WikiPrépaLivrets

Mines Mathématiques 1 MP 2000Sujet, corrigé et rapport du jury

5,0(1 vote)
Logo concours Mines

Explorer les annales

BanqueMinesAnnée2000FilièreMPMatièreMathématiques
Annales Mines MP MathématiquesMines MP 2000MP MathématiquesMathématiques 2000

Téléchargements

Télécharger le sujet (PDF)
Corrigé
Corrigé 2
Rapport du juryLire en ligneLaTeXWord

Présentation du sujet

Difficile
Endomorphismes définis par l'action d'un groupe sur des sous-espaces de matrices complexes
Afficher ou masquer la section

Le problème étudie divers endomorphismes définis par l'action d'un groupe sur des sous-espaces vectoriels M et V de l'espace des matrices 2x2 à coefficients complexes. La partie I établit des propriétés élémentaires des éléments de M et de certains sous-groupes du groupe des matrices inversibles de M. Les parties II et III étudient des endomorphismes de V construits à partir d'éléments inversibles de M, en s'appuyant largement sur les résultats de la partie I.

  1. 1Partie préliminaireDéfinition des sous-ensembles M, G, U et V de matrices et du produit scalaire associé, avec vérification des structures d'espace vectoriel, de groupe et d'espace euclidien.
  2. 2Partie IÉtablissement de propriétés élémentaires des matrices de M, de la structure du groupe G et de son sous-groupe G(g1).
  3. 3Partie IIÉtude de l'endomorphisme l_g de V défini à partir d'une matrice g du groupe G, de ses propriétés, et construction d'une base adaptée de V.
  4. 4Partie IIIÉtude de l'endomorphisme ψ_m de V défini à partir d'une matrice m de M, et interprétation géométrique de la transformation associée.

Difficile. Le rapport indique que le problème était très long et que presque personne n'a tout traité, la partie III n'ayant été abordée de manière significative que dans un petit nombre de copies, malgré une moyenne autour de 10/20.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 10 / 20
Afficher ou masquer la section
Moyenne
10/ 20

Source : rapport du jury. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Dimension d'un espace vectoriel mal justifiée · Trace de l'identité confondue avec 1 · Domaine de définition du cosinus non vérifié
Afficher ou masquer la section

La majorité des candidats maîtrise assez bien les notions du programme d'algèbre linéaire, mais trop de copies sont mal soignées ou mal écrites. Le problème était très long et presque personne n'a tout traité, même si quelques candidats ont obtenu une note voisine de 20. Le jury estime que ce sujet a bien permis de classer les candidats, l'écart-type assez élevé témoignant de sa capacité de discrimination.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Dimension d'un espace vectoriel mal justifiée

    Pour établir qu'un espace vectoriel était de dimension n, il ne suffisait pas de dire que ses éléments dépendaient de n paramètres.

    « Pour établir qu’un espace vectoriel était de dimension n il ne suffisait pas de dire que ses éléments dépendaient de n paramètres. »
  2. 2
    Trace de l'identité confondue avec 1

    Le jury rappelle que la trace de la matrice identité vaut la dimension de l'espace, et non 1.

    « Rappelons que la trace de l’identité n’est pas égale à un mais à la dimension de l’espace. »
  3. 3
    Domaine de définition du cosinus non vérifiéI 4.a

    Avant d'affirmer qu'un nombre réel comme la partie réelle de a (question I.4.a) pouvait s'écrire sous la forme cos θ, il fallait vérifier qu'il appartenait à l'intervalle [-1, 1].

    « il fallait vérifier qu’il appartenait à [–1, 1]. »
  4. 4
    Sous-groupe démontré par la seule stabilité

    Pour démontrer qu'une partie H d'un groupe G était un sous-groupe, il ne suffisait pas de dire que H était stable par produit.

    « il ne suffisait pas de dire que H était stable par produit. »
  5. 5
    Stabilité de V non vérifiée en partie II

    Pour établir qu'une application définissait un endomorphisme du sous-espace V, il fallait penser à vérifier que V était stable par cette application.

    « il fallait penser à vérifier que V était stable par la dite application. »
  6. 6
    Famille orthogonale confondue avec une baseII 3 b

    Dans la question II.3.b, il ne suffisait pas de dire que la famille était orthogonale pour en déduire qu'elle formait une base.

    « il ne suffisait pas de dire que la famille était orthogonale pour en déduire qu’elle formait une base. »

Ce qui a été bien réussi

  • La majorité des candidats maîtrise assez bien les notions du programme d'algèbre linéaire.
  • La partie I a été assez bien traitée dans la majorité des copies.
  • Un petit nombre de candidats ont impressionné le jury et obtenu une note voisine de 20.

Conseils du jury

  • Lire tranquillement la totalité du sujet avant de commencer, pour assimiler les notations et comprendre l'enjeu du problème.
  • Écrire lisiblement et encadrer les résultats obtenus.
  • Pour une question dont la réponse est donnée dans l'énoncé, rédiger une démonstration claire et concise citant précisément les résultats antérieurs utilisés.
  • Indiquer nettement quand on admet un résultat pour poursuivre plutôt que de dissimuler une lacune : l'honnêteté est appréciée, la tricherie très pénalisante.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

Ces sujets peuvent vous intéresser

Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
Afficher ou masquer la section
Sujet en PDF

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE, ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI).

CONCOURS D’ADMISSION 2000

MATHÉMATIQUES

PREMIÈRE ÉPREUVEFILIÈRE MP(Durée de l'épreuve : 3 heures)

Sujet mis à la disposition des concours : ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, TPE-EIVP.

L'emploi de la calculette est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon très apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES I - MP.
L'énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière MP, comporte 5 pages.
Si un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Le but de ce problème est l'étude d'endomorphismes définis par l'action d'un groupe sur un espace vectoriel de matrices complexes.
Soit M l'ensemble des matrices complexes m d'ordre 2 qui s'écrivent sous la forme suivante :
m = (a, ib; ib¯, a¯).
Dans cette relation, a et b sont des nombres complexes, i vérifie i^2 = − 1, a¯ (resp. b¯ ) est le nombre complexe conjugué de a (resp. b ).

Partie préliminaire

0. L'ensemble M est un espace vectoriel réel :

Démontrer qu'en munissant l'ensemble M de l'addition des matrices et de la multiplication des matrices par un réel, l'ensemble M est un espace vectoriel réel. Préciser sa dimension.
Démontrer que le produit de deux matrices m_1 et m_2 de l'espace M appartient à M.
Soit I la matrice unité d'ordre 2. Soit m une matrice appartenant à l'espace vectoriel M; la matrice transposée de la matrice m est notée ^t m. Si p est un entier naturel, m^p est le produit de la matrice m p-fois par elle-même ; classiquement m^0 = I.
Soit G le sous-ensemble des matrices g appartenant à l'espace M dont le déterminant est égal à 1 :
G = {g ∈ M|detg = 1}.
Il est admis que l'ensemble G est, pour le produit des matrices, un groupe.
Soit U le sous-ensemble des matrices u de l'espace M antisymétriques dont le carré est égal à l'opposé de la matrice identité :
U = {u ∈ M|u + ^t u = 0, u^2 = − I}.
Soit V le sous-ensemble des matrices symétriques v appartenant à l'espace M :
V = {v ∈ M|v = ^t v}.
Il est admis que le sous-ensemble V de M est un sous-espace vectoriel réel.
Soient m_1 et m_2 deux matrices appartenant à l'espace vectoriel M; il est admis que la trace de la matrice m¯_1 ⋅ ^t m_2 est réelle ; soit ( m_1|m_2 ) le réel défini par la relation suivante :
(m_1|m_2) = 1/2Tr(m¯_1 ⋅ ^t m_2) = 1/2Tr(m_1 ⋅ ^t m¯_2).
L'égalité entre les traces des matrices m¯_1 ⋅ ^t m_2 et m_1 ⋅ ^t m¯_2 est admise.
Il est admis que l'espace ( M, (. | .)) est un espace euclidien. Si le produit scalaire ( m_1|m_2 ), de deux matrices m_1 et m_2, est nul, ces matrices sont dites perpendiculaires. Le sous-espace vectoriel V de M est un espace euclidien lorsqu'il est muni du produit scalaire induit par celui de M.

Première partie

I.1. Propriétés élémentaires des matrices de l'espace M :

Soit m une matrice de l'espace M; démontrer que les matrices m + ^t m¯ et m ⋅ ^t m¯ s'expriment au moyen de la matrice identité I, du déterminant det m, de la trace Trm de la matrice m.
Soit g une matrice appartenant à M; déduire du résultat précédent que, pour qu'une matrice g de l'espace M appartienne au groupe G, il faut et il suffit qu'il existe une relation simple entre les matrices g^(− 1) et ^t g¯.
Soit m une matrice de l'espace M dont la trace est nulle ( Trm = 0 ) ; établir la relation : m = − ^t m¯; calculer les matrices m^2, (^t m)^2 en fonction du déterminant de la matrice m et de la matrice unité I.

I. 2 Matrices u :

Déterminer les matrices u qui appartiennent à l'ensemble U défini ci-dessus.
Soit m une matrice de l'espace M, u une matrice de l'ensemble U. Comparer les deux produits de matrices : m.u et u. m¯. Démontrer que, lorsque la trace de la matrice m est nulle ( Trm = 0), les deux matrices m.u et и.m appartiennent au sous-espace vectoriel V.

I.3. Norme d'une matrice m :

Soit m une matrice de l'espace M; calculer la norme de la matrice m(‖m‖ = √((m|m))) en fonction du déterminant de cette matrice. Comparer pour deux matrices m et w de l'espace M la norme ‖m.w‖ du produit des matrices m et w avec le produit ‖m‖.‖w‖ des normes de ces matrices.

I.4. Matrices appartenant à G :

a. Démontrer que toute matrice g appartenant au groupe G s'écrit, de manière unique, sous la forme
g = Icosθ + m,
où θ est un réel appartenant au segment [0, π] et m une matrice de trace nulle ( Trm = 0 ) qui appartient à M.
Calculer, en fonction du réel θ, le déterminant de la matrice m, ainsi définie à partir de la matrice g, ainsi que le carré m^2 de la matrice m.
b. Soit m une matrice de l'espace M différente de 0(m ≠ 0) : démontrer que la matrice g_1 définie par la relation ci-dessous appartient au groupe G :
g_1 = 1/(√(detm))m

I-5 Un sous-groupe de G :

Soit g_1 une matrice, de trace nulle ( Trg_1 = 0 ), appartenant à G; soit G(g_1) l'ensemble des matrices m_θ définies par la relation suivante
m_θ = Icosθ + g_1 sinθ
où θ est un réel quelconque appartenant au segment [0, 2π]; soit :
G(g_1) = {m_θ = Icosθ + g_1 sinθ|θ ∈ [0, 2π]}.
a. Démontrer que l'ensemble G(g_1) est un sous-groupe commutatif du groupe G.
b. Soit m une matrice de l'espace M; la matrice exponentielle de la matrice m est définie par la relation
expm = ∑_(n = 0)^∞1/(n!)m^n.
Calculer la matrice exp(θ ⋅ g_1).

Deuxième partie

Cette partie est consacrée à l'étude d'une application définie dans le sous-espace vectoriel V des matrices symétriques de M à l'aide d'une matrice du groupe G.
Dans toute cette partie, g est une matrice donnée du groupe G, de trace nulle ( Trg = 0 ) ; étant donnée une matrice w appartenant au sous-espace vectoriel V soit l_g(w) la matrice définie par la relation suivante :
l_g(w) = g ⋅ w + w ⋅ ^t g.

II-1. L'endomorphisme l_g de V :

a. Déterminer la dimension du sous-espace vectoriel réel V de l'espace vectoriel M. Déterminer une base de ce sous-espace vectoriel.
b. Démontrer que l'application l_g : w ↦ l_g(w) est un endomorphisme de l'espace vectoriel V. Démontrer que cet endomorphisme l_g n'est pas nul.

II-2. Propriétés de l'endomorphisme l_g :

a. Comparer l'endomorphisme l_g ∘ l_g : w ↦ l_g(l_g(w)) à l'endomorphisme w ↦ 2g ⋅ l_g(w). Calculer l'expression l_g(g ⋅ l_g(w)) en fonction de l_g(w).
Comparer les deux normes ‖l_g(w)‖ et ‖g ⋅ l_g(w)‖.
Calculer, pour une matrice u de l'ensemble U, l'expression l_g(g ⋅ u).
b. Déterminer une relation simple qui lie, pour deux matrices quelconques v et w de l'espace V, les produits scalaires (l_g(v)|w) et (v|l_g(w)).
En déduire l'endomorphisme adjoint de l'endomorphisme l_g.
c. Déduire des résultats précédents, que, pour toute matrice w de V, les matrices l_g(w) et g ⋅ l_g(w) sont perpendiculaires.

II-3. Une base de l'espace V :

Etant données une matrice v de l'espace vectoriel V telle que son image par l'endomorphisme l_g soit différente de 0(l_g(v) ≠ 0 ), une matrice u de l'ensemble U ( u appartient à M, est antisymétrique, u^2 = − I ), soient h_0 le produit des matrices g et u, h_1 l'image de la matrice v par l'application l_g, h_2 le produit des matrices g et h_1 :
h_0 = g ⋅ u, h_1 = l_g(v), h_2 = g ⋅ l_g(v).
a. Calculer les produits scalaires de la matrice u avec chacune des matrices h_i, 0 ≤ i ≤ 2, et des matrices h_i, 0 ≤ i ≤ 2, deux à deux :
(u|h_i), 0 ≤ i ≤ 2, (h_k|h_l), 0 ≤ k ≤ l ≤ 2.
b. Démontrer que la suite des matrices h_i, 0 ≤ i ≤ 2, est une base de l'espace vectoriel V. Déduire de cette base une base orthonormée. Quelle est la matrice associée à l'endomorphisme l_g dans cette base ? Déterminer la transformation géométrique associée à l'endomorphisme 1/2l_g.

II-4. Un endomorphisme de l'espace vectoriel M :

Soit θ un réel donné appartenant au segment [0, 2π]; soit m_θ la matrice appartenant au groupe G (question I-5) définie par la relation suivante :
m_θ = Icosθ + gsinθ.
Soit s_θ l'application qui, à une matrice w de l'espace vectoriel M, associe la matrice m_θ.w :
s_θ : w ↦ m_θ.w.
Déterminer la matrice associée à l'endomorphisme s_θ dans la base définie par les matrices u, h_0, h_1, h_2.

Troisième partie

Soit m une matrice donnée de l'espace vectoriel M. A toute matrice w du sous-espace vectoriel V de M est associée la matrice m.w. ^t m.

III-1. Endomorphisme ψ_m de l'espace V :

a. Démontrer que l'application w ↦ m ⋅ w ⋅ ^t m est un endomorphisme de l'espace vectoriel V. L'endomorphisme w ↦ m.w ⋅ ^t m de V est noté ψ_m.
Calculer m.u. ^t m où u est une matrice de l'ensemble U.
b. Déterminer les matrices m de l'espace vectoriel M pour lesquelles l'application ψ_m est l'application identité.

III-2. Endomorphisme ψ_g :

Soit g une matrice, différente des matrices I (identité) et − I, appartenant au groupe G.
a. Démontrer, à l'aide de la question I-4, qu'il existe un réel θ appartenant à l'intervalle ouvert ]0, π[ et une matrice m, appartenant à M, différente de 0 , de trace nulle, tels que la relation ci-dessous soit vérifiée :
g = Icosθ + m; θ ∈ ]0, π[, m ∈ M.
Soit γ la matrice définie à partir de la matrice m par la relation suivante :
γ = 1/(√(detm))m.
b. Exprimer, pour toute matrice w de l'espace vectoriel V, la matrice ψ_g(w) en fonction des matrices w, l_γ(w), ψ_γ(w) et du réel θ.
c. Soit v une matrice de l'espace vectoriel V telle que son image par l'application l_γ soit différente de 0(l_γ(v) ≠ 0). D'après la question II-3.b, la famille γ ⋅ u, l_γ(v), γ ⋅ l_γ(v) est une base de l'espace vectoriel V. Déterminer la matrice associée à l'endomorphisme ψ_g dans cette base. Calculer le déterminant de cette matrice noté det ψ_g. Caractériser la transformation géométrique définie par l'endomorphisme ψ_g.

III-3. Endomorphisme ψ_m :

Soit m une matrice, différente des matrices 0, I et − I, appartenant à l'espace vectoriel M. Démontrer qu'il existe une matrice g appartenant au groupe G telle que l'endomorphisme ψ_m soit proportionnel à l'isomorphisme ψ_g. En déduire une interprétation géométrique de l'endomorphisme ψ_m.
FIN DU PROBLEME

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de maths 1 MP Mines 2000 ?
Afficher ou masquer la section

Sur quels chapitres porte le sujet de maths 1 MP Mines 2000 ?

Le sujet porte sur l'algèbre linéaire : espaces vectoriels, matrices, groupes et sous-groupes, produit scalaire et endomorphismes, appliqués à des sous-espaces de matrices complexes 2x2.

Ce sujet de maths 1 MP Mines 2000 est-il difficile ?

Le rapport le décrit comme très long : presque aucun candidat ne l'a traité en entier, et la partie III n'a été abordée sérieusement que par un petit nombre de copies, malgré une moyenne autour de 10/20.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet de maths 1 MP Mines 2000 ?

Le jury relève des justifications insuffisantes de dimension ou de sous-groupe, une confusion sur la trace de l'identité, l'oubli de vérifier la stabilité d'un sous-espace par une application, et la confusion entre famille orthogonale et base.

Quelle est la moyenne du sujet de maths 1 MP Mines 2000 ?

La moyenne générale est de l'ordre de 10 sur 20, avec un écart-type que le jury juge assez élevé, ce qui a bien permis de classer les candidats.

Pas de description pour le moment