L'extinction des dinosaures par impact cométaire et ondes électromagnétiques guidées en surface
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L'épreuve comporte deux problèmes totalement indépendants. Le premier étudie l'hypothèse de l'impact d'une comète comme cause de l'extinction des dinosaures, en mobilisant la mécanique du point (mouvement képlérien) et la thermodynamique (bilans d'énergie, changement d'état, rayonnement). Le second, plus classique, étudie la propagation d'ondes électromagnétiques guidées à la surface d'une couche isolante prise entre le vide et un métal parfait.
1Problème 1, Partie 1 : Les mouvements cométairesÉtude du mouvement képlérien d'une comète autour du Soleil, à l'aide des lois de conservation, pour évaluer sa vitesse d'impact possible sur Terre.
2Problème 1, Partie 2 : L'impactBilans d'énergie lors de la traversée de l'atmosphère puis de l'impact de la comète sur l'océan, à partir de la couche d'iridium observée.
3Problème 1, Partie 3 : Les retombées de l'impactÉtude du rayonnement thermique consécutif à la retombée des projectiles éjectés, avec comparaison au flux solaire et à la puissance d'une centrale nucléaire.
4Problème 2, Partie 1 : Milieux conducteursÉtude de l'effet de peau dans un conducteur ohmique à partir des équations de Maxwell.
5Problème 2, Parties 2 et 3 : Ondes guidées en surfaceÉtude d'une onde électromagnétique guidée à l'interface entre le vide, une couche isolante et un métal parfait, et détermination des modes du guide.
Difficulté moyenne. Le rapport note une participation honorable, l'épreuve ayant été correctement abordée par une majorité de candidats restant proches du cours, même si certaines questions n'obtiennent que 10 à 25 % de bonnes réponses.
Ce qu'a observé le jury
6 erreurs relevées
Inversion du rapport des vitesses par mauvaise application des lois de conservation · Encadrement de vitesse d'impact mal établi · Enthalpie d'élévation de température non négligée devant la vaporisation
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L'épreuve comportait deux problèmes indépendants couvrant un spectre très large du programme (mécanique, thermodynamique, électromagnétisme). Le jury note une participation honorable, la majorité des candidats ayant vu les points de physique attendus et étant restés proches du cours. Il rappelle l'importance de bien lire l'ensemble de l'épreuve au préalable pour en comprendre l'esprit et le but.
Les erreurs les plus sanctionnées
1
Inversion du rapport des vitesses par mauvaise application des lois de conservation3
Peu d'élèves pensent à utiliser les lois de conservation de l'énergie et du moment cinétique ; une erreur fréquente inverse le rapport entre distances et vitesses extrêmes de la comète.
« Une erreur
fréquente a été d'écrire que dmax.vmax=dmin.vmin »
2
Encadrement de vitesse d'impact mal établi5
Cette question, avec seulement 10 % de bonnes réponses, donne souvent lieu à un encadrement de vitesse erroné, compris entre 0 et 2 v0.
« Seulement 10% de bonnes réponses dans cette question. »
3
Enthalpie d'élévation de température non négligée devant la vaporisation11
Tous les candidats oublient de négliger l'enthalpie d'élévation de température devant celle de vaporisation, alors que cela était légitime dans ce cas.
« tous les candidats oublient de négliger l'enthalpie d'élévation de
température »
4
Puissance typique d'une centrale nucléaire méconnue14
La plupart des candidats ignorent la puissance typique des centrales nucléaires en fonctionnement, pourtant nécessaire à la comparaison demandée.
« Il est incroyable de noter que la plupart des candidats ignorent la puissance typique des centrales
nucléaires en fonctionnement »
5
Connaissances insuffisantes sur le courant électrique dans un conducteur neutre16
Les candidats basent souvent leur réponse sur un argument mathématique de divergence du courant plutôt que sur la physique des porteurs de charge, révélant des lacunes en électricité.
« Très peu de bonnes réponses physiques et surtout des réponses basées sur les mathématiques en invoquant
la divergence du courant. »
6
Paraphrase de l'énoncé au lieu d'une justification physique26
Pour justifier la présence d'un isolant, les candidats ne répondent pas réellement à la question et se contentent de reformuler l'énoncé.
« ils se contentent de paraphraser l'énoncé. »
Ce qui a été bien réussi
La question 1 a été abordée par 80 % des candidats.
La question 7, facile, a souvent été bien traitée.
Les questions 10, 12 et 13 ont souvent donné lieu à de bonnes applications numériques et conclusions.
La question 17, de cours, a été très souvent bien connue, et les questions 20 à 22 souvent bien résolues.
Conseils du jury
Lire l'ensemble de l'épreuve avant de commencer, pour bien se pénétrer de son esprit et en comprendre le but.
Utiliser systématiquement les lois de conservation (énergie, moment cinétique) plutôt que des relations approximatives.
Cultiver des ordres de grandeur généraux (puissance d'une centrale nucléaire, vitesse de la Terre sur son orbite) utiles aux applications numériques.
Répondre réellement à la question posée par un raisonnement physique plutôt que de paraphraser l'énoncé.
Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.
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CONCOURS D'ADMISSION 2000
SECONDE ÉPREUVE DE PHYSIQUEFilière MP(Durée de l'épreuve : 3heures ; l'emploi de la calculatrice est autorisé)Sujet mis à disposition des concours ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, TPE-EIVP
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
PHYSIQUE II -MP
L'énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière MP, comporte 6 pages.
Abstract
- Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. - Tout résultat fourni dans l'énoncé peut être utilisé pour les questions ultérieures, même s'il n'a pas été démontré. - Il ne faudra pas hésiter à formuler les commentaires (incluant des considérations numériques) qui vous sembleront pertinents, même lorsque l'énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie.
L’énoncé de cette épreuve comporte deux problèmes totalement indépendants.
Premier problème L'EXTINCTION DES DINOSAURES
Les données numériques nécessaires à la résolution du problème sont présentées au fur et à mesure de l'exposé des questions; la lecture de la totalité des questions qui précèdent est donc nécessaire à la résolution de chacune des questions posées. Cependant, de nombreuses questions sont indépendantes les unes des autres : il est possible de répondre à certaines questions sans avoir nécessairement résolu toutes celles qui les précèdent.
Il y a de cela environ 65 millions d'années, les dinosaures et de nombreuses autres espèces vivantes, terrestres et aquatiques, animales et végétales, ont été victimes d'une extinction massive et brutale (événement K/T, à la limite des périodes crétacée (K) et tertiaire (T) ). Parmi les diverses hypothèses proposées, celle qui recueille à l'heure actuelle le plus de suffrages dans la communauté scientifique est celle de l'impact d'une comète à la surface de la Terre. Ce problème examine quelques-uns des aspects de la description mécanique et énergétique d'un tel impact.
Première partie - Les mouvements cométaires
Un ensemble d'astéroïdes de faible dimension se trouve vraisemblablement réparti, dans le système solaire, à grande distance du Soleil (au-delà de l'orbite de Pluton). La masse totale de ces astéroïdes (nuage de Oort) représente environ le tiers de la masse totale des neuf planètes et de leurs satellites. Lorsqu'un de ces astéroïdes est suffisamment dévié de sa trajectoire quasi-circulaire par l'effet gravitationnel d'autres astéroïdes et planètes pour s'approcher à très courte distance du Soleil, il prend le nom de comète.
Nous étudions ici les caractéristiques du mouvement d'une comète hypothétique, qui pourrait, à certains égards, ressembler à celle qui fut peut-être responsable de l'événement K/T.
Comète - Guidage
Cette comète C, de masse m = 2, 510^(15) kg, est considérée comme sphérique, de rayon r_c = 10^4 m; sa trajectoire autour du Soleil est une ellipse très allongée.
La comète C est aussi caractérisée par une distance maximale au Soleil d_(max) = 510^4 a, où a = 1, 510^(11) m est le rayon de la trajectoire (supposée circulaire) terrestre autour du Soleil (a est appelé unité astronomique). Elle est enfin caractérisée par une période de mouvement notée T. On note T_0 la période du mouvement terrestre autour du Soleil.
Déterminer numériquement la vitesse v_0 de la Terre sur son orbite circulaire autour du Soleil.
On note G la constante de la gravitation universelle et M_S la masse du Soleil. Exprimer le produit GM_S en fonction de v_0 et a.
La distance minimale de C au Soleil est notée d_(min). Exprimer, en fonction de d_(max), d_(min), a et v_0, les vitesses maximale v_(max) et minimale v_(min) de C sur son orbite. On pourra utiliser des relations de conservation.
Quelle relation doivent vérifier d_(min) et a pour qu'un impact de C sur la surface de la Terre puisse être envisagé ?
En déduire une évaluation numérique de la plus petite valeur possible pour v_(max).
On choisira dans la suite d_(min) ≅ a. Quelles sont les valeurs extrêmes possibles de la vitesse relative de la Terre et de C (vitesse d'impact) au moment du choc de C sur la Terre ?
Deuxième partie - L'impact
L’hypothèse d'un impact de comète a été avancée pour la première fois à la suite de la mise en évidence d'une couche, déposée sur toute la surface de la Terre (considérée comme une sphère de rayon R_T = 6, 410^6 m ) de quelques millimètres d'épaisseur, contenant de l'Iridium (métal lourd et non radioactif) en proportion anormale. La couche (dite K/T) ainsi mise en évidence est actuellement enfouie sous des sédiments plus récents. Elle contient une masse totale d'Iridium estimée à 510^8 kg. La proportion usuelle d'Iridium en masse dans la croûte terrestre est de l'ordre de 10^(− 10).
6. Par quelle(s) méthode(s), peut-on, à votre avis, déterminer des proportions aussi faibles que celles qui sont citées ci-dessus ?
7. La masse volumique moyenne de la terre est ρ_T = 5, 510^3 kg ⋅ m^(− 3). Comparer les proportions d'Iridium dans la couche K/T et dans le reste de la croûte terrestre. Conclure, sachant que la proportion d'Iridium en masse dans les astéroïdes et les comètes est quelques dizaines à quel-
ques centaines de fois plus élevée que dans la croûte terrestre.
Au moment de l'impact, nous considérerons que la trajectoire de la comète C parvient sur la Terre selon une trajectoire verticale, avec une vitesse (relativement au sol terrestre) égale à v_1 = 210^4 m.s^(− 1), qui reste pratiquement constante pendant la traversée de l'atmosphère, au-dessus de la mer où l'impact a eu lieu.
Lors de sa descente dans l'atmosphère, la comète expulse la totalité de l'atmosphère dans une colonne cylindrique de rayon r_c.
8. Déterminer la masse de cette colonne d'air, sur la hauteur totale de l'atmosphère. La pression atmosphérique
Physique II ; année 2000 ; filière MP
au sol est P_0 = 10^5 Pa et l'accélération de la pesanteur au sol est g = 9, 8 m.s^(− 2). La hauteur totale de l'atmosphère, h, est de l'ordre de la centaine de kilomètres ( h ≈ 6 × 10^4 m ). On considérera que l'intensité et la direction du champ de pesanteur sont constants sur cette distance.
9. La variation relative de la vitesse de la comète à l'issue de sa traversée de l'atmosphère est inférieure de 1% à ce qu'elle serait en l'absence d'atmosphère. Comparer la variation de l'énergie cinétique de la comète, lors de cette même traversée, et la variation de son énergie potentielle de pesanteur.
En déduire, en considérant le transfert d'énergie de la comète à l'air expulsé au cours de sa descente, que la vitesse des molécules d'air au moment où elles quittent cette colonne cylindrique est de l'ordre de grandeur de v_1.
10. En déduire l'énergie cinétique communiquée par la comète à l'atmosphère ; comparer à l'énergie cinétique initiale de la comète. Conclure.
La partie de la mer peu profonde (profondeur de l'ordre de100 m) située sur la trajectoire de la comète est instantanément vaporisée et expulsée par la traversée de la comète.
11. La masse volumique de l'eau liquide est ρ_0 = 10^3 kg.m^(− 3); l'enthalpie de vaporisation massique de l'eau est L_v = 2, 310^6 J.kg^(− 1). Déterminer l'énergie communiquée par la comète à l'océan ; comparer à l'énergie cinétique initiale de la comète. Conclure.
Troisième partie - Les retombées de l'impact
On considère qu'après l'impact, environ 90% de l'énergie cinétique de la comète sont convertis en émission de projectiles divers. Après être remontés à travers la colonne de vide créée par la chute de la comète, ces projectiles se répartissent de façon quasi-uniforme sur toute la surface de la haute atmosphère, à une altitude de l'ordre de h = 610^4 m. La combustion de ces projectiles lors de leur retombée convertit la totalité de l'énergie cinétique en énergie thermique. La durée totale de la combustion est estimée à une heure.
12. Déterminer la puissance totale ainsi rayonnée par la haute atmosphère, et la puissance par unité de surface φ correspondante.
13. On souhaite comparer cette puissance φ au flux solaire moyen φ_s. Pour déterminer celui-ci, on assimilera le Soleil à un corps noir sphérique de rayon R_s = 710^8 m, dont la température de surface est de l'ordre de T_s = 5, 710^3 K.
Déterminer le flux solaire moyen φ_s reçu à la surface de la haute atmosphère terrestre, à la distance a du Soleil. On rappelle la valeur de la constante de Stefan, σ = 5, 6710^(− 8) W ⋅ m^(− 2) ⋅ K^(− 4). Comparer φ et φ_s. Conclure.
14. Comparer encore la puissance totale due à la combustion et la puissance (que vous estimerez) correspondant à un réacteur (une tranche) de centrale nucléaire de production d'électricité. Conclure à nouveau.
15. La température d'équilibre T_e à la surface du sol (en négligeant le rayonnement solaire, obscurci par les retombées de l'impact) peut être évaluée par la relation T_e ≈ φ/(20)◻_◻^(1/4) + h/(2R_T). Justifier cette relation. Évaluer T_e; conclure.
FIN DE CE PROBLÈME
Second problème
ONDES GUIDÉES EN SURFACE
Les ondes électromagnétiques sont susceptibles de se propager dans divers milieux. Ce problème présente une étude du phénomène de guidage d'ondes électromagnétiques entre deux plans ; cependant, il ne s'agit pas ici de plans métalliques, mais de plans de discontinuité des propriétés électriques des matériaux utilisés.
Les vecteurs seront notés par des caractères gras (exemple : E). Les vecteurs unitaires du système d'axes orthonormé (Oxyz) seront notés u_x, u_y et u_z.
On rappelle les valeurs numériques de la célérité de la lumière dans le vide c = 3, 0010^8 m ⋅ s^(− 1) et de la perméabilité magnétique du vide μ_0 = 4π10^(− 7)H.m^(− 1).
On rappelle aussi que rotrotU = graddivU − ΔU, pour toute fonction vectorielle U.
Première partie - Milieux conducteurs
Nous étudions dans cette partie un milieu décrit par les équations de Maxwell relatives au vide, caractérisé par la densité volumique de courant j et par une densité volumique de charge nulle : ρ = 0.
16. Expliquer en quoi est généralement fausse l’affirmation «Ce milieu ne comporte pas de charges, donc le courant électrique y est nécessairement nul ».
17. Écrire les équations de Maxwell vérifiées par le champ électromagnétique (E, B) dans ce milieu.
Le milieu étudié sera provisoirement considéré comme un milieu conducteur ohmique, de conductivité γ. Les champs étudiés (E, B, j) sont harmoniques de pulsation ω
18. Quelle approximation classique peut-on faire dans les équations de Maxwell, pour les bons conducteurs ? On discutera des limites en fréquence de cette approximation dans le cas du cuivre ( γ = 5, 710^7 S.m ^(− 1) ) et du silicium ( γ = 3 × 10^(− 4) S. m^(− 1) ). Conclure, sachant qu'on limitera la suite de l'étude à des ondes de fréquence inférieure à 1 GHz .
19. Déterminer, pour un bon conducteur, l'équation vérifiée par le champ électrique E seul ; on l'écrira en fonction de la grandeur δ = √(2/(μ_0 γω)).
20. Montrer que, dans un milieu bon conducteur occupant l'espace x > 0, invariant par translation dans le plan (Oyz), un champ électrique de la forme :
E(x, t) = E_0 exp(◻◻)/◻ωt − (x◻)/(δ◻)exp◻ − x/δ◻
est la seule solution des équations de Maxwell compatible avec la géométrie du problème. Commenter ; conclure, numériquement, dans le cas du cuivre à 1 MHz .
21. Qu'appelle-t-on approximation des conducteurs parfaits?
L'espace contient trois régions distinctes (cf. figure) ; la région I(x > a > 0) est vide; la région II ( 0 < x < a ) est constituée d'une mince couche de milieu isolant, et la région III ( x < 0 ) est constituée d'un métal parfait).
Dans le métal, le champ électromagnétique est nul. Dans le vide, les densités volumiques de charge ρ et de courant j sont nulles. On admet que, dans la région isolante, le champ électromagnétique vérifie
les équations de Maxwell modifiées :
où la permittivité relative du diélectrique ε_r est un nombre réel supérieur à 1 .
On étudie la propagation dans ces trois régions de l'espace d'une onde électromagnétique dont le champ magnétique, porté par le vecteur unitaire u_y s'écrit B = B_0(x)u_y exp[i(ωt − kz)^−. et l'on cherche le champ électrique sous la forme E = E_0(x)exp[i(ωt − kz)^−.
Les constantes ω et k ont la même valeur réelle positive dans les trois milieux, tandis que la fonction B_0(x) et les trois composantes E_(0x)(x), E_(0y)(x), E_(0z)(x) de E_0(x) sont des fonctions de x seulement, avec des expressions différentes dans les trois milieux I, II et III.
22. Exprimer les diverses composantes de E_0(x) en fonction de ω, k, B_0(x) et de ses dérivées, et des constantes qui caractérisent le problème, dans la région II. En déduire les relations analogues s’appliquant dans la région I.
23. Déterminer, dans les régions I et II, les équations différentielles vérifiées par la fonction B_0(x).
24. On cherche une solution des équations de Maxwell (dite onde guidée en surface) telle que l'amplitude du champ magnétique est une fonction exponentielle réelle de x dans le milieu I et une fonction sinusoïdale de x dans le milieu II. On notera ces fonctions B_I exp(− αx) et B_(II)cos(βx + φ) respectivement. À quelle condition (portant sur k, ω, c et ε_r ) une telle onde existe-t-elle ? Déterminer alors α et β et montrer la relation (R1) :
α^2 + β^2 = (ω^2)/(c^2)(ε_r − 1)
Expliquer l'analogie et les différences entre le dispositif présenté ici et les guides d'ondes à parois métalliques étudiés dans le cadre du cours.
Troisième partie - Relations de passage et modes du guide d'ondes
À la surface de séparation de deux milieux matériels (vide, métal parfait ou isolant), on admettra que les relations de passage du champ électromagnétique sont les mêmes que celles qui sont étudiées dans
Comète - Guidage
le cadre du cours pour ce qui concerne les deux composantes (normale et tangentielle) du champ magnétique et la seule composante tangentielle du champ électrique.
En revanche, la relation relative à la composante normale du champ électrique ne se généralise pas ici. On n'étudiera donc pas l'éventuelle discontinuité de cette composante normale dans la suite.
D'une façon générale, l'écriture des relations de passage aura pour but de relier les expressions des champs de part et d'autre des surfaces x = 0 et x = a; on ne cherchera pas à déterminer les expressions des éventuelles densités surfaciques de charge ou de courant.
26. Expliquer pourquoi la fonction B_0(x) est continue de part et d'autre de la surface x = a.
27. Exprimer une relation de passage à la surface x = 0 permettant d'obtenir la valeur de φ.
28. Exprimer de même des relations de passage à la surface x = a.
29. Montrer qu'il n'existe pas de solution de la forme demandée (onde de surface) pour certaines valeurs de ( βa ). On supposera bien sûr dans la suite que la solution cherchée existe.
30. Établir la relation (R2) : βtan(βa) = ε_r a.
31. Pour résoudre le système d'équations formé de (R1) [question (24)] et (R2), on pourra utiliser une méthode graphique, en posant X = βa et Y = αa.
Il n'est pas nécessaire de disposer d'une calculette graphique, ni même d'une calculette très performante, pour venir à bout des calculs numériques nécessaires, qui sont simples.
Montrer que les solutions de ces équations sont en nombre fini, ce nombre dépendant de la pulsation ω On pourra remarquer que les zéros de la fonction X → Xtan(X) sont les mêmes que ceux de la fonction X → tan(X).
32. Chaque solution porte le nom de mode du guide. Définir et déterminer la pulsation de coupure ω_h du mode numéro n. Expliquer l'analogie avec les modes d'un guide d'ondes à parois métalliques.
FIN DE CE PROBLÈME
FIN DE L'ÉPREUVE
Questions fréquentes
4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de physique 2 MP Mines 2000 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de physique 2 MP Mines 2000 ?
+
Le sujet comporte deux problèmes indépendants : le premier mobilise la mécanique du point (mouvement képlérien) et la thermodynamique (bilans d'énergie, rayonnement) autour de l'extinction des dinosaures, le second l'électromagnétisme (équations de Maxwell, ondes guidées) autour d'un guide d'ondes de surface.
Ce sujet de physique 2 MP Mines 2000 est-il difficile ?
+
Le rapport parle d'une participation honorable, la majorité des candidats étant restés proches du cours, même si certaines questions isolées n'ont été réussies que par 10 à 25 % des candidats.
Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet de physique 2 MP Mines 2000 ?
+
Le jury relève une mauvaise application des lois de conservation en mécanique, l'oubli de négliger l'enthalpie d'élévation de température devant la vaporisation, une méconnaissance des ordres de grandeur (puissance nucléaire), et des connaissances insuffisantes sur le courant électrique dans un conducteur neutre.
Le problème sur l'extinction des dinosaures est-il indépendant du problème d'électromagnétisme ?
+
Oui, le rapport précise que l'épreuve comportait deux problèmes totalement indépendants, l'un de mécanique et thermodynamique, l'autre d'électromagnétisme.
Pas de description pour le moment
Commentaires• Mines Physique 2 MP 2000
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