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Mines Mathématiques 2 MP 2000Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficile
Démonstration de l'irrationalité de ln 2 par séries entières et équations différentielles
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Le problème construit pas à pas, à l'aide de séries entières et d'équations différentielles, deux suites de coefficients dont le rapport converge vers ln2/2. L'étude d'un équivalent asymptotique de ces coefficients et une majoration diophantienne permettent, en fin de problème, de démontrer que ln 2 est irrationnel.

  1. 11 à 3 : construction des fonctions h, Mp et fRayon de convergence et équation différentielle de la fonction h, développement en série entière des fonctions Mp, puis construction de f comme somme d'une série de fonctions liée à h.
  2. 24 à 6 : fonction g et détermination de la limite λConstruction de g par une relation de récurrence sur ses coefficients, étude de la convergence de la suite (bn/an) vers une limite λ, puis calcul de λ = ln2/2 à l'aide d'une intégrale admise.
  3. 37 et 8 : équivalent asymptotique et irrationalité de ln 2Recherche d'un équivalent du coefficient an à l'infini, puis démonstration finale, par une majoration diophantienne, que le réel ln 2 est irrationnel.

Difficile. Le rapport déplore beaucoup de raisonnements peu rigoureux et de calculs erronés, et note que la longueur du problème a empêché beaucoup de candidats d'aborder les dernières questions.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Intégration de l'équation différentielle peu rigoureuse · Confusion entre développement limité et développement en série entière · Confusion entre signe et racines d'un trinôme
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Le sujet, qui laissait le candidat assez libre dans ses réponses, a permis aux meilleurs de briller dès lors qu'ils menaient un calcul ou un raisonnement jusqu'au bout. Le jury déplore en revanche de nombreux raisonnements peu rigoureux, des calculs erronés et un manque d'esprit critique face à des résultats aberrants, comme un rayon de convergence infini pour une fonction pourtant non définie partout.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Intégration de l'équation différentielle peu rigoureuse1-c

    De nombreux résultats sont donnés sans justification et sans que la constante d'intégration soit déterminée.

    « Beaucoup d'erreurs ont été relevées dans l'intégration de l'équation différentielle »
  2. 2
    Confusion entre développement limité et développement en série entière2

    Le rapport rappelle qu'il ne faut pas confondre ces deux notions, et qu'une fonction de classe C∞ n'admet pas nécessairement un développement en série entière.

    « il ne faut pas confondre développement limité et développement en série entière »
  3. 3
    Confusion entre signe et racines d'un trinôme3-a

    Cette confusion élémentaire, pourtant classique, est encore relevée par le jury cette année.

    « Il est anormal de confondre encore »
  4. 4
    g supposée vérifier la même équation différentielle que f4-a

    Certains candidats établissent une équation différentielle pour g sans même avoir réussi à établir celle de f, alors que les deux fonctions ne vérifient pas la même équation.

    « Attention : g ne vérifie pas la même équation différentielle que f »
  5. 5
    Question d'arithmétique élémentaire rarement réussie4-d

    Cette question, pourtant de niveau élémentaire, n'a été que rarement traitée correctement.

    « Cette question d'arithmétique élémentaire n'a été que rarement traitée correctement »
  6. 6
    Erreurs d'énoncé invoquées à tort

    Le jury conseille aux candidats de rester circonspects avant de conclure hâtivement à une erreur d'énoncé, car cela est rarement le cas.

    « il serait sage de la part des candidats de se montrer très circonspects »

Ce qui a été bien réussi

  • La question 1-a, application simple du critère de d'Alembert, a été plutôt bien traitée.
  • Les questions 7-b et 7-c, sur l'étude de la suite (wn), ont été en général bien traitées.
  • Les très bons candidats ont réussi à mener à bien la fin du problème.

Conseils du jury

  • Affiner la précision des raisonnements et jouer la carte de l'honnêteté, toujours payante.
  • Faire des calculs justes sans calculatrice et tenir compte des indications fournies par l'énoncé.
  • Corriger les anomalies résultant de ses propres calculs plutôt que de les ignorer.
  • Soigner la présentation et l'orthographe de la copie.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE, ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI).
CONCOURS D’ADMISSION 2000

MATHÉMATIQUES

DEUXIÈME ÉPREUVE FILIÈRE MP
(Durée de l'épreuve : 4 heures)

Sujet mis à la disposition des concours : ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, TPE-EIVP.

L'emploi de la calculette est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon très apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES II - MP.
L'énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière MP, comporte 6 pages.
Si un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Le but de ce problème est d'établir que le réel ln2 est irrationnel.

1. Fonction h :

Soit la série entière de terme général u_n(x), n = 0, 1, 2, … définie par la relation suivante :
u_n(x) = C_(2n)^n x^n
Rappel : pour tout entier strictement positif n et tout entier naturel p tel que 0 ≤ p ≤ n, C_n^p = (n/p) est le cardinal de l'ensemble des parties ayant p éléments d'un ensemble de n éléments. Par convention : C_0^0 = 1.
Soit R le rayon de convergence de la série entière de terme général u_n(x); la somme h de cette série entière est la fonction définie à l'intérieur de l'intervalle ouvert ] − R, R[ par la relation :
h(x) = ∑_(n = 0)^∞C_(2n)^n x^n
a. Déterminer le rayon de convergence R de la série entière de terme général u_n(x).
b. Démontrer que, sur l'intervalle ouvert de convergence ] − R, R[, la fonction h vérifie l’équation différentielle linéaire du premier degré.
(1 − 4x)h^′(x) = 2h(x).
c. En déduire l'expression de h(x) sur l'intervalle ouvert ] − R, R[.
2. Fonctions M_p :
Soit p un entier strictement positif ( p ≥ 1 ); soit M_p la fonction définie sur la demi-droite ouverte ] − ∞, 1[ par la relation :
M_p(x) = 1/((1 − x)^p)
Déterminer le développement en série entière de la fonction M_p dans un voisinage de 0 . Exprimer le coefficient de x^k à l'aide de C_(p + k − 1)^k(= C_(p + k − 1)^(p − 1))
3. Fonction f :
Soit f la fonction définie par la relation :
f(x) = 1/(√(1 − 6x + x^2)).
a. Quel est l'ensemble de définition D_f de la fonction f ?
b. Déterminer pour quelles valeurs du réel x la relation suivante
f(x) = 1/(1 − x) ⋅ h(x/((1 − x)^2))
est vérifiée. En déduire que, dans un voisinage de 0 , la fonction f est égale à la somme d'une série de fonctions f_n, n = 0, 1, 2, …, définies par la relation :
f_n(x) = λ_n M_(2n + 1)(x)x^n.
Les λ_n sont des scalaires qui seront déterminés ; il vient par suite :
f(x) = ∑_(n = 0)^∞λ_n M_(2n + 1)(x)x^n.
c. Déduire des résultats précédents l'existence d'un développement en série entière de la fonction f dans un voisinage de 0 :
f(x) = ∑_(n = 0)^∞a_n x^n.
Exprimer chaque coefficient a_n à l'aide de la somme d'une série. Préciser le rayon de convergence de la série entière de terme général a_n x^n, n = 0, 1, 2….
d. Démontrer que la fonction f vérifie une équation différentielle linéaire du premier ordre :
a(x)f^′(x) + b(x)f(x) = 0,
dans laquelle les deux fonctions a et b sont des polynômes de degré inférieur ou égal à 2 . Les déterminer.
e. En déduire que les coefficients a_n, n = 0, 1, 2, … du développement en série entière de la fonction f vérifient, pour tout entier n supérieur ou égal à 1 , la relation de récurrence ( R ) suivante
(R) ∀n ≥ 1, (n + 1)a_(n + 1) − 3(2n + 1)a_n + na_(n − 1) = 0.
Déterminer les coefficients a_0, a_1, a_2 et a_3.

4. Fonction g :

Le but de cette question est la recherche d'une fonction g qui possède les deux propriétés :
i. les valeurs de g(0) et de g^′(0) sont données par les relations suivantes :
g(0) = 0, g^′(0) = 1.
ii. le réel g(x) est la somme d'une série entière de terme général b_n x^n, n = 0, 1, 2, dont les coefficients b_n, n = 0, 1, 2, vérifient la relation de récurrence suivante :
(R) ∀n ≥ 1, (n + 1)b_(n + 1) − 3(2n + 1)b_n + nb_(n − 1) = 0.
a. Démontrer que les coefficients b_n, n = 0, 1, 2, sont bien déterminés; calculer b_0, b_1, b_2 et b_3.
En supposant le rayon de convergence de la série entière de terme général b_n x^n, n = 0, 1, 2, strictement positif, déterminer une équation différentielle du premier ordre vérifiée par la fonction g.
b. Etablir la relation :
g(x) = f(x) ⋅ ∫_0^x f(t)dt
c. En déduire l'expression de chaque coefficient b_n au moyen des coefficients a_k, k = 0, 1, 2, .., n. En déduire une minoration du rayon de convergence de la série entière de terme général b_n x^n, n = 0, 1, 2, …
d. Soit n un entier strictement positif ; soit d_n le plus petit commun multiple des n premiers entiers 1, 2, …, n. Démontrer que le réel d_n.b_n est un entier relatif : (d_n.b_n ∈ Z)

5. Etude des suites (a_n)_(n ∈ N) et (b_n)_(n ∈ N) :

Soit (u_n)_(n = 1, 2, ..) la suite des réels définis par la relation suivante : pour tout entier n strictement positif :
u_n = b_n a_(n − 1) − b_(n − 1)a_n
a. Calculer u_1 et u_2. Exprimer, pour tout entier n supérieur ou égal à 1 , le terme u_(n + 1) en fonction de l'entier n et de u_n. Etudier le signe des réels u_n, n = 1, 2, …, et la monotonie de cette suite. Déterminer le plus petit des majorants C de cette suite.
b. Démontrer que la suite des nombres réels ((b_n)/(a_n))_(n ∈ N) est définie et strictement croissante ; déterminer, pour tout entier n strictement positif une majoration de la différence
(b_n)/(a_n) − (b_(n − 1))/(a_(n − 1))
à l'aide de la constante C et des deux réels a_n et a_(n − 1). En déduire que la suite ((b_n)/(a_n))_(n ∈ N) est convergente. Soit λ la limite de cette suite :
λ = lim_(n → ∞)(b_n)/(a_n).

6. Détermination de la limite λ :

Soit ε un réel strictement positif donné. D'après la question précédente, il existe un entier N tel que, pour tout entier n supérieur ou égal à N, le rapport b_n/a_n est encadré par λ − ε et λ + ε :
λ − ε ≤ (b_n)/(a_n) ≤ λ + ε
a. Démontrer que, lorsque le réel x tend vers 3 − √8 par valeurs inférieures, les deux fonctions f et g croissent vers l'infini.
Soient f_N, g_N, U_N et V_N les fonctions définies par les relations suivantes :
f_N(x) = ∑_(n = 0)^N a_n x^n, g_N(x) = ∑_(n = 0)^N b_n x^n, U_N(x) = f(x) − f_N(x), V_N(x) = g(x) − g_N(x).
b. Démontrer, lorsque le réel x est compris entre 0 et 3 − √8(x ∈ [0, 3 − √8[), l'encadrement suivant :
λ − ε ≤ (V_N(x))/(U_N(x)) ≤ λ + ε
c. Démontrer que, pour tout entier naturel N donné, il existe une constante A qui majore les deux fonctions f_N et g_N sur le segment [0, 3 − √8].
En déduire que la fonction x ↦ g(x)/f(x) a pour limite λ lorsque le réel x tend vers 3 − √8 par valeurs inférieures.
d. Déterminer le réel λ en admettant la relation ci-dessous :
∫_0^(3 − √8)(dx)/(√(1 − 6x + x^2)) = (ln2)/2

7. Un équivalent du réel a_n à l'infini :

Soit α un réel strictement positif donné ; soit (v_n)_(n ∈ N) la suite des réels définis par la relation suivante :
v_n = n^α ⋅ a_n.
a. Démontrer qu'il est possible de choisir le réel α et deux suites (A_n)_(n ≥ 1) et (B_n)_(n ≥ 1), qui ont chacune, lorsque l'entier n croît vers l'infini, une limite finie, tels que la suite (v_n)_(n ∈ N) vérifie, pour tout entier n supérieur ou égal à 1 , la relation de récurrence suivante
v_(n + 1) − 6v_n + v_(n − 1) = 1/(n^2)(A_n ⋅ v_n + B_n ⋅ v_(n − 1)).
b. Soit (w_n)_(n = 0, 1, 2, …) la suite qui vérifie les relations suivantes
w_0 = 0, w_1 = 3, ∀n ≥ 1, w_(n + 1) − 6w_n + w_(n − 1) = 0
Déterminer les réels w_n; en déduire un infiniment grand équivalent à w_n à l'infini.
c. En admettant que les deux réels v_n et w_n sont équivalents à l'infini, en déduire un infiniment grand équivalent à a_n lorsque l'entier n croît indéfiniment.

8. Le réel ln2 n'est pas rationnel :

Soit u le réel défini par la relation :
u = ln(3 + √8)
a. Démontrer l'existence d'un entier N_1 et d'une constante positive K_1, tels que, pour tout entier n supérieur ou égal à N_1, il vienne :
1/2K_1(e^(nu))/(√n) ≤ a_n ≤ 2K_1(e^(nu))/(√n).
b. A l'aide de la majoration démontrée à la question 5.d, établir qu'étant donné un réel a strictement compris entre 0 et 2(0 < a < 2), il existe une constante K_2, telle que, pour tout entier n supérieur ou égal à N_1, l'encadrement ci-dessous a lieu :
0 ≤ λ − (b_n)/(a_n) ≤ K_2 e^(− anu)
c. Il est admis que le nombre N(n) des nombres premiers inférieurs ou égaux à un entier n donné est un infiniment grand équivalent à n/(lnn) :
N(n) ∼ n/(lnn).
En déduire qu'il existe un entier N_2 tel que, pour tout entier n supérieur ou égal à N_2(n ≥ N_2), la relation ci-dessous ait lieu.
d_n ≤ e^(1, 1.n).
d. Soient p_n et q_n les entiers (premiers entre eux) définis par les relations suivantes:
p_n = d_n ⋅ b_n; q_n = d_n ⋅ a_n.
Démontrer l'existence d'un réel r, strictement positif, d'une constante K_3 et d'un entier N_3 tels que, pour tout entier n supérieur ou égal à N_3, l'encadrement ci-dessous ait lieu.
0 ≤ λ − (p_n)/(q_n) ≤ (K_3)/((q_n)^(r + 1))
Le résultat ci-dessous est admis :
0, 61 < u/(u + 1, 1) < 0, 62.
e. Démontrer que, si λ est rationnel, il existe une constante L, strictement positive, ne dépendant que du rationnel λ, pour laquelle l'inégalité ci-dessous est vérifiée.
|λ − (p_n)/(q_n)| ≥ L/(q_n).
f. En déduire que le réel ln 2 est irrationnel.
FIN DU PROBLÈME

Questions fréquentes

4 questions
Le sujet Mines maths 2 MP 2000 porte-t-il sur l'irrationalité de ln 2 ?
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Le sujet Mines maths 2 MP 2000 porte-t-il sur l'irrationalité de ln 2 ?

Oui, tout le problème construit des outils de séries entières et d'équations différentielles pour démontrer en conclusion que ln 2 est irrationnel.

Le sujet Mines maths 2 MP 2000 est-il difficile ?

Le jury déplore de nombreux raisonnements peu rigoureux et calculs erronés, et note que la longueur du sujet a empêché beaucoup de candidats d'aborder les dernières questions.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur Mines maths 2 MP 2000 ?

Une intégration peu rigoureuse d'équations différentielles, une confusion entre développement limité et série entière, et une confusion entre le signe et les racines d'un trinôme.

Ce sujet Mines MP maths 2 2000 nécessite-t-il de bien maîtriser les séries entières ?

Oui, l'ensemble du problème repose sur la construction et l'étude de plusieurs fonctions définies par des séries entières et leurs équations différentielles associées.

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