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Théorème d'intégration terme à terme

Le théorème d'intégration terme à terme permet d'écrire ∫I∑fn=∑∫Ifn\int_I\sum f_n=\sum\int_I f_n pour une série de fonctions sur un intervalle quelconque, sans convergence uniforme. Il sert à calculer des intégrales en développant l'intégrande en série et, inversement, à sommer des séries en les écrivant comme des intégrales.

Au programmeDeuxième année (MP, MPI, PSI) · Intégration sur un intervalle quelconque, suites et séries de fonctions

Énoncé

Théorème (intégration terme à terme)

Soit II un intervalle de R\R et (fn)(f_n) une suite de fonctions de II dans K\K (K=R\K=\R ou C\C). On suppose :

  1. chaque fnf_n est continue par morceaux et intégrable sur II ;
  2. la série ∑fn\sum f_n converge simplement sur II et sa somme S=∑n=0+∞fnS=\sum_{n=0}^{+\infty}f_n est continue par morceaux sur II ;
  3. la série numérique ∑∫I∣fn(t)∣ dt\sum\int_I|f_n(t)|\,\dd t converge.

Alors SS est intégrable sur II et

∫I∑n=0+∞fn(t) dt=∑n=0+∞∫Ifn(t) dt,d’ouˋ∣∫IS∣≤∑n=0+∞∫I∣fn∣.\int_I\sum_{n=0}^{+\infty}f_n(t)\,\dd t=\sum_{n=0}^{+\infty}\int_I f_n(t)\,\dd t,\qquad\text{d'où}\qquad\left|\int_I S\right|\le\sum_{n=0}^{+\infty}\int_I|f_n|.

Version sur un segment. Si les fnf_n sont continues sur un segment [a,b][a,b] et si ∑fn\sum f_n converge uniformément sur [a,b][a,b], alors SS est continue sur [a,b][a,b] et ∫abS=∑n=0+∞∫abfn\int_a^b S=\sum_{n=0}^{+\infty}\int_a^b f_n.

Esquisse de démonstration

Sur un segment (preuve complète). Notons Sn=∑k=0nfkS_n=\sum_{k=0}^n f_k et Rn=S−SnR_n=S-S_n. La somme SS est continue comme limite uniforme de fonctions continues et, par linéarité de l'intégrale,

∣∫abS−∑k=0n∫abfk∣=∣∫abRn∣≤(b−a)sup⁡[a,b]∣Rn∣→n→+∞0.\left|\int_a^b S-\sum_{k=0}^{n}\int_a^b f_k\right|=\left|\int_a^b R_n\right|\le(b-a)\sup_{[a,b]}|R_n|\xrightarrow[n\to+\infty]{}0.

Sur un intervalle quelconque (idée). Dans le cadre du programme, ce théorème est admis. Sa preuve naturelle, en théorie de Lebesgue, se fait en deux temps.

  1. La fonction g=∑n=0+∞∣fn∣g=\sum_{n=0}^{+\infty}|f_n|, à valeurs dans [0,+∞][0,+\infty], vérifie ∫Ig=∑n∫I∣fn∣<+∞\int_I g=\sum_{n}\int_I|f_n|<+\infty par le théorème de convergence monotone : elle est intégrable.
  2. Les sommes partielles vérifient ∣Sn∣≤g|S_n|\le g et convergent simplement vers SS : le théorème de convergence dominée donne ∫ISn→∫IS\int_I S_n\to\int_I S, c'est-à-dire ∑k=0n∫Ifk→∫IS\sum_{k=0}^{n}\int_I f_k\to\int_I S.

Avec les seuls outils de prépa, on peut mener ce raisonnement lorsque les fnf_n sont continues et que ∑∣fn∣\sum|f_n| converge simplement vers une fonction gg continue. Sur tout segment [a,b]⊂I[a,b]\subset I, les sommes partielles de ∑∣fn∣\sum|f_n| croissent vers gg, donc convergent uniformément (théorème de Dini), d'où ∫abg=lim⁡n∑k≤n∫ab∣fk∣≤∑k=0+∞∫I∣fk∣\int_a^b g=\lim_n\sum_{k\le n}\int_a^b|f_k|\le\sum_{k=0}^{+\infty}\int_I|f_k|. Ainsi gg est intégrable sur II, et le théorème de convergence dominée s'applique avec la domination ∣Sn∣≤g|S_n|\le g.

Méthode : quand et comment l'utiliser

On l'utilise pour calculer ∫IF\int_I F quand FF se développe en série sur II (série géométrique, série entière, 11−e−t=∑n≥0e−nt\frac{1}{1-e^{-t}}=\sum_{n\ge0}e^{-nt} pour t>0t>0).

  1. Écrire F=∑fnF=\sum f_n sur II ; on peut travailler sur l'intervalle ouvert, qui donne la même intégrale.
  2. Vérifier que chaque fnf_n est intégrable et calculer ∫I∣fn∣\int_I|f_n|.
  3. Si ∑∫I∣fn∣\sum\int_I|f_n| converge, conclure. Pour des fnf_n positives, cela revient à la convergence de ∑∫Ifn\sum\int_I f_n.
  4. Sinon (souvent pour une série alternée), appliquer la convergence dominée aux sommes partielles : voir la fiche sur l'interversion série-intégrale.

Exemples d'application

Calcul de ∫01−ln⁡t1−t dt\int_0^1\frac{-\ln t}{1-t}\,\dd t

Pour t∈ ]0,1[t\in\,]0,1[, 11−t=∑n≥0tn\frac{1}{1-t}=\sum_{n\ge0}t^n, donc −ln⁡t1−t=∑n=0+∞fn(t)\frac{-\ln t}{1-t}=\sum_{n=0}^{+\infty}f_n(t) avec fn(t)=−tnln⁡t≥0f_n(t)=-t^n\ln t\ge0. Chaque fnf_n est continue et intégrable sur ]0,1[]0,1[ (f0=−ln⁡f_0=-\ln est intégrable en 00, et fnf_n est bornée pour n≥1n\ge1). Une intégration par parties sur [ε,1][\varepsilon,1], puis ε→0\varepsilon\to0, donne

∫01−tnln⁡t dt=[−tn+1n+1ln⁡t]01+∫01tnn+1 dt=1(n+1)2.\int_0^1-t^n\ln t\,\dd t=\left[-\frac{t^{n+1}}{n+1}\ln t\right]_0^1+\int_0^1\frac{t^{n}}{n+1}\,\dd t=\frac{1}{(n+1)^2}.

La somme t↦−ln⁡t1−tt\mapsto\frac{-\ln t}{1-t} est continue sur ]0,1[]0,1[ et ∑∫01∣fn∣=∑1(n+1)2\sum\int_0^1|f_n|=\sum\frac{1}{(n+1)^2} converge. Le théorème s'applique :

∫01−ln⁡t1−t dt=∑n=0+∞1(n+1)2=π26.\int_0^1\frac{-\ln t}{1-t}\,\dd t=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{(n+1)^2}=\frac{\pi^2}{6}.

Calcul de ∫0+∞tsh⁡t dt\int_0^{+\infty}\frac{t}{\operatorname{sh}t}\,\dd t

Pour t>0t>0, on a 0<e−2t<10<e^{-2t}<1, donc

tsh⁡t=2t e−t1−e−2t=∑n=0+∞2t e−(2n+1)t.\frac{t}{\operatorname{sh}t}=\frac{2t\,e^{-t}}{1-e^{-2t}}=\sum_{n=0}^{+\infty}2t\,e^{-(2n+1)t}.

Les fonctions fn:t↦2t e−(2n+1)tf_n:t\mapsto2t\,e^{-(2n+1)t} sont continues, positives et intégrables sur ]0,+∞[]0,+\infty[, avec ∫0+∞fn=2(2n+1)2\int_0^{+\infty}f_n=\frac{2}{(2n+1)^2}, car ∫0+∞t e−at dt=1a2\int_0^{+\infty}t\,e^{-at}\,\dd t=\frac{1}{a^2} pour a>0a>0. La somme est continue sur ]0,+∞[]0,+\infty[ et ∑2(2n+1)2\sum\frac{2}{(2n+1)^2} converge, donc

∫0+∞tsh⁡t dt=2∑n=0+∞1(2n+1)2=2⋅π28=π24,\int_0^{+\infty}\frac{t}{\operatorname{sh}t}\,\dd t=2\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{(2n+1)^2}=2\cdot\frac{\pi^2}{8}=\frac{\pi^2}{4},

en utilisant ∑n≥01(2n+1)2=∑k≥11k2−∑k≥114k2=34⋅π26=π28\sum_{n\ge0}\frac{1}{(2n+1)^2}=\sum_{k\ge1}\frac{1}{k^2}-\sum_{k\ge1}\frac{1}{4k^2}=\frac34\cdot\frac{\pi^2}{6}=\frac{\pi^2}{8}.

Erreurs classiques

  • Oublier les valeurs absolues dans l'hypothèse 3. Avec gn(t)=n e−ntg_n(t)=n\,e^{-nt} sur ]0,+∞[]0,+\infty[, on a ∫gn=1\int g_n=1 et gn→0g_n\to0 simplement. Pour f0=g1f_0=g_1 et fn=gn+1−gnf_n=g_{n+1}-g_n (n≥1n\ge1), les sommes partielles valent gn+1g_{n+1}, donc ∑fn=0\sum f_n=0, alors que ∑∫fn=1+0+0+⋯=1\sum\int f_n=1+0+0+\dots=1. Ici ∑∣∫fn∣\sum|\int f_n| converge, mais pas ∑∫∣fn∣\sum\int|f_n|.

  • Croire que la convergence uniforme suffit sur un intervalle non borné : fn(t)=1ne−t/nf_n(t)=\frac1n e^{-t/n} converge uniformément vers 00 sur [0,+∞[[0,+\infty[ (car sup⁡∣fn∣=1n\sup|f_n|=\frac1n) alors que ∫0+∞fn=1\int_0^{+\infty}f_n=1 pour tout nn. La version « convergence uniforme » ne vaut que sur un segment.

  • Renoncer dès que ∑∫I∣fn∣\sum\int_I|f_n| diverge : l'hypothèse est suffisante, pas nécessaire. Pour fn(t)=(−t)nf_n(t)=(-t)^n sur [0,1[[0,1[, ∑∫01tn dt\sum\int_0^1 t^n\,\dd t diverge, et pourtant ∫01dt1+t=∑n≥0(−1)nn+1\int_0^1\frac{\dd t}{1+t}=\sum_{n\ge0}\frac{(-1)^n}{n+1}, ce qui se montre par convergence dominée sur les sommes partielles.

  • Écrire ∫I∑fn\int_I\sum f_n avant d'avoir justifié l'intégrabilité de la somme : c'est une conclusion du théorème, obtenue une fois les hypothèses 1 à 3 vérifiées.

Place dans le programme

Deuxième année (MP, MPI, PSI), chapitre « Intégration sur un intervalle quelconque, suites et séries de fonctions ».

L'énoncé sur un intervalle quelconque est au programme de deuxième année ; sa démonstration n'est en général pas faite en classe, car elle relève de l'intégrale de Lebesgue. La version sur un segment avec convergence uniforme se démontre en quelques lignes.

Dans les sujets de concours

Pour vous entraîner sur des sujets complets : Suites et séries de fonctions (403 sujets), Intégrales généralisées (415 sujets).

Sujets où cette notion intervient explicitement :

Questions fréquentes

Quelle différence entre intégration terme à terme et convergence dominée ?

Le théorème d'intégration terme à terme porte sur une série et demande ∑∫I∣fn∣<+∞\sum\int_I|f_n|<+\infty. La convergence dominée porte sur une suite de fonctions et demande une domination indépendante de nn ; on l'applique aux sommes partielles d'une série quand ∑∫I∣fn∣\sum\int_I|f_n| diverge.

Faut-il une convergence uniforme pour intégrer terme à terme ?

Non sur un intervalle quelconque : la convergence simple suffit, avec la condition ∑∫I∣fn∣<+∞\sum\int_I|f_n|<+\infty. Sur un segment, la convergence uniforme d'une série de fonctions continues suffit à elle seule.

Peut-on intégrer terme à terme une série entière ?

Oui sur tout segment inclus dans l'intervalle ouvert de convergence ]−R,R[]-R,R[, où la convergence est normale. La série des primitives ∑ann+1xn+1\sum\frac{a_n}{n+1}x^{n+1} a le même rayon RR.

Exercices corrigés utilisant : Théorème d'intégration terme à terme

29 exercices

Séries d'exponentielles de type Gauss

Continuité de la somme
série de fonctionsintégrabilitéclasse C1Théorème d'intégration terme à termeConvergence normale

Séries d'intégrales et théorèmes d'interversion

Majoration du Reste
intégralesérieconvergence dominéeThéorème de convergence dominéeThéorème d'intégration terme à terme

Calcul d'intégrales par développement en série

Intégration sur un segment
logarithmeDSEintégration terme à termeIntégration par partiesThéorème d'intégration terme à terme

Intégrabilité d'une série de puissances inverses

3.2.3
intégrabilitéconvergence normaleinterversion limite-sommeThéorème d'intégration terme à termeComparaison de Riemann

Somme et intégration d'une série de fractions rationnelles

Méthode par majoration globale
série de fonctionsconvergence normaletélescopageThéorème d'intégration terme à termeSéries télescopiques

Sommation de séries alternées par intégration

Dérivation de la limite
série harmonique alternéeintégraleinterversionThéorème d'intégration terme à termeDéveloppement en série géométrique

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Méthode par majoration globale
sommabilitéintégrale de Bertrandintégration terme à termeThéorème d'intégration terme à termeComparaison locale

Intégrale logarithmique et série harmonique

3.2.3
intégralesérie entièresérie harmoniqueThéorème d'intégration terme à termeDéveloppement en série entière

Développement en produit infini du sinus

Transformation d'Abel uniforme
produit eulériensérie de fonctionscotangenteDéveloppement limitéConvergence normale

Calcul d'un produit infini par intégration de série

Intégration sur un segment
produit infiniconvergence normaleintégration terme à termeThéorème d'intégration terme à termeDéveloppement limité

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3.2.4
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convergence normaleintégration terme à termecontinuitéThéorème de continuitéThéorème d'intégration terme à terme

Analyse d'une série entière et intégration terme à terme

Calcul exact de la norme infinie
série entièreconvergence normaleintégration terme à termeRègle de d'AlembertThéorème d'intégration terme à terme

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Intégration sur un segment
série de fonctionsconvergence normaleintégraleThéorème d'intégration terme à termeChangement de variable

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Étude d'une suite d'intégrales par développement en série

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