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Série entière de l'exponentielle

La série exponentielle ∑znn!\sum\frac{z^n}{n!} converge pour tout nombre complexe zz et a pour somme eze^z. C'est le développement en série entière le plus utilisé : il donne ceux de ch⁡\operatorname{ch}, sh⁡\operatorname{sh}, cos⁡\cos, sin⁡\sin et permet de calculer de nombreuses sommes du type ∑P(n)n!xn\sum\frac{P(n)}{n!}x^n.

Au programmeDeuxième année (MP, MPI, PSI) · Séries entières

Énoncé

Théorème (série exponentielle)

La série entière ∑znn!\sum\frac{z^n}{n!} a un rayon de convergence infini, et pour tout z∈Cz\in\C :

ez=∑n=0+∞znn!,e^z=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{z^n}{n!},

où ex+iy=ex(cos⁡y+isin⁡y)e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y) pour x,yx,y réels. En particulier ex=∑n≥0xnn!e^x=\sum_{n\ge0}\frac{x^n}{n!} pour xx réel, et pour tout x∈Rx\in\R :

ch⁡x=∑n=0+∞x2n(2n)!,sh⁡x=∑n=0+∞x2n+1(2n+1)!,cos⁡x=∑n=0+∞(−1)nx2n(2n)!,sin⁡x=∑n=0+∞(−1)nx2n+1(2n+1)!.\begin{aligned}\operatorname{ch}x&=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^{2n}}{(2n)!},&\operatorname{sh}x&=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!},\\ \cos x&=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!},&\sin x&=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}.\end{aligned}

La somme E(z)=∑n≥0znn!E(z)=\sum_{n\ge0}\frac{z^n}{n!} vérifie E(z+w)=E(z)E(w)E(z+w)=E(z)E(w) pour tous z,w∈Cz,w\in\C.

Démonstration

Rayon infini. Pour z≠0z\neq0, ∣z∣n+1/(n+1)!∣z∣n/n!=∣z∣n+1→0\dfrac{|z|^{n+1}/(n+1)!}{|z|^n/n!}=\dfrac{|z|}{n+1}\to0 : par la règle de d'Alembert, ∑znn!\sum\frac{z^n}{n!} converge absolument pour tout z∈Cz\in\C.

Cas réel (Taylor avec reste intégral). Pour x∈Rx\in\R et n∈Nn\in\N, l'exponentielle étant de classe C∞\mathcal{C}^\infty et égale à ses dérivées,

ex−∑k=0nxkk!=∫0x(x−t)nn!et dt,donc∣ex−∑k=0nxkk!∣≤e∣x∣∣x∣n+1(n+1)!,e^x-\sum_{k=0}^n\frac{x^k}{k!}=\int_0^x\frac{(x-t)^n}{n!}e^t\,\dd t,\qquad\text{donc}\qquad\left|e^x-\sum_{k=0}^n\frac{x^k}{k!}\right|\le e^{|x|}\frac{|x|^{n+1}}{(n+1)!},

qui tend vers 00 (terme général d'une série convergente). Le même argument, avec des dérivées bornées par 11, donne les développements de cos⁡\cos et de sin⁡\sin ; ceux de ch⁡\operatorname{ch} et sh⁡\operatorname{sh} s'obtiennent à partir de exe^x et e−xe^{-x}.

Relation fonctionnelle. Les séries ∑znn!\sum\frac{z^n}{n!} et ∑wnn!\sum\frac{w^n}{n!} convergent absolument, donc leur produit de Cauchy converge et a pour somme E(z)E(w)E(z)E(w). Son terme général vaut, par la formule du binôme,

∑k=0nzkk!⋅wn−k(n−k)!=1n!∑k=0n(nk)zkwn−k=(z+w)nn!,\sum_{k=0}^n\frac{z^k}{k!}\cdot\frac{w^{n-k}}{(n-k)!}=\frac{1}{n!}\sum_{k=0}^n\binom nkz^kw^{n-k}=\frac{(z+w)^n}{n!},

d'où E(z+w)=E(z)E(w)E(z+w)=E(z)E(w).

Cas complexe. Pour yy réel, on sépare les termes d'indices pairs et impairs, ce qui est licite car la série converge absolument ; comme i2k=(−1)ki^{2k}=(-1)^k,

E(iy)=∑k=0+∞(−1)ky2k(2k)!+i∑k=0+∞(−1)ky2k+1(2k+1)!=cos⁡y+isin⁡y.E(iy)=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(-1)^ky^{2k}}{(2k)!}+i\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(-1)^ky^{2k+1}}{(2k+1)!}=\cos y+i\sin y.

Donc E(x+iy)=E(x)E(iy)=ex(cos⁡y+isin⁡y)=ex+iyE(x+iy)=E(x)E(iy)=e^x(\cos y+i\sin y)=e^{x+iy}.

Méthode : quand et comment l'utiliser

Pour calculer ∑n≥0P(n)n!xn\sum_{n\ge0}\frac{P(n)}{n!}x^n avec PP polynôme, on écrit PP dans la base 1, n, n(n−1), n(n−1)(n−2),…1,\ n,\ n(n-1),\ n(n-1)(n-2),\dots et on utilise, pour p∈Np\in\N,

∑n=0+∞n(n−1)⋯(n−p+1)n!xn=∑n=p+∞xn(n−p)!=xpex.\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{n(n-1)\cdots(n-p+1)}{n!}x^n=\sum_{n=p}^{+\infty}\frac{x^n}{(n-p)!}=x^pe^x.

Indice pour reconnaître une exponentielle : une factorielle n!n! au dénominateur et une puissance nn-ième au numérateur. Une factorielle (2n)!(2n)! ou (2n+1)!(2n+1)! renvoie à ch⁡\operatorname{ch}, sh⁡\operatorname{sh}, cos⁡\cos ou sin⁡\sin.

Exemples d'application

Calcul de ∑n≥0n2n!\sum_{n\ge0}\frac{n^2}{n!}

On écrit n2=n(n−1)+nn^2=n(n-1)+n. Pour xx réel,

∑n=0+∞n2n!xn=∑n=2+∞xn(n−2)!+∑n=1+∞xn(n−1)!=(x2+x)ex.\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{n^2}{n!}x^n=\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{x^n}{(n-2)!}+\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^n}{(n-1)!}=(x^2+x)e^x.

En x=1x=1, on obtient ∑n=0+∞n2n!=2e\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{n^2}{n!}=2e. En probabilités, cela traduit E[X2]=2\mathbb{E}[X^2]=2 pour une variable XX de loi de Poisson de paramètre 11.

Irrationalité de ee

On a e=∑k≥01k!e=\sum_{k\ge0}\frac1{k!}. Supposons e=pqe=\frac pq avec p,q∈N∗p,q\in\N^*. Le nombre A=q!(e−∑k=0q1k!)A=q!\left(e-\sum_{k=0}^q\frac1{k!}\right) est un entier, car q! e=p (q−1)!q!\,e=p\,(q-1)! et q!k!∈N\frac{q!}{k!}\in\N pour k≤qk\le q. Il est strictement positif et

A=∑k=q+1+∞q!k!=∑j=1+∞1(q+1)(q+2)⋯(q+j)<∑j=1+∞1(q+1)j=1q≤1.A=\sum_{k=q+1}^{+\infty}\frac{q!}{k!}=\sum_{j=1}^{+\infty}\frac{1}{(q+1)(q+2)\cdots(q+j)}<\sum_{j=1}^{+\infty}\frac1{(q+1)^j}=\frac1q\le1.

Un entier strictement compris entre 00 et 11 n'existe pas : ee est irrationnel.

Erreurs classiques

  • Oublier le terme d'indice 00 : ∑n≥1xnn!=ex−1\sum_{n\ge1}\frac{x^n}{n!}=e^x-1, et non exe^x.

  • Justifier E(z+w)=E(z)E(w)E(z+w)=E(z)E(w) par un produit de Cauchy sans invoquer la convergence absolue : pour des séries seulement semi-convergentes, le produit de Cauchy peut diverger (c'est le cas de ∑(−1)nn+1\sum\frac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}} multipliée par elle-même).

  • Écrire eA+B=eAeBe^{A+B}=e^Ae^B pour des matrices qui ne commutent pas : la preuve par produit de Cauchy utilise la formule du binôme, valable seulement si AB=BAAB=BA.

  • Majorer le reste par le premier terme négligé pour x>0x>0 : tous les termes étant positifs, le reste est au contraire plus grand que ce terme. La majoration valable est e∣x∣∣x∣n+1(n+1)!e^{|x|}\frac{|x|^{n+1}}{(n+1)!} ; pour x<0x<0, le critère spécial des séries alternées donne la majoration par ∣x∣n+1(n+1)!\frac{|x|^{n+1}}{(n+1)!} dès que ∣x∣≤n+2|x|\le n+2.

Place dans le programme

Deuxième année (MP, MPI, PSI), chapitre « Séries entières ».

Le développement de exe^x fait partie des développements en série entière usuels à connaître. Selon les cours, l'exponentielle complexe est définie par cette série, ou par ex+iy=ex(cos⁡y+isin⁡y)e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y) dès la première année ; la démonstration ci-dessous montre que les deux définitions coïncident.

Dans les sujets de concours

Pour vous entraîner sur des sujets complets : Séries entières et séries de Fourier (262 sujets).

Sujets où cette notion intervient explicitement :

Questions fréquentes

Quel est le rayon de convergence de la série exponentielle ?

Il est infini : ∑znn!\sum\frac{z^n}{n!} converge absolument pour tout z∈Cz\in\C, par la règle de d'Alembert.

Quel est le développement en série entière de exp(ax) ?

Pour a∈Ca\in\C et xx réel, eax=∑n≥0ann!xne^{ax}=\sum_{n\ge0}\frac{a^n}{n!}x^n, de rayon infini. De même, e−x2=∑n≥0(−1)nn!x2ne^{-x^2}=\sum_{n\ge0}\frac{(-1)^n}{n!}x^{2n} pour tout xx réel.

Quel lien avec le développement limité de l'exponentielle ?

Le développement limité de exe^x à l'ordre nn en 00 est la somme partielle ∑k=0nxkk!\sum_{k=0}^n\frac{x^k}{k!}. La série entière dit plus : pour tout xx fixé, l'erreur tend vers 00 quand n→+∞n\to+\infty, et pas seulement quand x→0x\to0.

La série exponentielle s'applique-t-elle aux matrices ?

Oui : pour A∈Mp(K)A\in\mathcal{M}_p(\K) et une norme sous-multiplicative, ∥Akk!∥≤∥A∥kk!\left\|\frac{A^k}{k!}\right\|\le\frac{\|A\|^k}{k!}, donc ∑Akk!\sum\frac{A^k}{k!} converge absolument ; sa somme définit l'exponentielle eAe^A.

Exercices corrigés utilisant : Série entière de l'exponentielle

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