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Mines Physique 1 MP 2001Sujet et rapport du jury

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  • Mécanique du point
  • Interaction gravitationnelle
  • Résistance de l'air
  • Gaz parfait : évolutions isotherme et polytropique
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Présentation du sujet

Difficile
De la Terre à la Lune : mécanique du point et gravitation à partir d'un texte de Jules Verne
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Le sujet part d'un extrait de Jules Verne pour étudier le trajet d'un boulet envoyé de la Terre vers la Lune par un canon. Il enchaîne mécanique du point, gravitation à deux puis trois corps, frottement de l'air et thermodynamique des gaz du canon, en plusieurs parties indépendantes.

  1. 1A. PréliminairesRelier la pesanteur terrestre à la constante de gravitation et calculer la période de révolution de la Lune.
  2. 2B. En négligeant la gravitation lunaireÉtudier la vitesse de libération d'un boulet lancé verticalement et intégrer l'équation différentielle de son mouvement.
  3. 3C. Avec la gravitation lunaireDéterminer le point d'équigravité entre Terre et Lune et discuter le modèle de la sphère d'influence.
  4. 4D. Résistance de l'airModéliser le freinage du boulet par l'atmosphère et estimer son échauffement et son ablation.
  5. 5E. Canon et poudreDimensionner le canon à partir de la détente d'un gaz de poudre isotherme puis polytropique.
  6. 6F. Retour sur la sphère d'influenceGénéraliser le problème à trois corps et comparer les perturbations relatives de la Terre et de la Lune.

Difficile. Le rapport signale un nombre anormalement important de très mauvaises copies et des lacunes de première année chez de trop nombreux candidats.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Loi de Kepler mal utilisée · Confusion entre énergies potentielles · Équation différentielle non simplifiée
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Le jury a été surpris par la proportion de copies très mauvaises, avec des acquis de première année étonnamment absents chez de nombreux candidats. Les calculs numériques ont souvent été faussés par des unités incohérentes, alors que l'énoncé permettait de vérifier les résultats.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Loi de Kepler mal utiliséeQ1

    De nombreux candidats ont utilisé une loi de Kepler inexacte au lieu de retrouver simplement la période, alors que les données de fin d'énoncé permettaient de vérifier le calcul.

    « de nombreux candidats ont utilisé une loi de Kepler inexacte au lieu de retrouver très simplement la période »
  2. 2
    Confusion entre énergies potentiellesQ2

    30% des candidats ont confondu énergie potentielle de gravitation et énergie potentielle de pesanteur.

    « 30% des candidats ont confondu énergie potentielle de gravitation et énergie potentielle de pesanteur »
  3. 3
    Équation différentielle non simplifiéeQ5, Q6, Q7

    Faute d'avoir substitué V(D) par son expression littérale, la forme obtenue était inutilement compliquée.

  4. 4
    Point d'équigravité confondu avec le barycentreQ9

    Les candidats ont confondu le point d'équigravité et le barycentre des masses du système Terre-Lune.

    « les candidats ont confondu point d'équigravité et barycentre des masses »
  5. 5
    Intégration des équations différentielles ratéeQ11 à Q16

    L'intégration n'a pas été réussie par de trop nombreux candidats, certains confondant intégration par rapport à t et par rapport à y.

  6. 6
    Questions faciles délaisséesQ19, Q20

    Les questions 19 et 20, pourtant faciles, n'ont pas été abordées par de nombreux candidats malgré leur simplicité.

    « les questions 19 et 20, pourtant faciles, n'ont pas été abordées »

Ce qui a été bien réussi

  • 20% des candidats ont abordé correctement les questions sur l'équation différentielle du mouvement (questions 5 à 7).
  • Certains candidats ont appliqué avec succès le théorème de l'énergie cinétique pour intégrer les équations différentielles (questions 11 à 20).
  • Le calcul élémentaire de la question 21 a été traité correctement par ceux qui l'ont abordé.

Conseils du jury

  • Lire l'énoncé dans son entier et repérer les questions faciles et indépendantes, car chaque question rapporte des points.
  • Faire preuve d'esprit critique sur ses résultats lorsque plusieurs questions se recoupent.
  • Ne pas retenir les formules par cœur, la mémoire pouvant faire défaut.
  • Faire attention à l'emploi cohérent des unités dans les calculs.
  • Écrire les résultats numériques avec un nombre raisonnable de chiffres significatifs.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF

A 2001 PHYS. MP I

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE, ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI)

CONCOURS D'ADMISSION 2001

PREMIÈRE ÉPREUVE DE PHYSIQUE

Filière MP

(Durée de l'épreuve : 3 heures; l'usage de la calculatrice est autorisé)
Sujet mis à disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, INT, TPE-EIVP.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
Physique I - Filière MP
Cet énoncé comporte 7 pages de texte.
  • Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
  • Tout résultat fourni dans l'énoncé peut être utilisé.
  • Il ne faudra pas hésiter à formuler tout commentaire qui vous semblera pertinent, même lorsque l'énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie.
  • Par convention typographique, les vecteurs sont en gras et leur norme en italique : |V‖ = V.

DE LA TERRE À LA LUNE

Une odyssée problématique de l'espace

Certaines affirmations des œuvres de Jules VERNE traduisent de façon romanesque des données scientifiques, ou des hypothèses d'une grande modernité. Dans cette épreuve, on s'intéresse à quel-ques-unes des péripéties du roman De la Terre à la Lune où, à l'initiative de son président BARBICANE, se forge et se réalise au sein du Gun Club de Baltimore le projet d'envoyer un objet sur la Lune, à l'aide d'un canon.. L'épreuve comprend plusieurs parties indépendantes les unes des autres, et que l'on pourra traiter dans l'ordre de son choix. Dans ce problème, exprimer signifie donner l'expression littérale et calculer signifie donner la valeur numérique.
Dans tout le problème, on néglige la rotation propre de la Terre et celle de la Lune. La Lune est supposée suivre une orbite circulaire autour du centre de la Terre.

Principales notations et valeurs numériques (voir d'autres valeurs en fin d'énoncé)

Rayon de l'orbite de la Lune autour du centre de la Terre d = 384000 km.
Intensité du champ de pesanteur terrestre g = 9, 81 m.s^(− 2).
Constante de gravitation G = 6, 67 × 10^(− 11) N ⋅ m^2 ⋅ kg^(− 2).
Masse de la Terre M_T = 5, 97 × 10^(24) kg.
masse de la Lune m = 0, 0735 × 10^(24) kg on adoptera la valeur : m/(M_T) = ε^2 = 1/(81)
rayon de la Terre R_T = 6378 km
rayon de la Lune r = 1736, 6 km
Dans la suite du problème, on pourra introduire les périodes de révolution T_T(ℓ) dans le champ gravitationnel de la Terre, à la distance ℓ du centre de la Terre et T_L(z) période de révolution dans le champ gravitationnel de la Lune, à la distance z du centre de la Lune.

A. Préliminaires

◻1 - Exprimer g en fonction de G, M_T et R_T. Exprimer T_T(d), période du mouvement lunaire autour de la Terre en fonction de G, M_T et d, puis en fonction de g, R_T et (R_T)/d. Calculer T_T(d).

B. En négligeant la gravitation lunaire

Dans cette partie, on néglige l'attraction lunaire. Un boulet de masse μ est envoyé de la surface terrestre vers l'espace. On note x sa distance au centre de la Terre et v = (dx)/(dt) sa vitesse ^1. Le boulet est lancé à la verticale ; on suppose la trajectoire rectiligne et le boulet soumis uniquement à l'attraction terrestre.
◻2 - Exprimer l'énergie mécanique totale du boulet en fonction de g, x et R_T.
◻3 - Exprimer et calculer en fonction de g et de R_T la vitesse de libération V_∞, vitesse initiale minimale nécessaire pour atteindre l'infini.
◻4 - Exprimer et calculer en fonction de g, R_T et D la vitesse initiale minimale V(D) nécessaire pour atteindre un point D situé à la distance D du centre de la Terre. Vérifier le résultat pour D = R_T et pour D infini.
5- Exprimer la conservation de l'énergie mécanique du boulet avec la condition initiale v(0) = V(D). Le résultat se lit comme une équation différentielle. Poser dans cette équation x(t) = Dsin^2[ψ(t)] et trouver la solution sous la forme t = T_T(D)f(ψ). Exprimer la valeur initiale ψ_0 = ψ(0) en fonction de R_T et de D. Dans la suite, on utilisera la fonction χ(ψ) = ψ − 1/2sin(2ψ) χ(ψ) ≈ 2/3ψ^3 pour |ψ|≪π.
◻6 - Exprimer, en fonction de ψ_0 et de T_T(D), le temps τ(D) mis pour atteindre le point D .
◻7 - La destination du boulet a beau être la surface lunaire, on lance ce dernier avec la vitesse initiale V(d), comme si l'on voulait lui faire atteindre le centre de la Lune avec
une vitesse nulle. Établir alors l'expression approchée suivante de la durée z_1 du trajet :
τ_1 = (T_T(d))/(4√2)1 − 4/πr/d^(1/2) − 4/(3π)(R_T)/d^(3/2).
Calculer z_1. Exprimer et calculer la vitesse du boulet au point d'impact sur la Lune.
◻8 - Il n'est évidemment pas question de pointer le canon vers la Lune! En s'appuyant sur la question 7 , exprimer et calculer l'angle ε_1 que doit faire, au moment du tir, l'axe Terre-Lune avec la ligne de tir, supposée verticale. Jules VERNE donne ε_1 = 64^∘.

C. Avec la gravitation lunaire

Problème statique : position d'équilibre d'un point sur l'axe Terre-Lune

Fig. 1 : notations pour le système Terre-Lune
◻9 - Exprimer et calculer en fonction de d, M_T et de la masse m de la Lune, la position du point d'équigravité E situé sur l'axe Terre-Lune (fig. 1). On note ξ sa distance au centre de la Terre. Montrer que, si le boulet atteint ce point, il atteint la Lune. BARBICANE considère que ce point est un point d'équilibre du système Terre-Lune ; est-ce vrai, d'un point de vue dynamique?
10 − On veut une expression de la vitesse V(ξ), tenant compte de l'attraction lunaire, et donc plus précise que celle que l'on obtiendrait, à la question 4, pour D = ξ. BARBICANE affirme : Avant une demi-heure, je veux avoir trouvé la formule demandée... Effectivement, il propose peu après la formule suivante, donnant la vitesse v à la distance x du centre de la Terre, pour une vitesse initiale v_0 :
1/2(v^2 − v_0^2) = gR_T(R_T)/x − 1 + m/(M_T)_()_(ε^2)(R_T)/(d − x) − (R_T)/(d − R_T).
Le résultat de BARBICANE est-il correct ? L'ingénieur NICHOLL l'identifie comme «l'intégrale de l'équation des forces vives». Donner une interprétation plus moderne, indiquer l’ordre de grandeur de chacun des termes. Exprimer et calculer V(ξ) nécessaire pour atteindre le point d'équigravité.
◻11 - Le modèle de la sphère d'influence (SI) stipule que pour R_T ≤ x < ξ, seule intervient l'attraction terrestre ; au-delà, seule intervient l'attraction lunaire. La sphère centrée sur la Terre et de rayon ξ est la sphère d'influence de la Terre par rapport à la Lune. Une sonde spatiale est dans la sphère d'influence de la Terre par rapport au Soleil si la force
gravitationnelle de la Terre est plus importante que celle du Soleil. Calculer le rayon de la sphère d'influence de la Terre par rapport au Soleil ; la masse du Soleil est de 2, 0 × 10^(30) kg et la distance moyenne de la Terre au Soleil est de 1, 5 × 10^8 km. Selon ce modèle, la Lune serait-elle un astéroïde terrestre ou solaire?
12 - On maintient cependant le modèle SI de la question 11... La vitesse initiale du boulet est maintenant V(ξ). Sans faire le calcul, et en s'appuyant sur les résultats précédents, indiquer comment l'on pourrait exprimer dans ces conditions la durée ı_2^(du) trajet Terre-Lune. Il sera utile de considérer l'invariance des équations de la mécanique par renversement du temps, t → ¬.

D. Résistance de l'air

Un modèle fruste

13 - On néglige la pesanteur terrestre. On note Y(Y = 20 km) l'épaisseur de l'atmosphère, μ(μ = 10^4 kg) la masse du boulet, v_0 sa vitesse initiale, V_Y sa vitesse au sommet de l'atmosphère, et R = − kvv(k = 0, 1 kg ⋅ m^(− 1)) la force de résistance de l'air. Cette force est opposée à la vitesse et sa norme est R = kv^2. Exprimer et calculer le rapport (V_Y)/(v_0). Comparer votre résultat à celui de BARBICANE : (V_Y)/(v_0) = 2/3. Était-il cohérent de négliger la pesanteur?

Un modèle moins fruste

La résistance de l'air dépend de la densité de ce dernier et par suite de l'altitude y audessus de la surface terrestre. Selon un modèle standard d'atmosphère, la masse volumique de l'air suit la loi ω(y) = ω(0)exp(− qy). Nous adopterons l'expression R = Av^2 exp(− qy), avec A = 0, 6 kg ⋅ m^(− 1) (correspondant à la masse volumique au sol de ω(0) = 1, 255 kg ⋅ m^(− 3) ) et q = 1, 4 × 10^(− 4) m^(− 1). Pour le calcul de V_Y, on continue de négliger la pesanteur.
14 - Exprimer la vitesse du boulet en fonction de y. Quelle doit être la vitesse à la sortie du canon pour que le boulet atteigne la vitesse de libération V_∞ (cf. question 3) à la sortie de l'atmosphère terrestre?
15 - Dans ces conditions, exprimer et estimer un ordre de grandeur de l'échauffement du boulet si un pourcentage η = 5% du travail de la force résistante est transformé en énergie thermique. Exprimée en J.kg^(− 1).K^(− 1) la capacité thermique massique du boulet dépend de sa température T selon la loi c(T) = 5 × 10^(− −/)T.
◻16 - Une méthode de protection contre cet échauffement consiste à recouvrir le boulet d'un matériau réfractaire («bouclier protecteur»), capable de se vaporiser en absorbant une grande quantité d'énergie : c'est le phénomène d'ablation. Justifier que, pendant le temps dt, la variation de masse dm du bouclier protecteur est λdm = − ηRv dt, où λ est la chaleur massique d'ablation du matériau ; typiquement, λ ≈ 25 × 10^6 J. kg^(− 1).
Écrire le système différentiel reliant à l'instant t et à l'altitude y, la masse m et la vitesse v du boulet.
Remarque : L'intégration du système différentiel ci-dessus, qui n'est absolument pas demandée, montre que, à la sortie de l'atmosphère, le boulet aura perdu une fraction importante de sa masse initiale, peut-être de l’ordre du tiers.

E. Canon et poudre

Fig. 2 : canon, poudre et «boulet» (cf.question 21)
Le canon (fig. 2) est cylindrique à base circulaire, d'aire transverse S = 10 m^2 et de longueur X. La poudre est stockée sur une longueur X_0, sa masse volumique est ρ = 2 × 10^3 kg ⋅ m^(− 3). L'explosion produit un gaz de masse molaire M_a = 20 g, à la température T. On note R la constante des gaz parfaits, R = 8, 31 J.K^(− 1).
◻17 - En admettant que la masse du gaz est égale à celle de la poudre, exprimer le nombre N de moles gazeuses en fonction de C, M_a, S et X_0.
◻18 - On tente l'hypothèse que le gaz est parfait et que son évolution est isotherme. Écrire alors l'équation du mouvement du boulet (de masse μ ) et exprimer la relation entre X et X_0 pour que la vitesse de sortie du boulet ait une valeur W donnée.
◻19 - Quelle relation doit relier X_0 et la longueur totale du canon, X, pour que cette dernière soit minimale ? Application numérique : W = 3/2V_∞, μ = 10^4 kg et T = 2000 K; calculer X et X_0.
20 - Reprendre les deux questions précédentes, sous l'hypothèse d'une évolution polytropique d'un gaz parfait, où pression P et volume V sont liés par PV^α = C^(te). Pour l'application numérique, on prendra a = 2, 0. Avec un modèle légèrement différent, les résultats de BARBICANE sont X = 297 m et X_0 = 66 m.
◻21 - Le boulet dans le canon est en réalité une capsule cylindro-conique à l'intérieur de laquelle trois explorateurs de l'espace et deux chiens ont pris place. Le parcours d'accélération est X_a = X − X_0 ≈ 230 m. On définit l'accélération moyenne comme l'accélération constante a qui donne à la sortie du canon la vitesse v_0 = 17000 m.s^(− 1). Calculer a. À titre documentaire, la plus grande accélération à laquelle un être humain standard puisse résister est a_(max) ≈ 10 g; peut-on espérer des dispositifs ou des équipements permettant de survivre à l'effarante accélération a ?

F. Retour sur la sphère d'influence

Selon les considérations de la question 11, la Lune devrait être un satellite du Soleil. On cherche donc une meilleure partition de l'espace que celle que l'on peut déduire en s’appuyant sur le point d'équigravité.

Formulations générales

On considère (fig. 3) n objets ponctuels en interaction gravitationnelle, de masses respectives m_i et de positions R_i par rapport à un point d'accélération nulle dans le référentiel galiléen. L'équation du mouvement de l'objet i est m_i(d^2 R_i)/(dt^2) = G∑_(j = 1, j ≠ i)^(j = n)(m_i m_j)/(r_(ij)^3)r_(ij), avec r_(ij) = R_j − R_i; le vecteur r_(ij) pointe vers l'objet « j ». On nomme « 1 » l'objet de référence
Fig. 3 : notations
(par exemple la Terre) et l'on étudie le mouvement de l'objet « i » (par exemple le boulet) autour de l’objet « 1 ». La trajectoire de l'objet étudié est perturbée par la présence des objets « j » (par exemple la Lune) ; il s'agit d'évaluer cette perturbation.
  • 22 - Le système considéré est constitué de la Terre ( M_T, R_T ), de la Lune ( m, R_L ) et du boulet B(μ, R_B). En considérant les trois équations vectorielles du mouvement, établir et commenter l'équation, donnée ci-dessous, du mouvement du boulet par rapport à la Terre (les notations sont transparentes). Cette équation montre la perturbation de la Lune, notée P_L, sur une trajectoire géocentrique.
(d^2 r_(TB))/(dt^2) + (G(M_T + μ))/((r_(TB))^3)r_(TB)_()_(A_T) = − Gm(r_(LB))/((r_(LB))^3) + (r_(TL))/((r_(TL))^3)_()_(P_L).
23 - Établir l’équation du mouvement du boulet par rapport à la Lune sous la forme
(d^2 r_(LB))/(dt^2) + A_L = P_T.
Fig. 4 : G_L (en trait plein) et F_T (en tireté) en fonction de u = x/d
◻24 - Les rapports
ρ_T = (P_T)/(A_L) et ρ_L = (P_L)/(A_T)
calibrent les perturbations relatives d'un astre sur l'autre. Revenant à la situation particulière où Terre, boulet et Lune sont alignés, exprimer γ_T et γ_L en fonction de u = x/d et de ε = √(m/(M_T)); la fig. 4 montre
l'allure des résultats. Vérifier la relation ρ_T(u, ε^2) = ρ_L 1 − u, 1/(ε^2). Que valent ces rapports au point d'équigravité ?

Critère de Lagrange pour le problème à trois corps

◻25 - Selon LAGRANGE, la séparatrice (surface de part et d'autre de laquelle, pour le mouvement du mobile, on néglige l'influence de l'un des deux astres) est déterminée par l'équation γ_T = γ_L. TISSERAND a montré que la séparatrice est sphéroïdale et que, dans le cas du système Terre-Lune, le rayon de la sphère d'influence de la Lune est r_I(L) = m/(M_T)^(2/5)d. Considérant la figure 3, le résultat de TISSERAND est-il vérifié ?
Quelques données supplémentaires (à confronter, éventuellement, à vos résultats)
V_∞(km.s^(− 1)) Période orbitale (jour) Période rotation (jour) Excentricité orbite
Terre 11, 2 365, 25 1 0, 016
Lune 2,38 27,32 27,32 0, 055

Fin du problème Fin de l'épreuve

  1. ^1 Le symbole v est la lettre « V », en italique (comme dans voir) et non pas le ν(nu) grec.

Questions fréquentes

3 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de Physique 1 Mines MP 2001 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de Physique 1 Mines MP 2001 ?

Le sujet, construit autour d'un extrait de Jules Verne, porte principalement sur la mécanique du point et la gravitation, avec des parties sur la résistance de l'air et la thermodynamique des gaz du canon.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet ?

Le jury a surtout relevé des erreurs d'unités, une confusion entre énergie potentielle de gravitation et de pesanteur, et une intégration ratée des équations différentielles du mouvement.

Ce sujet Mines Physique 1 MP 2001 est-il difficile ?

Le rapport signale un nombre anormalement important de très mauvaises copies et des lacunes de première année, ce qui en fait un sujet exigeant sur les bases.

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