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3.1.1

Noyaux itérés (ker $(u-\lambda I)^k$)

144 exercices

Somme directe noyau et image

Théorie générale : Décomposition de Fitting

noyau image polynôme annulateur Lemme des noyaux Bézout

Caractérisations de la multiplicité géométrique

Caractérisations Théoriques Fondamentales

multiplicité polynôme minimal somme directe Lemme des noyaux Théorème du rang

Décomposition de Fitting et valuation du polynôme minimal

Théorie générale : Décomposition de Fitting

polynôme minimal valuation lemme des noyaux Théorème de Bézout Lemme des noyaux

Puissances bornées et noyaux itérés

Propriétés Asymptotiques Structurelles

puissances bornées noyau binôme de Newton Binôme de Newton Norme matricielle

Multiplicité spectrale et normes de puissances

Propriétés Asymptotiques Structurelles

norme d'algèbre polynôme minimal valeur propre Lemme des noyaux Binôme de Newton

Réduction de l'opérateur de Cesàro

Opérateurs discrets (Suites)

Cesàro spectre suites Récurrence Sommes de Cesàro

Finitude des classes de similitude

Dénombrement de classes et équations polynomiales

classe de similitude polynôme annulateur noyaux itérés Dimensions des noyaux itérés Finitude du spectre

Trigonalisation explicite de matrices

Pratique de la trigonalisation explicite

trigonalisation valeurs propres sous-espaces propres Polynôme caractéristique Noyaux itérés

Réduction d'une matrice à valeur propre triple

Pratique de la trigonalisation explicite

trigonalisation valeur propre polynôme caractéristique Déterminant Noyaux itérés

Obstruction à l'existence d'une racine carrée

Racines carrees (X^2 = A)

noyaux itérés nilpotence indice de nilpotence Lemme des noyaux Restriction d'endomorphismes

Étude de l'opérateur de moyenne de Cesàro

Applications et Espaces de fonctions

Cesàro sous-espaces stables noyaux itérés Noyaux itérés Diagonalisabilité

Réduction d'un endomorphisme à valeur propre unique

Approche concrète et calculatoire

noyau image nilpotence Théorème du rang Cayley-Hamilton

Trigonalisation d'une matrice d'ordre 4

Étude fine de la réduction

trigonalisation noyaux itérés valeur propre Polynôme caractéristique Cayley-Hamilton

Décroissance des accroissements des noyaux itérés

Théorie générale des noyaux itérés

noyaux itérés dimension endomorphisme Somme directe Restriction d'endomorphisme

Recherche de racines carrées matricielles

Racines carrees (X^2 = A)

racine carrée nilpotence commutation Polynôme caractéristique Noyaux itérés

Noyaux stationnaires et racines matricielles

Équations polynomiales (P(X) = A)

noyaux itérés racine de matrice multiplicité Lemme de stabilisation des noyaux Séries binomiales de matrices

Caractérisation des puissances n-ièmes

Équations polynomiales (P(X) = A)

puissance n-ième rang noyaux itérés Lemme des noyaux Décomposition de Fitting

Caractérisation des matrices cubes dans M3(R)

Équations polynomiales (P(X) = A)

équation matricielle cube image Décomposition en sous-espaces caractéristiques Dunford

Convergence simple de polynômes de degrés bornés

Étude de la convergence ponctuelle

polynômes Lagrange convergence simple Interpolation de Lagrange Normes

Étude locale en 1 et constante d'Euler

Étude de la convergence ponctuelle

constante d'Euler développement asymptotique comparaison intégrale Accroissements finis Comparaison série-intégrale

Étude d'une série entière de valeurs de zêta

Étude de la convergence ponctuelle

série entière Fubini interversion de sommes Théorème de Fubini Séries entières

Limites uniformes de suites de polynômes

Étude de la convergence ponctuelle

polynôme convergence uniforme intervalle non borné Critère de Cauchy Équivalence des normes

Régularité et équation de type moyenne

Calcul exact de la norme infinie

régularité série de fonctions périodicité Norme infinie Convergence normale

Convergence d'une série alternée de fonctions

Étude de la convergence ponctuelle

série alternée convergence uniforme reste Critère spécial des séries alternées Majoration du reste

Série de rationnelles et nombres harmoniques

Convergence absolue

nombres harmoniques télescopage équivalent Série télescopique Encadrement

Comportement asymptotique d'une série de fonctions

Convergence absolue

équivalent comparaison série-intégrale zêta de Riemann Interversion limite-somme Intégration

Comportement asymptotique de puissances de cosinus

Convergence absolue

puissance variable équivalent Riemann Développement limité

Convergence d'une suite à radical

Étude de la convergence ponctuelle

suite récurrente série numérique télescopage Théorème de la limite monotone Comparaison de séries

Suite récurrente pilotée par une série

Étude de la convergence ponctuelle

suite croissante série convergente accroissement Somme télescopique Critères de comparaison

Réarrangement de la série harmonique alternée

Convergence absolue

réarrangement série harmonique alternée somme de Riemann Sommation par paquets Sommes de Riemann

Comportement de n*u_n pour une série convergente

Convergence absolue

décroissance reste Césaro Critère de Cauchy Comparaison série-intégrale

Convergence d'une suite de restes pondérés

Convergence absolue

décroissance monotonie convergence Accroissements finis discrets

Moyenne de Césaro et sommation d'Abel

Convergence absolue

Abel Césaro télescopage Sommation par parties Théorème de Césaro

Majoration géométrique par blocs

Convergence absolue

produit infini somme partielle croissance Logarithme Série géométrique

Divergence sous contrainte de bijection

Convergence absolue

bijection décroissance minoration par tranches Sommation par blocs

Séries doubles exponentielles et géométriques

Étude de la convergence ponctuelle

série géométrique inégalité arithmético-géométrique série double Sommes géométriques Majorations

Sommes de logarithmes et séries de Bertrand

Étude de la convergence ponctuelle

logarithme Bertrand comparaison série-intégrale Intégration par parties Comparaison série-intégrale

Série définie par une intégrale à exposant variable

Étude de la convergence ponctuelle

Intégrale Exponentielle IPP Intégration par parties Minoration

Perturbation d'une série harmonique sur les carrés

Étude de la convergence ponctuelle

Série harmonique Carrés parfaits Sommes partielles Décomposition de somme

Équivalent de puissances dépendant de n

Étude de la convergence ponctuelle

Puissance variable Développement limité Bertrand Développement limité Forme exponentielle

Comparaisons et développements asymptotiques

Étude de la convergence ponctuelle

Riemann Bertrand Stirling Développement limité Comparaison série-intégrale

Suites itérées et sommes télescopiques

Étude de la convergence ponctuelle

Cesàro Équivalent Somme de série Méthode de l'escalier Décomposition en éléments simples

Profils de bosses et convergence uniforme

Convergence absolue

bosse glissante convergence uniforme maximum Étude de variations Développement limité

Oscillations et trigonométrie

Convergence absolue

trigonométrie oscillations compacts Majoration Développement limité

Limites de régularité et fonctions rationnelles

Convergence absolue

discontinuité rationnelle quantité conjuguée Quantité conjuguée Équivalents

Prolongement de la convergence par adhérence

Étude de la convergence ponctuelle

convergence uniforme convergence normale adhérence Critère de Cauchy uniforme Continuité

Convergence uniforme des itérées d'une fonction

Convergence absolue

itérées point fixe théorème de Dini Théorème de Dini Compacité

Convergence uniforme et fonctions équi-lipschitziennes

Étude de la convergence ponctuelle

Lipschitz convergence uniforme subdivision Inégalité triangulaire Subdivision

Convergence uniforme de suites de fonctions convexes

Étude de la convergence ponctuelle

Convexité inégalité des pentes convergence uniforme Inégalité des pentes Théorème de Heine

Étude d'une série de fonctions exponentielles

Étude de la convergence ponctuelle

Série de fonctions Convergence uniforme Continuité Convergence normale Majoration du reste

Convergence uniforme d'une suite de fonctions puissances

Étude de la convergence ponctuelle

convergence uniforme limite simple continuité Théorème de continuité Découpage epsilon-delta

Étude de convergences : exemples fondamentaux

Étude de la convergence ponctuelle

Arctan sinus convergence uniforme Développement limité Continuité

Étude de convergences : paramètres et comportements asymptotiques

Étude de la convergence ponctuelle

Paramètre alpha Produit infini Loi normale Étude de variations Produits d'Euler

Troncature et convergence uniforme

Étude de la convergence ponctuelle

troncature convergence simple convergence uniforme Supremum Comparaison

Convergence d'une moyenne de puissances de cosinus

Convergence absolue

équirépartition Weyl Cesàro Théorème de Weyl Convergence dominée

Variations de la fonction Zêta alternée

Étude de la convergence ponctuelle

Zêta alternée série alternée dérivation CSSA Théorème de dérivation

Régularisation de la valeur absolue

Étude de la convergence ponctuelle

quantité conjuguée convergence uniforme valeur absolue Quantité conjuguée Majoration uniforme

Étude d'une somme de Riemann généralisée

Étude de la convergence ponctuelle

somme de Riemann comparaison intégrale continuité de la limite Somme de Riemann Théorème des gendarmes

Approximation polynomiale monotone

Convergence absolue

Weierstrass monotonie approximation uniforme Théorème de Weierstrass Inégalité triangulaire

Somme et extrema de la série de Fourier du créneau

Étude de la convergence ponctuelle

Dirichlet Série de Fourier Somme de Riemann Théorème de Dirichlet Intégration par parties

Équivalents d'une série de fonctions logarithmiques

série de fonctions équivalent comparaison série-intégrale Comparaison série-intégrale Développement limité

Comportement asymptotique d'une série de logarithmes

Étude de la convergence ponctuelle

série de fonctions équivalent comparaison série-intégrale Comparaison série-intégrale Changement de variable

Équation fonctionnelle par séries de fonctions

Convergence absolue

équation fonctionnelle série de fonctions lipschitzienne Séries géométriques Convergence normale

Phénomène de Gibbs pour les sommes de Dirichlet

Étude de la convergence ponctuelle

Gibbs Série de Fourier Sommes de Riemann Théorème de Dirichlet Sommes trigonométriques

Convergence uniforme des séries de Dirichlet

Convergence absolue

Dirichlet Abel Secteur Transformation d'Abel Critère de Cauchy

Croissance des séries de Fourier-Dirichlet

Convergence absolue

Série de Fourier Dirichlet Majoration Comparaison série-intégrale

Étude d'une série de fonctions exponentielles

Convergence absolue

convergence uniforme convergence normale série géométrique dérivée Séries de fonctions Développement limité

Variations autour du critère de Leibniz

Étude de la convergence ponctuelle

Série alternée Variations bornées Sommation par paquets Critère de Leibniz Télescopage

Produit infini et équation fonctionnelle

Étude de la convergence ponctuelle

produit infini équation fonctionnelle continuité logarithme convergence normale

Existence d'une base de Schauder

Étude de la convergence ponctuelle

base de Schauder convergence uniforme interpolation linéaire Théorème de Heine Densité de Q

Densité par translations et dilatations

Convergence absolue

densité polynômes Weierstrass Développement de Taylor Théorème de Weierstrass

Algèbre engendrée par une fonction

Convergence absolue

Stone-Weierstrass injectivité densité Théorème de Stone-Weierstrass

Propriétés des fonctions presque périodiques de Bohr

Convergence absolue

presque périodique Bohr convergence uniforme Théorème de Weierstrass Interversion limite-limite

Polynômes de Bernstein et approximation de Weierstrass

Polynômes de Bernstein

Bernstein Weierstrass Convergence uniforme Théorème de Heine Loi Binomiale

Défaut d'interversion limite-intégrale

Méthode par majoration globale

limite simple intégrale convergence uniforme Primitives Croissances comparées

Étude d'une série de fonctions rationnelles

Méthode par majoration globale

série de fonctions convergence normale dérivation Théorème de dérivation Interversion limite-somme

Développement en série de la cotangente hyperbolique

Étude de la convergence ponctuelle

cotangente hyperbolique Zêta de Riemann fraction rationnelle Décomposition en éléments simples Séries de fonctions

Convergence d'une suite de fonctions exponentielles et trigonométriques

Étude de la convergence ponctuelle

convergence simple convergence uniforme sinus Majoration Norme infinie

Série de fonctions et calcul d'intégrale

Étude de la convergence ponctuelle

série de fonctions convergence uniforme critère spécial Critère CSSA Intégration par parties

Convergence de la suite exponentielle par les séries

Étude de la convergence ponctuelle

Binôme de Newton Interversion limite-somme Exponentielle complexe Convergence normale Théorème de la double limite

Commutateur et relation de Heisenberg

Convergence absolue

commutateur Heisenberg norme d'opérateur Récurrence Trace de matrice

Caractérisation de la complétude par densité

Convergence absolue

dense Cauchy complet Approximation par densité Suite de Cauchy

Nature d'une série logarithmique télescopique

Étude de la convergence ponctuelle

série logarithme télescopique Somme télescopique Limites

Convergence d'une série harmonique amputée

Convergence absolue

série harmonique Kempner dénombrement Série géométrique Sommation par tranches

Cas limite de la règle de Raabe-Duhamel

Convergence absolue

Raabe-Duhamel Bertrand développement asymptotique Comparaison de rapports Séries de Bertrand

Convergence de séries de fractions rationnelles

Étude de la convergence ponctuelle

fraction rationnelle série alternée convergence absolue Développement asymptotique Critère de Riemann

Sommation d'une suite double et partie entière

Convergence absolue

famille sommable partie entière sommation par paquets Sommation par tranches Décomposition en éléments simples

Convergence d'une série alternée paramétrée

Convergence absolue

série alternée développement asymptotique Riemann CSSA Développement limité

Inexistence d'une norme invariante par similitude

Convergence absolue

norme similitude matrices Matrices élémentaires Homogénéité de la norme

Sommes de Dobinski et moments de la série exponentielle

Convergence absolue

série exponentielle factorielle binôme de Newton Décomposition en base factorielle Newton

Sommation de fractions rationnelles

Étude de la convergence ponctuelle

télescopage fraction rationnelle discontinuité Décomposition en éléments simples

Écriture rationnelle des nombres à développement périodique

Étude de la convergence ponctuelle

série géométrique développement décimal rationnel Somme géométrique

Convergence de la suite de Stirling

Étude de la convergence ponctuelle

série numérique développement limité Stirling Comparaison de Riemann DL

Constante d'Euler et sommation de série rationnelle

Étude de la convergence ponctuelle

constante d'euler série rationnelle somme harmonique Développement limité Série télescopique

Divergence d'une série par comparaison logarithmique

Convergence absolue

suite décroissante série télescopique équivalent Développement limité Somme télescopique

Série liée au nombre de chiffres

Convergence absolue

nombre de chiffres logarithme série de Riemann Équivalents Comparaison

Propriétés de la fonction Zêta et de sa variante alternée

Étude de la convergence ponctuelle

Zêta Dirichlet Série alternée Critère spécial des séries alternées Sommation par blocs

Convergence d'un produit et comparaison série-intégrale

Étude de la convergence ponctuelle

série intégrale produit Développement limité Formule de Taylor

Convergence d'une série de fractions rationnelles

Étude de la convergence ponctuelle

série de fonctions convergence normale plan complexe Série de Riemann Homographie

Somme et convergence d'une série trigonométrique

Étude de la convergence ponctuelle

série de fonctions convergence uniforme série géométrique Majoration Limite

Rayon spectral et série de Neumann

Intégration sur un segment

rayon spectral norme subordonnée lemme de Fekete Lemme de Fekete Complétude

Série d'intégrales et critère de Leibniz

Étude de la convergence ponctuelle

intégrale série alternée convergence absolue CSSA Changement de variable

Identité entre séries et exponentielles

Étude de la convergence ponctuelle

série double interversion exponentielle Théorème de Fubini pour les séries Série entière de l'exponentielle

Transformation de sommes de type Lambert

Étude de la convergence ponctuelle

séries doubles interversion Lambert Théorème de Fubini Série géométrique

Convergence des itérées de la fonction sinus

Convergence absolue

itérées sinus série alternée Critère de Leibniz Développement asymptotique

Somme d'une série de fonctions rationnelles

Convergence absolue

série de fonctions produit infini dérivée logarithmique produit télescopique limite

Comparaison de séries de termes positifs

Convergence absolue

séries numériques équivalents intégrale à borne variable Équivalents classiques Théorème fondamental de l'analyse

Comportement asymptotique d'une série de fonctions

Méthode par majoration globale

série de fonctions équivalent convergence normale Théorème de régularité Comparaison série-intégrale

Série associée à une suite récurrente

Convergence absolue

suite récurrente point fixe série numérique Développement limité Règle de d'Alembert

Décroissance rapide et équivalent du reste

Étude de la convergence ponctuelle

reste équivalent dérivée logarithmique Accroissements finis Comparaison géométrique

Divergence d'une série liée à une injection de N*

Étude de la convergence ponctuelle

Critère de Cauchy Injectivité Séries numériques Sommes finies Propriété des injections

Comportement asymptotique d'une suite à rapport rationnel

Convergence absolue

série numérique équivalent Riemann Comparaison série-intégrale Développement limité

Transformée d'Euler pour les suites et séries

Convergence absolue

Euler Suites pondérées Coefficients binomiaux Découpage de somme Identités combinatoires

Série et développement asymptotique

Étude de la convergence ponctuelle

série numérique développement asymptotique semi-convergence Comparaison de Riemann Développement limité

Itération du sinus et convergence uniforme

Étude de la convergence ponctuelle

sinus itération convergence uniforme Point fixe Norme infinie

Théorème d'Arzelà-Ascoli lipschitzien

Calcul exact de la norme infinie

lipschitz procédé diagonal convergence uniforme Bolzano-Weierstrass Densité de Q

Propriétés d'une série de fractions rationnelles

Étude de la convergence ponctuelle

série de fonctions périodicité convergence normale Sommes symétriques Théorème de dérivation

Série trigonométrique à coefficients de variation bornée

Étude de la convergence ponctuelle

Abel sinus convergence uniforme Transformation d'Abel Sommation par parties

Étude d'une fonction de saut dénombrable

Étude de la convergence ponctuelle

série de fonctions convergence normale continuité Théorème de continuité des séries de fonctions Saut de discontinuité

Règle de Raabe-Duhamel et applications

Convergence absolue

Raabe-Duhamel Riemann Développement limité Comparaison de séries Développement asymptotique

Produit d'Euler et fonction de Liouville

Étude de la convergence ponctuelle

multiplicité Liouville Zêta Fonction de Riemann Séries de Dirichlet

Convergence d'une série de sommes finies

Convergence absolue

somme double encadrement Riemann Comparaison Équivalents

Sommation d'une série de fonctions exponentielles

Convergence absolue

série de fonctions convergence uniforme série alternée Critère spécial des séries alternées Convergence normale

Fonction continue nulle part dérivable

Étude de la convergence ponctuelle

série de fonctions non-dérivabilité Weierstrass Accroissements finis Périodicité

Développements en séries de Fourier classiques

Étude de la convergence ponctuelle

Fourier Dirichlet Coefficient Intégration par parties Théorème de Dirichlet

Étude d'une série de fonctions exponentielles

Étude de la convergence ponctuelle

série de fonctions convergence normale continuité Théorème de continuité Limite terme à terme

Série de fonctions rationnelles

Étude de la convergence ponctuelle

série de fonctions convergence simple convergence normale équivalents monotonie

Étude d'une suite de fonctions rationnelles

Étude de la convergence ponctuelle

convergence simple convergence uniforme extremum Étude de variations Majoration uniforme

Convergence uniforme d'une suite de fonctions logarithmiques

Étude de la convergence ponctuelle

convergence simple convergence uniforme norme infinie Dérivation Étude de variations

Convergence d'une série de fonctions à produit infini

Convergence absolue

série télescopique produit infini convergence uniforme Télescopage Logarithme

Développement de 1/z en produit de q-analogues

Convergence absolue

produit infini racine de l'unité télescopage Récurrence Série de logarithmes

Convergence d'une suite de fonctions rationnelles en logarithme

Étude de la convergence ponctuelle

suite de fonctions convergence uniforme logarithme Théorème de continuité

Étude d'une série d'exponentielles

Étude de la convergence ponctuelle

convergence normale intégration terme à terme comparaison série-intégrale Intégrale de Gauss Sommation de Lebesgue

Série de fonctions et points de non-dérivabilité

Étude de la convergence ponctuelle

série de fonctions convergence normale dérivabilité Théorème de continuité des séries Théorème de dérivation des séries

Convergence d'une série de fractions rationnelles

Méthode par majoration globale

série de fonctions convergence simple convergence uniforme Équivalents Séries de Riemann

Convergence d'une suite de fonctions trigonométriques

Convergence absolue

convergence simple convergence uniforme maximum Dérivation Interversion limite-intégrale

Convergence d'une différence somme-intégrale

Convergence absolue

somme-intégrale convergence uniforme Euler Comparaison somme-intégrale Inégalité de la moyenne

Série de fonctions et convergence dominée

Étude de la convergence ponctuelle

série de fonctions convergence dominée intégrabilité Théorème de convergence dominée Séries géométriques

Étude d'un produit et constante d'Euler

Convergence absolue

équivalent série constante d'Euler Développement asymptotique Série télescopique

Convergence d'une suite de fonctions intégrale

Convergence absolue

suite de fonctions convergence uniforme Python Intégration Suites réelles

Approximation du sinus par itération

Étude de la convergence ponctuelle

sinus triplication convergence uniforme IAF Récurrence

Étude d'une spirale discrète et continue

Étude de la convergence ponctuelle

série de fonctions spirale équivalent Comparaison série-intégrale Convergence normale

Série d'arctangentes et comparaison série-intégrale

Convergence absolue

arctangente reste comparaison série-intégrale Accroissements finis Théorème de Fubini

Convergence d'une suite récurrente et série entière associée

Convergence absolue

suite récurrente série entière équation différentielle Récurrence Série des différences