Déduire des deux questions précédentes et de la formule du crible que
$d_n = n! - \sum_(k = 1)^n(- 1)^(k - 1)(n/k)(n - k)!$
8.Démontrer que
$d_n = n!\sum_(k = 0)^n((- 1)^k)/(k!).$

Applications

9.On note $p_n$ la probabilité qu'une permutation choisie au hasard de façon équiprobable dans $S_n$ soit un dérangement.
La suite $(p_n)$ admet-elle une limite ? Si oui laquelle ?
10.On répartit au hasard $n$ boules numérotées de 1 à $n$ dans $n$ urnes numérotées de 1 à $n$ , en plaçant une boule par urne.
On note $X_n$ la variable aléatoire qui à une telle répartition associe le nombre de coïncidences entre le numéro de l'urne et celui de la boule qu'elle reçoit.
- 10.1Déterminer $P(X_n = 0)$ et en déduire une expression de $P(X_n \geq 1)$ .
- 10.2Démontrer que pour tout entier $q$ de $E_n$ , on a
  $P(X_n = q) = 1/(q!)\sum_(k = 0)^(n - q)((- 1)^k)/(k!).$
- 10.3Démontrer que l'espérance de $X_n$ est indépendante de $n$ .

On pourra écrire

X_n

sous forme d'une somme de variables aléatoires.

INFORMATION AUX CANDIDATS

Vous trouverez ci-après les codes nécessaires vous permettant de compléter les rubriques figurant en en-tête de votre copie. Ces codes doivent être reportés sur chacune des copies que vous remettrez.

-Concours externe du CAPES de l'enseignement public
-Section : mathématiques - Externe
Concours Section/option Epreuve Matière E|B|E 1/3/0/0/E 1/0/1 9/3/9/0
-Section : mathématiques - Troisième concours
Concours Section/option Epreuve Matière E|B|V 1/3/0/0/E 1/0/1 9/3/9/0
-Section : langues régionales option breton
Concours Section/option Epreuve Matière E|B|E 0|4|4|1|E 1|0|2 9|3|9|0
-Concours externe du CAFEP/CAPES de l'enseignement privé
-Section : mathématiques - Externe
Concours Section/option Epreuve Matière E|B|F 1/3/0/0/E 1|0/1 19/3/9/0
-Section : mathématiques - Troisième concours
Concours Section/option Epreuve Matière E|B|W 1/3/0/0/E 1/0/1 9/3/9/0
-Section : langues régionales option breton
Concours Section/option Epreuve Matière E|B|F 0|4|4|1|E 1/0/2 9/3/9/0

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