Définitions et propriétés générales

77 exercices

\mathbb{Z}

\mathbb{Q}

corps des rationnels nombre algébrique matrice compagnon Théorème du rang Polynôme minimal

Sommes des lignes d'une matrice inversible

Propriétés élémentaires et matrices explicites

spectre vecteur propre matrice inversible Vecteur propre colonne de 1

Similitude entre une matrice et ses multiples

Similitude et Homothétie

nilpotence similitude spectre Théorème de Cayley-Hamilton Invariance du spectre

Caractérisation duale des hyperplans stables

Dualité et Hyperplans stables

hyperplan stable transposée vecteur propre Inclusion de noyaux Dualité

Matrices semblables à leur carré

Problèmes avancés et originaux

similitude carré spectre Lemme des noyaux Théorème du rang

Hyperplans stables et valeurs propres

Dualité et Hyperplans stables

hyperplan stable affine forme linéaire Endomorphisme transposé Polynôme caractéristique

Propriétés du polynôme caractéristique de l'inverse et du carré

Calculs directs et manipulations algébriques

polynôme caractéristique matrice inversible sous-espace propre Déterminant Valeurs propres

Propriétés des matrices stochastiques

Synthèse et Géométrie

matrice stochastique valeur propre déterminant Inégalité triangulaire Vecteur propre

Existence de droites et d'hyperplans stables

Le cas réel : existence et construction

droite stable hyperplan stable valeur propre Polynôme caractéristique Théorème de d'Alembert-Gauss

Spectre et diagonalisabilité des nilpotents

Fondamentaux et Exemples

nilpotence valeur propre diagonalisable Polynôme annulateur Espace propre

Matrices symplectiques et structure du spectre

Symétries, Transposition et Structure

matrice symplectique déterminant par blocs similitude Déterminant Similitude

Vecteur invariant d'une matrice stochastique positive

Spectre des matrices stochastiques

matrice stochastique valeur propre Perron-Frobenius Spectre de la transposée Inégalité triangulaire

Équation matricielle $AB = \lambda BA$

Commutateurs et structure

racines de l'unité diagonalisation matrices de permutation Déterminant Similitude

Espaces vectoriels quotients et applications structurelles

Approfondissement structurel : Quotients

quotient rang Frobenius Théorème de factorisation Supplémentaire

Propriétés spectrales des matrices réelles

Propriétés spectrales de base

valeurs propres conjugué déterminant Polynôme caractéristique Conjugaison complexe

Dimension d'endomorphismes commutant avec la transposition

Problèmes abstraits et avancés

transposition dimension sous-espaces stables Somme directe Stabilité

Stabilité locale des plans et spectre

Problèmes de classification et dénombrement

valeurs propres stabilité polynôme caractéristique Restriction à un sous-espace stable Liberté des vecteurs propres

Déterminant de matrices blocs et spectre de C*conj(C)

Problèmes avancés et atypiques

blocs déterminant spectre Complément de Schur Densité de GLn

Réduction des endomorphismes orthogonaux

Réduction et structure par blocs

isométrie orthogonal sous-espace stable Récurrence Matrice par blocs

Réduction et contraintes sur les coefficients

Arguments polynomiaux (polynôme scindé a racines simples)

Spectre Trace Polynôme annulateur Trace Polynôme annulateur

Vecteurs propres communs et sous-groupes de matrices

Torsion et Théorème de Burnside

groupe de matrices vecteur propre commun trace Forme linéaire trace Duality

Transformation affine d'une matrice

Calculs directs et manipulations algébriques

polynôme caractéristique spectre espace propre Déterminant Linéarité

Matrices de $SL_n(\mathbb{C})$ à droites stables finies

Problèmes de classification et dénombrement

droite stable SL_n(C)sous-espace propre Dimension des sous-espaces propres Polynôme caractéristique

Clôture algébrique des rationnels

Matrices à coefficients dans

\mathbb{Z}

\mathbb{Q}

nombres algébriques extension finie corps algébriquement clos Dimension finie Théorème de Cayley-Hamilton

Polynôme caractéristique de AB et BA

Études spécifiques sur

\mathrm{SL}_2

et Représentations

polynôme caractéristique densité matrices rectangulaires Densité de GLn Similitude

Réduction de l'endomorphisme de multiplication à gauche

Endomorphismes d'Espaces de Matrices

multiplication à gauche valeurs propres polynôme minimal Polynôme minimal Espace des endomorphismes

Caractérisation des hyperplans stables et transposition

Dualité et Hyperplans stables

hyperplan stable transposé Formes linéaires Vecteurs propres

Construction dyadique et non-dérivabilité

Continuité de la somme

Van der Waerden développement binaire taux d'accroissement Séries de fonctions Développement dyadique

Stabilité d'un point fixe sous perturbation

Détermination de la limite simple

stabilité perturbation point fixe Inégalité triangulaire Lemme de comparaison géométrique

Non-compacité de la boule unité

Théorème d'Ascoli

boule unité compacité dimension infinie Suite de polynômes Raisonnement par l'absurde

Équivalence des normes sur les polynômes

Critère de Cauchy uniforme

norme équivalence dimension finie Théorème d'équivalence des normes

Différences finies et sommes de séries

Convergence absolue

différences finies polynômes de Hilbert somme de série Opérateur delta Formule du binôme

Convergence d'une suite à radical

Étude de la convergence ponctuelle

suite récurrente série numérique télescopage Théorème de la limite monotone Comparaison de séries

Suite récurrente pilotée par une série

Étude de la convergence ponctuelle

suite croissante série convergente accroissement Somme télescopique Critères de comparaison

Approximation par des polynômes à coefficients entiers

Polynômes de Bernstein

Coefficients entiers Partie entière Coefficients binomiaux Inégalité triangulaire Partie entière

Limite d'une somme de puissances n-ièmes

Détermination de la limite simple

limite somme puissance Changement d'indice Théorème de convergence dominée

Convergence de minima de fonctions convexes

Détermination de la limite simple

convexité minimum convergence simple Inégalité des pentes Théorème des bornes atteintes

Limite simple de polynômes de degré borné

Détermination de la limite simple

polynômes convergence simple dimension finie Interpolation de Lagrange Continuité en dimension finie

Étude d'une suite de fonctions à support variable

Détermination de la limite simple

partie entière sommes de Riemann intervalle non borné Sommes usuelles Relation de Chasles

Lien entre reste de Taylor et série exponentielle

Détermination de la limite simple

Taylor exponentielle Poisson Intégration par parties

Convergence d'une suite de fonctions et intégration

Détermination de la limite simple

convergence simple convergence uniforme intégrale Étude de variations Calcul intégral

Lemme de Kronecker et sommation d'Abel

Méthode du calcul direct du maximum

Kronecker Abel Sommation par parties Transformation d'Abel Théorème de Cesàro

Approximation par des polynômes à coefficients entiers

Détermination de la limite simple

approximation Weierstrass polynômes Composition de fonctions Densité

Convergence uniforme d'une suite vers l'exponentielle

Détermination de la limite simple

convergence uniforme convergence simple exponentielle Développement limité Étude de fonctions

Lipschitzianité de la distance à une partie

Détermination de la limite simple

distance borne inférieure lipschitz Inégalité triangulaire Propriétés de l'infimum

Jauge de Minkowski d'un convexe symétrique

Absence de convergence simple

jauge Minkowski convexe Convexité Infimum

Ensemble à point d'accumulation unique

2.1.3

point d'accumulation dénombrabilité Bolzano-Weierstrass Bolzano-Weierstrass Dénombrabilité

Stabilité numérique d'une suite arithmético-géométrique

Méthode du calcul direct du maximum

suite arithmético-géométrique erreur d'arrondi convergence Point fixe Récurrence

Inégalité entre somme de normes et sommes partielles

Détermination de la limite simple

norme infini inégalité de Steinitz partition Partition d'indices Norme sup

Applications analytiques et arithmétiques

Convergence absolue

Nombres premiers Log-dérivée Intégrales oscillantes Produit d'Euler Riemann-Lebesgue

Étude de convergences : exemples fondamentaux

Détermination de la limite simple

convergence simple convergence uniforme sinus Dérivée Maximum

Suites de fonctions : méthodes analytiques et intégrales

Détermination de la limite simple

produit de cosinus intégrale de Gauss développement limité Changement de variable Théorème des accroissements finis

Nombre de chiffres de la factorielle

Absence de convergence simple

Stirling logarithme décimal partie entière Formule de Stirling Logarithme

Limite et régularité d'une suite de fonctions à radicaux

Détermination de la limite simple

Série de fonctions Convergence normale Développement asymptotique Télescopage Convergence uniforme

Convergence de polynômes à degrés bornés

Détermination de la limite simple

polynômes dimension finie convergence simple Équivalence des normes Interpolation de Lagrange

Convergence de polynômes de degré borné

Détermination de la limite simple

polynômes convergence uniforme dimension finie Lagrange Isomorphisme

Théorème de Dini et approximation polynomiale

Théorème de la double limite et commurarions de limites

Dini Convergence uniforme Compact Compacité Suites récurrentes

Stabilité de l'équation de Cauchy

Dérivation de la limite

équation fonctionnelle Cauchy Hyers-Ulam Séries télescopiques Convergence normale

Convergence simple et uniforme de suites de fonctions

Détermination de la limite simple

convergence simple convergence uniforme somme géométrique Étude de variations Croissances comparées

Calcul de l'intégrale de Gauss via Wallis

Méthode du calcul direct du maximum

Gauss Wallis intégrale impropre Changement de variable Intégration par parties

Produit infini et suite de Thue-Morse

Détermination de la limite simple

produit infini équation fonctionnelle série entière Convergence normale Somme des chiffres en base 2

Définitions et propriétés générales

Spectre de l'opérateur de Sylvester

Propriétés spectrales des matrices stochastiques

Somme par colonnes et estimation du rang

Décalage spectral et nilpotence

Vecteur propre commun et cotrigonalisation

Théorème de Perron-Frobenius (cas strictement positif)

Polynôme caractéristique de AB et BA

Spectre des matrices stochastiques

Existence de polynômes minimaux réels

Caractérisation des pinceaux de matrices singuliers

Matrices semblables à leurs multiples

Vecteurs propres communs en dimension impaire

Somme de matrices et spectres imposés

Surjectivité des polynômes de matrices

Nilpotence et commutateurs de matrices

Absence d'hypercyclicité en dimension finie

Rang minimal et nombres algébriques

Sommes des lignes d'une matrice inversible

Similitude entre une matrice et ses multiples

Caractérisation duale des hyperplans stables

Matrices semblables à leur carré

Hyperplans stables et valeurs propres

Propriétés du polynôme caractéristique de l'inverse et du carré

Propriétés des matrices stochastiques

Existence de droites et d'hyperplans stables

Spectre et diagonalisabilité des nilpotents

Matrices symplectiques et structure du spectre

Vecteur invariant d'une matrice stochastique positive

Équation matricielle AB=λBAAB = \lambda BAAB=λBA

Espaces vectoriels quotients et applications structurelles

Propriétés spectrales des matrices réelles

Dimension d'endomorphismes commutant avec la transposition

Stabilité locale des plans et spectre

Déterminant de matrices blocs et spectre de C*conj(C)

Réduction des endomorphismes orthogonaux

Réduction et contraintes sur les coefficients

Vecteurs propres communs et sous-groupes de matrices

Transformation affine d'une matrice

Matrices de SLn(C)SL_n(\mathbb{C})SLn​(C) à droites stables finies

Clôture algébrique des rationnels

Polynôme caractéristique de AB et BA

Réduction de l'endomorphisme de multiplication à gauche

Caractérisation des hyperplans stables et transposition

Construction dyadique et non-dérivabilité

Stabilité d'un point fixe sous perturbation

Non-compacité de la boule unité

Équivalence des normes sur les polynômes

Différences finies et sommes de séries

Convergence d'une suite à radical

Suite récurrente pilotée par une série

Approximation par des polynômes à coefficients entiers

Limite d'une somme de puissances n-ièmes

Convergence de minima de fonctions convexes

Limite simple de polynômes de degré borné

Étude d'une suite de fonctions à support variable

Lien entre reste de Taylor et série exponentielle

Convergence d'une suite de fonctions et intégration

Lemme de Kronecker et sommation d'Abel

Approximation par des polynômes à coefficients entiers

Convergence uniforme d'une suite vers l'exponentielle

Lipschitzianité de la distance à une partie

Jauge de Minkowski d'un convexe symétrique

Ensemble à point d'accumulation unique

Stabilité numérique d'une suite arithmético-géométrique

Inégalité entre somme de normes et sommes partielles

Applications analytiques et arithmétiques

Étude de convergences : exemples fondamentaux

Suites de fonctions : méthodes analytiques et intégrales

Nombre de chiffres de la factorielle

Limite et régularité d'une suite de fonctions à radicaux

Convergence de polynômes à degrés bornés

Convergence de polynômes de degré borné

Théorème de Dini et approximation polynomiale

Stabilité de l'équation de Cauchy

Convergence simple et uniforme de suites de fonctions

Calcul de l'intégrale de Gauss via Wallis

Produit infini et suite de Thue-Morse

Équation matricielle $AB = \lambda BA$

Matrices de $SL_n(\mathbb{C})$ à droites stables finies