Calcul et propriétés

131 exercices

K[u]

polynôme minimal algèbre monogène théorème de Bézout Théorème de Bézout Polynôme minimal

Caractérisation et propriétés des endomorphismes cycliques

Propriétés générales des endomorphismes cycliques

endomorphisme cyclique polynôme minimal local commutant Cayley-Hamilton Polynômes d'endomorphismes

Diagonalisabilité et racines du polynôme minimal

Relations Polynomiales et Calcul Fonctionnel

polynôme annulateur polynôme minimal diagonalisabilité Polynôme minimal Raisonnement par l'absurde

Rang minimal et nombres algébriques

Matrices à coefficients dans

\mathbb{Z}

\mathbb{Q}

corps des rationnels nombre algébrique matrice compagnon Théorème du rang Polynôme minimal

Multiplicité spectrale et normes de puissances

Propriétés Asymptotiques Structurelles

norme d'algèbre polynôme minimal valeur propre Lemme des noyaux Binôme de Newton

Réduction à une matrice compagnon

Exemples concrets et basse dimension

polynôme annulateur matrice compagnon endomorphisme cyclique Polynôme minimal Vecteur cyclique

Propriétés des valeurs propres semi-simples

Stabilisation au rang 1

valeur propre semi-simple noyaux itérés supplémentaire stable Théorème du rang Lemme des noyaux

Valuation du polynôme minimal et noyaux itérés

Théorie de Fitting (Cas général)

valuation polynôme minimal noyaux itérés Lemme des noyaux Stagnation des noyaux

Puissances d'un endomorphisme à deux valeurs propres

Puissances

A^k

diagonalisation puissance de matrice polynôme minimal Polynôme annulateur Récurrence

Sous-espace stable et facteurs du polynôme minimal

Réduction et structure par blocs

polynôme minimal facteur irréductible sous-espace stable Lemme des noyaux Polynômes irréductibles de R[X]

Propriétés des endomorphismes de rang 1

Approfondissement : Endomorphismes et Similitude

rang 1 trace diagonalisation Théorème du rang Relation trace-racines

Existence de matrices annulées par un polynôme

Idéaux de polynômes et existence

polynôme annulateur matrice compagnon irréductibilité Cayley-Hamilton Matrice compagnon

Éléments propres d'une matrice à bordure de uns

Matrices à structure de bord et de rang faible

matrice à bordure rang symétrie Théorème spectral Restriction à l'image

Diagonalisation d'une matrice triangulaire par blocs

Matrices triangulaires par blocs (Avancé)

matrice par blocs diagonalisabilité polynôme annulateur Polynôme scindé à racines simples Changement de base par blocs

Commutation et nilpotence d'endomorphismes

L'algèbre sl2 et ses triplets

Commutant Trace Polynôme minimal Trace Récurrence

Racines carrées d'une matrice unipotente

Racines carrees (X^2 = A)

équation matricielle racine carrée nilpotence Commutant Polynôme minimal

Inverse polynomial et continuité

Applications Avancées et Ouvertures

inverse polynomial polynôme minimal continuité Cayley-Hamilton Polynôme minimal

Coïncidence des orbites de deux matrices inversibles

Idéaux de polynômes et existence

Polynôme annulateur GLn(C)Vecteur Polynôme minimal Stabilité

Corps d'endomorphismes et irréductibilité

Propriétés fondamentales et Arithmétique dans

K[u]

polynôme minimal irréductibilité corps Théorème de Bézout Polynôme minimal d'une restriction

Nature algébrique du commutant en dimension 2

Dimension 2 et 3 : Géométrie et Algèbre

commutant corps polynôme minimal Polynôme minimal Clôture algébrique

Réduction et équations matricielles

Matrices Diagonalisables (Théorie et Pratique)

polynôme minimal puissances de matrice commutant Division euclidienne Diagonalisation

Structure de l'algèbre engendrée par un endomorphisme

Propriétés fondamentales et Arithmétique dans

K[u]

algèbre monogène anneau réduit corps Théorème de Bézout Polynôme minimal

Morphismes d'algèbres monogènes

Propriétés fondamentales et Arithmétique dans

K[u]

morphisme algèbre polynôme minimal Polynôme minimal Idéal annulateur

Caractère monogène d'un produit d'algèbres

Isomorphismes, Décompositions et Dénombrements

algèbre monogène polynôme minimal corps infini Polynôme minimal Translation de spectre

Hypostabilité et endomorphismes cycliques

Applications et problèmes originaux

hypostable cyclique polynôme minimal Formule de Grassmann Théorème de Cayley-Hamilton

Réduction de l'endomorphisme de multiplication à gauche

Endomorphismes d'Espaces de Matrices

multiplication à gauche valeurs propres polynôme minimal Polynôme minimal Espace des endomorphismes

Existence de droites et plans stables

Le cas réel : existence et construction

plan stable polynôme minimal corps des réels Lemme des noyaux Polynôme minimal

Approximation de l'exponentielle négative

Passage à la limite sous l'intégrale (Segment)

convergence uniforme Dini exponentielle Développement limité Théorème de Dini

Défaut de convergence uniforme à l'infini

Passage à la limite sous l'intégrale (Segment)

convergence simple convergence uniforme exponentielle Étude de fonction Contre-exemple

Taux d'accroissement et convergence uniforme

Passage à la limite sous l'intégrale (Segment)

taux d'accroissement convergence uniforme Heine Théorème de Heine Inégalité de Taylor-Lagrange

Équation fonctionnelle et séries de fonctions

Passage à la limite sous l'intégrale (Segment)

équation fonctionnelle série de fonctions convergence normale Théorème de continuité Théorème de dérivation

Équivalent et équation fonctionnelle d'une suite sinus

Théorème de la double limite et commurarions de limites

suite récurrente équivalent série télescopique Développement limité Théorème du point fixe

Formule de Gauss pour la fonction Gamma

Passage à la limite sous l'intégrale (Segment)

produit infini convergence uniforme fonction gamma Série télescopique Critère de Riemann

Régularité et croissance d'une série de fonctions

Dérivation de la limite

série de fonctions convergence uniforme classe C-infini Dérivation sous le signe somme Découpage de somme

Comportement asymptotique d'une série de fonctions

Passage à la limite sous l'intégrale (Segment)

série de fonctions continuité croissance Théorème de continuité Théorème de Cesàro

Convergence uniforme et continuité jointe

Passage à la limite sous l'intégrale (Segment)

convergence uniforme continuité théorème de Heine Théorème de Heine

Série de fonctions et signal carré

Théorème de la double limite et commurarions de limites

série trigonométrique Riemann-Lebesgue convergence uniforme Lemme de Riemann-Lebesgue Règle d'Abel

Convergence uniforme et dérivée seconde bornée

Passage à la limite sous l'intégrale (Segment)

convergence uniforme Taylor-Lagrange équicontinuïté Formule de Taylor Inégalité des accroissements finis

Convergence uniforme globale de fonctions croissantes

Passage à la limite sous l'intégrale (Segment)

Dini monotonie convergence uniforme Second théorème de Dini Découpage epsilon

Réduction du théorème de Weierstrass à la fonction valeur absolue

Dérivation de la limite

Weierstrass approximation valeur absolue Théorème de Heine Changement de variable affine

Lemme de Riemann-Lebesgue périodique

Passage à la limite sous l'intégrale (Segment)

Riemann-Lebesgue périodicité densité Changement de variable Intégration par parties

Asymptotique d'une intégrale avec fonction intégrable

Passage à la limite sous l'intégrale (Segment)

convergence dominée intégrabilité asymptotique Théorème de convergence dominée Changement de variable

Étude d'une série de fonctions exponentielles

Passage à la limite sous l'intégrale (Segment)

série de fonctions convergence normale équivalent Comparaison série-intégrale Convergence normale

Propriétés d'une série logarithmique

Passage à la limite sous l'intégrale (Segment)

série de fonctions dérivabilité équivalent Dérivation terme à terme Comparaison série-intégrale

Divergence de la série de Taylor d'une fonction C-infini

Fonctions de classe C-infini

série de fonctions Taylor rayon de convergence Dérivation terme à terme Série de l'exponentielle

Existence d'une fonction nulle part analytique

Fonctions de classe C-infini

croissance des dérivées nulle part analytique construction Inégalité triangulaire Récurrence

Fonction croissante à discontinuités prescrites

Passage à la limite sous l'intégrale (Segment)

série de fonctions discontinuité croissance Convergence normale Limites latérales

Fonction convexe non dérivable sur un ensemble dénombrable

Équations Fonctionnelles

convexité dérivabilité série de fonctions Dérivées latérales Somme de fonctions convexes

Série de fractions rationnelles et comportement asymptotique

Convergence Dominée pour les suites

fraction rationnelle équivalent série harmonique Comparaison série-intégrale Convergence normale

Série alternée de fonctions rationnelles

Passage à la limite sous l'intégrale (Segment)

CSSA série alternée équivalent Critère spécial des séries alternées Relation g(x)+g(x+1)

Série alternée avec logarithmes

Passage à la limite sous l'intégrale (Segment)

logarithme série alternée télescopage CSSA Théorème de dérivation

Étude des fonctions Zêta et Êta de Dirichlet

Convergence Dominée pour les suites

Zêta de Riemann Série alternée Convergence uniforme CSSA Théorèmes de régularité

Stabilité des extrema par convergence uniforme

Passage à la limite sous l'intégrale (Segment)

maximum minimum convergence uniforme Théorème des bornes atteintes Limite uniforme

Critères d'Abel et des séries alternées uniformes

Passage à la limite sous l'intégrale (Segment)

Transformation d'Abel Série alternée Convergence uniforme Majoration du reste Sommation par parties

Produit eulérien du sinus et valeurs de Zêta

Passage à la limite sous l'intégrale (Segment)

produit eulérien sinus zeta de Riemann Dérivée logarithmique Développement limité

Limite de l'accroissement du taux de variation

Passage à la limite sous l'intégrale (Segment)

logarithme convergence dominée taux d'accroissement TCD Convexité

Série trigonométrique et logarithme complexe

Théorème de la double limite et commurarions de limites

série trigonométrique Abel logarithme complexe Critère d'Abel Séries entières

Transformée de Borel d'une série convergente

Convergence absolue

Borel Intégration terme à terme Séries entières Intégration par parties Croissances comparées

Développement en série et intégrale de l'inverse d'un carré

Intégration sur un intervalle quelconque

Gamma Convergence normale Série géométrique Changement de variable Règle de d'Alembert

Asymptotique d'intégrales de sommes géométriques

Passage à la limite sous l'intégrale (Segment)

équivalent changement de variable limite Changement de variable t=u^(1/n)Quantité conjuguée

Calcul de la somme d'une série de fractions rationnelles

Intégration sur un segment

Bêta série géométrique convergence uniforme IPP Convergence normale

Moyenne temporelle et corrélation périodique

Passage à la limite sous l'intégrale (Segment)

périodicité convergence uniforme Cauchy-Schwarz Intégration Suites de fonctions

Stabilité de la convexité par limite simple

Passage à la limite sous l'intégrale (Segment)

convexité limite simple suite de fonctions Définition de la convexité Passage à la limite

Limite de la fonction zêta alternée

Théorème de la double limite et commurarions de limites

zêta série alternée comparaison série-intégrale CSSA Intégration

Triangle d'aire maximale dans un convexe compact

Convergence Dominée pour les suites

compact convexe aire Théorème des bornes atteintes Continuité

Monotonie des fonctions injectives par connexité

Passage à la limite sous l'intégrale (Segment)

continuité injectivité monotonie Théorème des valeurs intermédiaires Connexité par arcs

Identité de Lambert et diviseurs

Passage à la limite sous l'intégrale (Segment)

diviseurs série double Fubini Comparaison de séries Série géométrique

Convergence d'une relation de récurrence linéaire

Transmission de la continuité

récurrence linéaire convergence sommation Changement de variable Découpage de somme

Identité entre séries et exponentielles

Étude de la convergence ponctuelle

série double interversion exponentielle Théorème de Fubini pour les séries Série entière de l'exponentielle

Comportement asymptotique d'intégrales multiples

Passage à la limite sous l'intégrale (Segment)

intégrale multiple théorème de Weierstrass loi des grands nombres Fubini Weierstrass

Transformation d'Abel et séries trigonométriques

Transformation d'Abel uniforme

Abel Séries trigonométriques Convergence uniforme Transformation d'Abel Sommes partielles

Somme d'une série entière à coefficients sinus

Théorème de dérivation

série entière sinus logarithme complexe Complexification Développement en série entière

Équation fonctionnelle et série télescopique

Passage à la limite sous l'intégrale (Segment)

équation fonctionnelle somme télescopique série géométrique Télescopage Série géométrique

Équivalent d'une série à paramètre

Passage à la limite sous l'intégrale (Segment)

série de fonctions équivalent comparaison série-intégrale Comparaison série-intégrale Décomposition en éléments simples

Équivalent d'une série de fonctions logarithmiques

Théorème de la double limite et commurarions de limites

série de fonctions équivalent intégration terme à terme Changement de variable Développement en série entière

Développement en série d'une intégrale exponentielle

Intégration sur un intervalle quelconque

série géométrique intégration terme à terme exponentielle Convergence monotone Intégration par parties

Convergence et limite d'une série alternée de fonctions

Convergence Dominée pour les suites

Série alternée Convergence uniforme Double limite CSSA Théorème de la double limite

Intégration d'une fraction hyperbolique par série

Intégration sur un intervalle quelconque

sinus hyperbolique série de fonctions zêta de Riemann Développement en série géométrique Théorème de convergence monotone pour les séries

Décroissance d'une suite d'intégrales généralisées

Passage à la limite sous l'intégrale (Segment)

intégrale récurrence série Intégration par parties Développement limité

Transformation d'Abel et convergence uniforme

Convergence Dominée pour les suites

Abel convergence uniforme Banach Transformation d'Abel Critère de Cauchy uniforme

Généralisation du critère d'Abel

Passage à la limite sous l'intégrale (Segment)

Abel Cauchy Espace de Banach Transformation d'Abel Critère de Cauchy

Étude d'une série télescopique de fonctions

Convergence Dominée pour les suites

série de fonctions convergence uniforme télescopage Télescopage Critère de continuité

Série de fonctions et limite de sommes

Passage à la limite sous l'intégrale (Segment)

convergence normale interversion limite-somme exponentielle Théorème d'interversion Série géométrique

Série de fonctions définie par un produit

Passage à la limite sous l'intégrale (Segment)

produit infini télescopage convergence normale Développement limité Série de Riemann

Propriétés d'une série de Bertrand fonctionnelle

Convergence Dominée pour les suites

Série de fonctions Bertrand Équivalent Critère de Bertrand Convergence normale

Existence d'un polynôme de signe imposé pour une intégrale nulle

Théorème de Weierstrass

Weierstrass Convexité Intégrale Théorème de Weierstrass Convexité

Étude d'une fonction de saut dénombrable

Étude de la convergence ponctuelle

série de fonctions convergence normale continuité Théorème de continuité des séries de fonctions Saut de discontinuité

Caractérisation de la dérivabilité en zéro

Passage à la limite sous l'intégrale (Segment)

taux d'accroissement série de fonctions télescopage Somme télescopique Série géométrique

Étude d'une série de fonctions exponentielles

Limites et équivalents

série de fonctions équivalent comparaison série-intégrale Changement de variable Convergence normale

Approximation de fonctions semi-continues

Théorème de Stone-Weierstrass

semi-continuité lipschitz inf-convolution Régularisée de Moreau-Yosida Compacité

Moyenne asymptotique et partie fractionnaire

Passage à la limite sous l'intégrale (Segment)

partie fractionnaire moyenne oscillations Changement de variable Densité des fonctions en escalier

Exponentielle comme limite de puissances

Théorème de la double limite et commurarions de limites

exponentielle convergence uniforme compact Développement limité Inégalité de Taylor-Lagrange

Comportement asymptotique d'intégrales oscillantes

Passage à la limite sous l'intégrale (Segment)

intégrale sinus limite Approximation par fonctions en escalier Changement de variable

Convergence d'une intégrale à oscillation périodique

Passage à la limite sous l'intégrale (Segment)

Riemann-Lebesgue Valeur moyenne Périodicité Changement de variable de Bioche Densité

Seconde formule de la moyenne de Bonnet

Dérivation de la limite

intégration monotonie moyenne Intégration par parties Théorème des valeurs intermédiaires

Caractérisation de la compacité par les fonctions bornées

Théorème d'Ascoli

compacité valeur d'adhérence série de fonctions Bolzano-Weierstrass Convergence normale locale

Théorème de réalisation de Borel

Fonctions Spéciales

Borel série de fonctions convergence normale Leibniz Convergence uniforme

Convergence uniforme de suites de fonctions puissances

Passage à la limite sous l'intégrale (Segment)

convergence uniforme norme infinie croissances comparées Dérivation Asymptotique

Topologie des fonctions injectives et surjectives

Passage à la limite sous l'intégrale (Segment)

convergence uniforme injectivité surjectivité Théorème des valeurs intermédiaires Compacité

Convergence de polynômes de degré borné

Détermination de la limite simple

polynômes convergence uniforme dimension finie Lagrange Isomorphisme

Somme d'une série d'intégrales logarithmiques

Convergence Dominée pour les suites

série de fonctions interversion logarithme Convergence normale Théorème d'interversion

Condition nécessaire de convergence uniforme

Passage à la limite sous l'intégrale (Segment)

convergence uniforme reste bornitude Critère spécial des séries alternées Norme infinie

Produit infini et décomposition binaire

Passage à la limite sous l'intégrale (Segment)

produit infini base 2 série géométrique Décomposition binaire Somme géométrique

Étude asymptotique d'une série de fonctions

Convergence absolue

série de fonctions équivalent limite Convergence normale Théorème de permutation

Étude asymptotique d'une série de fonctions

Convergence Dominée pour les suites

série de fonctions équivalent développement asymptotique Convergence normale Interversion limite-somme

Régularité et développement en série entière

Convergence Dominée pour les suites

série de fonctions convergence normale Zêta de Riemann Théorème de dérivation terme à terme Interversion somme-somme

Étude d'une série de fonctions rationnelles

Continuité de la somme

série de fonctions convergence normale intégration Comparaison série-intégrale Théorème de continuité

Convergence uniforme d'une suite d'intégrales

Passage à la limite sous l'intégrale (Segment)

intégrale convergence uniforme accroissements finis Inégalité des accroissements finis Majoration uniforme

Asymptotique d'intégrales de puissances

Passage à la limite sous l'intégrale (Segment)

intégrale limite puissance n-ième Changement de variable Théorème des gendarmes

Comportement asymptotique d'intégrales de fonctions puissances

Passage à la limite sous l'intégrale (Segment)

intégration convergence dominée équivalent Théorème de convergence dominée Intégration par parties

Comportement asymptotique d'une intégrale à paramètre

Passage à la limite sous l'intégrale (Segment)

intégrale limite convergence dominée Théorème de convergence dominée Changement de variable

Asymptotique d'une intégrale de puissances

Passage à la limite sous l'intégrale (Segment)

Intégrale de Wallis Convergence dominée Équivalent Théorème de convergence dominée Convexité

Équivalent d'une intégrale par récurrence

Passage à la limite sous l'intégrale (Segment)

intégrale à paramètre récurrence équivalent Intégration par parties Développement limité

Étude asymptotique d'une intégrale à paramètre

Théorème de la double limite et commurarions de limites

intégrale intégration par parties développement asymptotique IPP Théorème des gendarmes

Convergence d'une intégrale de fonction puissance

Passage à la limite sous l'intégrale (Segment)

intégrale limite convergence dominée Théorème de convergence dominée Prolongement par continuité

Limite d'une intégrale par convergence dominée

2.3.4

intégrabilité convergence dominée Riemann Théorème de convergence dominée Majoration

Propriétés d'une suite d'intégrales et sommes de séries

Passage à la limite sous l'intégrale (Segment)

intégrale à paramètre équivalent série de fonctions Intégration par parties Théorème de convergence dominée

Asymptotique d'une intégrale à paramètre

Passage à la limite sous l'intégrale (Segment)

Intégrale Convergence dominée Équivalent TCD Changement de variable

Calcul et propriétés

Endomorphismes à nombre fini de sous-espaces stables

Propriétés algébriques des endomorphismes cycliques

Décomposition de Frobenius

Propriétés des matrices compagnons

Irreductibilite et stabilite

Endomorphismes semi-simples

Caractérisations des endomorphismes cycliques

Caractérisation des matrices cycliques par surjectivité

Matrice d'équation polynomiale et trace imposée

Caractérisations de la multiplicité géométrique

Finitude des ensembles de noyaux et d'images

Décomposition de Fitting et valuation du polynôme minimal

Diagonalisabilité et composition polynomiale

Inversibilité dans l'algèbre engendrée par un endomorphisme

Caractérisation et propriétés des endomorphismes cycliques

Diagonalisabilité et racines du polynôme minimal

Rang minimal et nombres algébriques

Multiplicité spectrale et normes de puissances

Réduction à une matrice compagnon

Propriétés des valeurs propres semi-simples

Valuation du polynôme minimal et noyaux itérés

Puissances d'un endomorphisme à deux valeurs propres

Sous-espace stable et facteurs du polynôme minimal

Propriétés des endomorphismes de rang 1

Existence de matrices annulées par un polynôme

Éléments propres d'une matrice à bordure de uns

Diagonalisation d'une matrice triangulaire par blocs

Commutation et nilpotence d'endomorphismes

Racines carrées d'une matrice unipotente

Inverse polynomial et continuité

Coïncidence des orbites de deux matrices inversibles

Corps d'endomorphismes et irréductibilité

Nature algébrique du commutant en dimension 2

Réduction et équations matricielles

Structure de l'algèbre engendrée par un endomorphisme

Morphismes d'algèbres monogènes

Caractère monogène d'un produit d'algèbres

Hypostabilité et endomorphismes cycliques

Réduction de l'endomorphisme de multiplication à gauche

Existence de droites et plans stables

Approximation de l'exponentielle négative

Défaut de convergence uniforme à l'infini

Taux d'accroissement et convergence uniforme

Équation fonctionnelle et séries de fonctions

Équivalent et équation fonctionnelle d'une suite sinus

Formule de Gauss pour la fonction Gamma

Régularité et croissance d'une série de fonctions

Comportement asymptotique d'une série de fonctions

Convergence uniforme et continuité jointe

Série de fonctions et signal carré

Convergence uniforme et dérivée seconde bornée

Convergence uniforme globale de fonctions croissantes

Réduction du théorème de Weierstrass à la fonction valeur absolue

Lemme de Riemann-Lebesgue périodique

Asymptotique d'une intégrale avec fonction intégrable

Étude d'une série de fonctions exponentielles

Propriétés d'une série logarithmique

Divergence de la série de Taylor d'une fonction C-infini

Existence d'une fonction nulle part analytique

Fonction croissante à discontinuités prescrites

Fonction convexe non dérivable sur un ensemble dénombrable

Série de fractions rationnelles et comportement asymptotique

Série alternée de fonctions rationnelles

Série alternée avec logarithmes

Étude des fonctions Zêta et Êta de Dirichlet

Stabilité des extrema par convergence uniforme

Critères d'Abel et des séries alternées uniformes

Produit eulérien du sinus et valeurs de Zêta

Limite de l'accroissement du taux de variation

Série trigonométrique et logarithme complexe

Transformée de Borel d'une série convergente

Développement en série et intégrale de l'inverse d'un carré

Asymptotique d'intégrales de sommes géométriques

Calcul de la somme d'une série de fractions rationnelles

Moyenne temporelle et corrélation périodique

Stabilité de la convexité par limite simple

Limite de la fonction zêta alternée

Triangle d'aire maximale dans un convexe compact

Monotonie des fonctions injectives par connexité