WikiPrépaLivrets

Mines Mathématiques 1 MP 2001Sujet, corrigé et rapport du jury

Pas encore noté
Logo concours Mines

Explorer les annales

BanqueMinesAnnée2001FilièreMPMatièreMathématiques
Annales Mines MP MathématiquesMines MP 2001MP MathématiquesMathématiques 2001

Téléchargements

Télécharger le sujet (PDF)
Corrigé
Corrigé 2
Rapport du juryLire en ligneLaTeXWord

Présentation du sujet

Difficile
Applications semi-linéaires d'un espace vectoriel complexe et co-diagonalisabilité
Afficher ou masquer la section

Le problème étudie les applications semi-linéaires d'un espace vectoriel complexe de dimension finie dans lui-même. La première partie établit une traduction matricielle de la semi-linéarité et étudie les valeurs et vecteurs co-propres. La seconde partie guide les candidats vers une condition nécessaire et suffisante de co-diagonalisabilité d'une matrice complexe quelconque.

  1. 1Première partie : valeurs et vecteurs co-propresÉtude des premières propriétés des applications semi-linéaires, de leur matrice associée et d'une caractérisation des valeurs co-propres, à travers plusieurs exemples.
  2. 2Seconde partie : co-diagonalisabilitéÉtude d'une relation d'équivalence et de l'indépendance des vecteurs co-propres, puis établissement de conditions nécessaire et suffisante de co-diagonalisabilité.

Difficile. Le jury indique que le problème est très long et que personne ne le traite en totalité, même si un petit nombre de candidats obtiennent une note voisine de 20.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Notation x/u(x) dénuée de sens · Résultat donné sans démonstration · Vecteur propre non nul non précisé
Afficher ou masquer la section

La majorité des candidats maîtrise assez bien les notions du programme d'algèbre linéaire, mais trop de copies manquent de soin. Le jury estime que ce problème permet de bien classer les candidats par ordre de mérite, la partie I étant abordée par la plupart des copies alors que la partie II n'est complètement traitée que par peu de candidats.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Notation x/u(x) dénuée de sens

    Si x est un vecteur et u une application semi-linéaire, écrire u(x)/x n'a pas de sens mathématique.

  2. 2
    Résultat donné sans démonstrationI.2.b

    Dans la question I.2.b, il ne faut pas se contenter de donner le résultat, il faut également produire une démonstration.

  3. 3
    Vecteur propre non nul non précisé

    Pour affirmer qu'un nombre complexe est valeur propre à partir d'une relation AX = lambda X, il faut préciser voire démontrer que le vecteur X est non nul.

  4. 4
    Raisonnement circulaire en cherchant à retrouver le résultatI.4.i

    Dans la question I.4.i, certains candidats raisonnent à l'envers pour se ramener coûte que coûte au résultat à démontrer, au lieu de suivre l'ordre logique des questions antérieures.

    « dans le souci de se ramener coûte que coûte à ce qu'il faut démontrer »
  5. 5
    Matrice par blocs supposée symétrique à tortI.6

    La matrice D par blocs de la question I.6 n'est pas symétrique en général, sauf si les blocs B et C le sont.

  6. 6
    Similitude confondue avec équivalence de matricesII.2

    La matrice S inverse A S n'est pas semblable à A ; pour affirmer que ces deux matrices ont même rang, il faut produire une démonstration, par exemple en montrant qu'elles sont équivalentes.

Ce qui a été bien réussi

  • La majorité des candidats maîtrise assez bien les notions du programme d'algèbre linéaire.
  • La partie I est abordée dans la plupart des copies.
  • Un petit nombre de candidats impressionnent le jury et obtiennent une note voisine de 20.

Conseils du jury

  • Commencer par lire tranquillement la totalité du sujet pour assimiler les notations avant de composer.
  • Écrire lisiblement et encadrer systématiquement les résultats obtenus.
  • Rédiger des démonstrations claires et concises en citant précisément les résultats et numéros de questions antérieurs utilisés.
  • Indiquer nettement quand un résultat est admis plutôt que de tenter de dissimuler une difficulté.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

Ces sujets peuvent vous intéresser

Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
Afficher ou masquer la section
Sujet en PDF

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière STI).

CONCOURS D’ADMISSION 2001
ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES PREMIÈRE ÉPREUVE Filière MP (Durée de l'épreuve : 3 heures) (L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit).
Sujet mis à la disposition des concours : Cycle International, ENSTIM, ENSAE (Statistique), INT, TPE-EIVP.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES 1-Filière MP.
Cet énoncé comporte 6 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Dans tout ce problème l'entier n est supérieur ou égal à 1(n ≥ 1); E est un espace vectoriel complexe de dimension n. Le but de ce problème est d'étudier les applications semi-linéaires de l'espace vectoriel complexe E dans lui-même. Une application u de E dans lui-même est semi-linéaire si elle possède la propriété suivante :
Pour tout scalaire a et tout couple de vecteurs x et y de l'espace vectoriel E la relation ci-dessous est vérifiée :
u(ax + y) = a¯u(x) + u(y).
Le nombre complexe a¯ est le nombre complexe conjugué de a.
Un nombre complexe μ est une valeur co-propre de l'application semi-linéaire u s'il existe un vecteur x différent de 0 tel que la relation ci-dessous soit vérifiée :
u(x) = μx.
Le vecteur x est un vecteur co-propre associé à la valeur co-propre μ.

Première partie

Le but de cette partie est d'étudier, pour une application semi-linéaire u donnée, les valeurs et vecteurs co-propres.

I-1. Premières propriétés.

Soit u une application semi-linéaire de l'espace vectoriel E.
a. Démontrer qu'étant donné un vecteur x, différent de 0 , appartenant à l'espace E, il existe au plus un nombre complexe μ tel que la relation u(x) = μx ait lieu.
b. Démontrer que, si le nombre complexe μ est une valeur co-propre de l'application semi-linéaire u, pour tout réel θ, le nombre complexe μe^(iθ) est encore valeur co-propre de l'application semi-linéaire u. Exprimer un vecteur co-propre associé à la valeur co-propre μe^(iθ) en fonction d'un vecteur co-propre x associé à la valeur co-propre μ et du réel θ.
c. Étant donnée une valeur co-propre μ de l'application semi-linéaire u, soit E_μ l'ensemble des vecteurs x de l'espace vectoriel E qui vérifient la relation u(x) = μx :
E_μ = {x ∈ E|u(x) = μx}
Est-ce que l'ensemble E_μ est un espace vectoriel complexe ? réel ?
d. Étant données deux applications semi-linéaires u et v, étudier la linéarité de l’application composée u ∘ v.

I-2. Matrice associée à une application semi-linéaire :

Soit u une application semi-linéaire de l'espace vectoriel E; soit (e_i)_(1 ≤ i ≤ n) une base de l'espace vectoriel E. À un vecteur x, de coordonnées x_1, x_2, …, x_n est associée une matrice-colonne X d'éléments x_1, x_2, …, x_n, appelée (abusivement) vecteur.
a. Démontrer qu'à l'application semi-linéaire u est associée dans la base (e_i)_(1 ≤ i ≤ n) de E une matrice A, carrée, complexe, d'ordre n, telle que la relation y = u(x) s'écrive :
Y = A ⋅ X¯
La matrice-colonne X¯ est la matrice complexe conjuguée de la matrice-colonne X.
b. Soient A et B les matrices associées à une même application semi-linéaire u dans les bases (e_i)_(1 ≤ i ≤ n) et (f_i)_(1 ≤ i ≤ n) respectivement. Soit S la matrice de passage de la base (e_i)_(1 ≤ i ≤ n) à la base (f_i)_(1 ≤ i ≤ n). Exprimer la matrice B en fonction des matrices A et S.
Étant donnée une matrice carrée A, complexe, d'ordre n, le vecteur X, différent de 0 , ( X ≠ 0 ) est un vecteur co-propre de la matrice carrée A, associé à la valeur co-propre μ, si le vecteur X et le nombre complexe μ vérifient la relation matricielle ci-dessous :
A ⋅ X¯ = μX
Dans la suite toutes les matrices considérées sont des matrices carrées complexes.

I-3. Exemples :

a. Soit A la matrice d'ordre 2 définie par la relation suivante : A = (0, − 1; 1, 0). Rechercher les valeurs co-propres μ et les vecteurs co-propres X = (a/b) associés.
b. Démontrer que, si une matrice A est réelle et admet une valeur propre réelle λ, cette matrice a au moins une valeur co-propre.
I-4. Correspondance entre les valeurs co-propres de la matrice A et les valeurs propres de la matrice A.A¯ :
Soit A une matrice carrée complexe d'ordre n.
a. Démontrer que, si le scalaire μ est une valeur co-propre de la matrice A, le nombre réel |μ|^2 est une valeur propre de la matrice A.A¯.
b. Soit λ une valeur propre positive ou nulle ( λ ≥ 0 ) de la matrice A ⋅ A¯ et X un vecteur propre associé :
A ⋅ A¯ ⋅ X = λX.
Démontrer que le réel √λ est une valeur co-propre de la matrice A en envisageant les deux cas suivants :
i. les vecteurs A.X¯ et X sont liés ;
ii. les vecteurs A ⋅ X¯ et X sont indépendants ;
c. En déduire que, pour que le réel positif ou nul μ soit valeur co-propre de la matrice A, il faut et il suffit que le réel μ^2 soit valeur propre de la matrice A ⋅ A¯.
I-5. Cas d'une matrice triangulaire supérieure :
Dans cette question la matrice A est une matrice triangulaire supérieure (les éléments situés en-dessous de la diagonale principale sont nuls).
a. Démontrer que, si λ est une valeur propre de la matrice A, pour tout réel θ, le nombre complexe λe^(iθ) est une valeur co-propre de la matrice A.
b. Démontrer que, si μ est une valeur co-propre de la matrice A, il existe un réel θ tel que le nombre complexe μe^(iθ) soit valeur propre de la matrice A.
c. Soit A la matrice définie par la relation ci-dessous :
A = (i, 1; 0, i)
Démontrer que le réel 1 est valeur co-propre de cette matrice et déterminer un vecteur X co-propre associé. Poser : X = ((a + ib)/(c + id)).

I-6. Une caractérisation des valeurs co-propres :

Soit A une matrice carrée complexe d'ordre n; soient B et C les matrices réelles définies par
la relation suivante :
A = B + iC
Démontrer que le nombre complexe μ est valeur co-propre de la matrice A si et seulement si le nombre réel |μ| est une valeur propre de la matrice D, carrée réelle d’ordre 2n, définie par blocs par la relation suivante :
D = (B, C; C, − B).

Seconde partie

Étant données deux matrices carrées complexes A et B d'ordre n, s'il existe une matrice carrée complexe S d'ordre n inversible ( S ∈ GL_n(C) ) telle que la relation
B = S ⋅ A ⋅ S¯^(− 1)
soit vérifiée, les deux matrices A et B sont dites co-semblables. Si une matrice A est co-semblable à une matrice diagonale, la matrice A est dite co-diagonalisable. Le but de cette partie est de rechercher à quelles conditions une matrice est co-diagonalisable.

II-1. Une relation d'équivalence :

Étant données deux matrices carrées complexes A et B d'ordre n, ces matrices sont dites satisfaire la relation ≈ si et seulement si ces deux matrices sont co-semblables :
A ≈ B ⇔ ∃S ∈ GL_n(C) : B = S ⋅ A ⋅ S¯^(− 1).
Démontrer que la relation ≈ est une relation d'équivalence dans l'ensemble des matrices carrées complexes d'ordre n.

II-2. Indépendance des vecteurs co-propres :

Soit A une matrice carrée complexe d'ordre n, soient X_1, X_2, …, X_k, k vecteurs co-propres de la matrice A associés à des valeurs co-propres μ_1, μ_2, …, μ_k; l'entier k est inférieur ou égal à l'entier n(k ≤ n).
Démontrer que, si les valeurs co-propres μ_p, p = 1, 2, …, k ont des modules différents les uns des autres ( p ≠ q ⇒ |μ_p| ≠ |μ_q| ), la famille ( X_1, X_2, …, X_k ) est libre.
En déduire que, si la matrice A ⋅ A¯ a n valeurs propres λ_p, p = 1, 2, …, n, positives ou nulles, ( λ_p ≥ 0 ), distinctes les unes des autres ( p ≠ q ⇒ λ_p ≠ λ_q ), la matrice A est co-diagonalisable.

II-3. Quelques propriétés :

a. Soit S une matrice carrée complexe d'ordre n inversible ( S ∈ GL_n(C) ) ; soit A la matrice définie par la relation
A = S.S¯^(− 1).
Calculer la matrice produit A.A¯.
b. Soit A une matrice carrée complexe d'ordre n telle que
A ⋅ A¯ = I_n,
démontrer qu'il existe au moins un réel θ tel que la matrice S(θ) définie par la relation ci-dessous
S(θ) = e^(iθ)A + e^(− iθ)I_n,
soit inversible. Calculer, en donnant au réel θ cette valeur, la matrice A ⋅ S(θ)^–; en déduire la matrice S(θ) ⋅ S(θ)^–^(− 1).

II-4. Une condition nécessaire :

Soit A une matrice d'ordre n co-diagonalisable. Il existe par suite une matrice S inversible telle que la matrice S^(− 1).A.S¯ soit diagonale. Démontrer que la matrice A.A¯ est diagonalisable, que ses valeurs propres sont positives ou nulles et que le rang de la matrice A est égal au rang de la matrice A.A¯.

II-5. Une condition suffisante :

Soit A une matrice carrée complexe d'ordre n qui vérifie les trois propriétés suivantes:
i. la matrice A.A¯ est diagonalisable,
ii. les valeurs propres de la matrice A.A¯ sont positives ou nulles,
iii. le rang de la matrice A est égal au rang de la matrice A ⋅ A¯.
Soient λ_1, λ_2, …, λ_k, les valeurs propres, deux à deux distinctes, de la matrice A.A¯; elles sont positives et ordonnées de façon qu'elles vérifient la relation suivante :
λ_1 > λ_2 > … > λ_k ≥ 0.
Les valeurs propres λ_1, λ_2, …, λ_k ont respectivement les multiplicités n_1, n_2, …, n_k. Soit I_p la matrice identité d'ordre p. Une matrice diagonale Λ, semblable à la matrice A.A¯, s'écrit par blocs avec les conventions précédentes sous la forme suivante :
Λ = (λ_1 I_(n_1), 0, …, 0; 0, λ_2 I_(n_2), …, 0; …, …, …, …; 0, 0, …, λ_k I_(n_k)).
Par hypothèse il existe une matrice S inversible telle que
A ⋅ A¯ = S ⋅ Λ ⋅ S^(− 1).
Soit B la matrice définie par la relation suivante :
B = S^(− 1) ⋅ A.S¯.
a. Démontrer les relations :
B ⋅ B¯ = B¯ ⋅ B; B ⋅ Λ = Λ ⋅ B.
b. Démontrer que la matrice B s'écrit par blocs sous la forme ci-dessous ; dans cette expression chaque matrice B_p est une matrice d'ordre n_p :
B = (B_1, 0, …, 0; 0, B_2, …, 0; …, …, …, …; 0, 0, …, B_k)
c. Démontrer qu'il existe une matrice inversible P et une matrice diagonale Δ d'ordre n telles que la relation ci-dessous ait lieu:
B = P ⋅ Δ ⋅ P¯^(− 1)
En déduire que toute matrice vérifiant les hypothèses i, ii et iii est co-diagonalisable.

II-6. Exemples:

a. Soit A une matrice symétrique réelle d'ordre n; est-elle co-diagonalisable ?
b. Soient A, B, C et D les matrices d'ordre 2 suivantes :
A = (i, 1; 0, i), B = (1, − 1; 1, 1),; C = (0, 1; 0, 0), D = (1, i; i, 1).
Est-ce que ces matrices sont diagonalisables ? co-diagonalisables ?

FIN DU PROBLÈME

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet Mines mathématiques 1 MP 2001 ?
Afficher ou masquer la section

Sur quels chapitres porte le sujet Mines mathématiques 1 MP 2001 ?

Il porte sur l'algèbre linéaire, en particulier les applications semi-linéaires, le calcul matriciel et la réduction des endomorphismes en dimension complexe.

Le sujet Mines maths 1 MP 2001 est-il difficile ?

Le jury le décrit comme très long, personne ne le traitant en totalité, ce qui en fait un sujet très discriminant.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet Mines maths 1 MP 2001 ?

Le jury relève des résultats donnés sans démonstration, des vecteurs propres supposés non nuls sans le préciser, et une confusion entre matrices semblables et matrices équivalentes.

Ce sujet Mines mathématiques 1 MP 2001 est-il faisable en entier ?

Non, le jury indique que le problème est très long et que personne ne le traite en totalité, même les meilleurs candidats.

Pas de description pour le moment