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Taxonomie
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Naviguez dans les exercices par sujet mathématique
Réduction des endomorphismes
1
Éléments propres et polynôme caractéristique
150
1.1
Éléments propres (Spectre)
79
1.1.1
Définitions et propriétés générales
58
1.1.2
Recherche pratique d'éléments propres
101
1.1.3
Spectre en dimension infinie et espaces fonctionnels
39
1.2
Polynôme caractéristique
71
1.2.1
Calculs de déterminants et recherche de racines
143
1.2.2
Relations coefficients-racines (Trace, Déterminant)
157
1.2.3
Polynôme caractéristique de AB et BA
15
1.2.4
Matrices par blocs et matrices compagnons
45
2
Polynômes d'endomorphismes
93
2.1
Polynômes annulateurs
33
2.1.1
Théorème de Cayley-Hamilton
24
2.1.2
Idéaux de polynômes et existence
42
2.1.3
Lien entre racines du polynôme annulateur et spectre
74
2.2
Polynôme minimal
38
2.2.1
Calcul et propriétés
70
2.2.2
Lemme des noyaux (décomposition en sous-espaces)
54
2.3
Algèbres monogènes, étude de
K
[
u
]
K[u]
K
[
u
]
56
2.3.1
Propriétés fondamentales et Arithmétique dans
K
[
u
]
K[u]
K
[
u
]
5
2.3.2
Étude des Endomorphismes Nilpotents
2
2.3.3
Diagonalisation et Interpolation de Lagrange
5
2.3.4
Isomorphismes, Décompositions et Dénombrements
6
2.3.5
Applications Avancées et Ouvertures
4
3
Sous-espaces caractéristiques et décompositions
144
3.1
Sous-espaces caractéristiques
15
3.1.1
Noyaux itérés (ker
(
u
−
λ
I
)
k
(u-\lambda I)^k
(
u
−
λ
I
)
k
)
25
3.1.2
Décomposition en sous-espaces (lemme des noyaux généralisé)
32
3.2
Sous-espaces stables
53
3.2.1
Droites et plans stables
40
3.2.2
Cas diagonalisable vs général
85
3.3
Endomorphismes cycliques et matrices compagnons
20
3.3.1
Invariants de similitude et propriétés
45
3.4
Dunford et Jordan
19
3.4.1
Décomposition de Dunford (
D
+
N
D+N
D
+
N
)
28
3.4.2
Réduction de Jordan
16
3.5
Classes de similitude, invariants et orbites
69
3.5.1
Fondamentaux et Dimension 2/3
5
3.5.2
Corps de base et Extension
3
3.5.3
Invariants de similitude et Rangs
6
3.5.4
Dénombrement de classes et équations polynomiales
7
3.5.5
Orbites, Scalaires et Puissances
6
3.5.6
Commutants et Similitude
4
3.5.7
Symétries, Transposition et Structure
5
3.5.8
Coefficients et Blocs
3
4
Diagonalisation
201
4.1
Critères de diagonalisabilité
109
4.1.1
Arguments dimensionnels (dim
E
λ
E_\lambda
E
λ
)
132
4.1.2
Arguments polynomiaux (polynôme scindé a racines simples)
285
4.2
Pratique de la diagonalisation
55
4.2.1
Calcul explicite de
P
P
P
,
D
D
D
et
P
−
1
P^{-1}
P
−
1
80
4.2.2
Matrices a paramètres
34
4.2.3
Diagonalisabilité de
u
k
u^k
u
k
17
4.3
Familles classiques
38
4.3.1
Matrices de rang 1
47
4.3.2
Projecteurs et symetries
52
4.3.3
Autres familles
22
5
Trigonalisation
12
5.1
Condition nécessaire et suffisante : polynôme scindé
60
5.1.1
Propriétés fondamentales de stabilité
1
5.1.2
Caractérisations explicites en petite dimension
1
5.1.3
Problèmes de structure et rang
1
5.2
Méthodes de réduction
30
5.2.1
Pratique de la trigonalisation explicite
5
5.2.2
Étude fine de la réduction
1
5.2.3
Théorèmes structurels et théoriques
3
6
Nilpotence
56
6.1
Généralités
142
6.1.1
Fondamentaux et Exemples
5
6.1.2
Caractérisations par la Trace et les Polynômes
5
6.1.3
Similitude et Homothétie
3
6.1.4
Sous-espaces et Géométrie
3
6.1.5
Structure et Sous-espaces Stables
3
6.1.6
Commutateurs et Algèbre de Lie
4
6.1.7
Problèmes Avancés et Transversaux
3
6.2
Indice de nilpotence
33
6.2.1
Propriétés élémentaires et exemples
3
6.2.2
Réduction et structure de Jordan
3
6.2.3
Nilpotence et commutateurs
2
6.3
Noyaux itérés et drapeaux
16
6.3.1
Structure des endomorphismes nilpotents
1
6.3.2
Théorie générale des noyaux itérés
1
6.3.3
Problèmes et relations spécifiques
1
6.4
Lien avec la Trace
36
6.4.1
Caractérisation fondamentale : Trace et Spectre
6
6.4.2
Structure vectorielle des nilpotents
3
6.4.3
Commutateurs et Lemme de Jacobson
6
6.4.4
Applications structurelles et abstraites
4
7
Commutants, coréduction et familles d'endomorphismes
100
7.1
Commutant et bicommutant
33
7.1.1
Commutant
114
7.1.2
Lien avec les polynômes en u (Bicommutant)
17
7.2
Réduction simultanee
46
7.2.1
Codiagonalisation (familles commutantes)
48
7.2.2
Cotrigonalisation
36
7.3
Algèbres de Lie (Introduction)
21
7.3.1
Crochet de Lie
29
7.3.2
Théorèmes de Burnside et Engel
7
8
MATRICES PARTICULIERES
58
8.1
Matrices par blocs
86
8.1.1
Déterminants et calculs élémentaires
4
8.1.2
Matrices diagonales par blocs et variantes
3
8.1.3
Structures tensorielles et récursives
5
8.1.4
Matrices compagnons par blocs
2
8.1.5
Matrices triangulaires par blocs (Avancé)
6
8.1.6
Applications théoriques abstraites
2
8.2
Produit tensoriel et Matrices circulantes
23
8.2.1
Matrices Circulantes : Exemples Introductifs
2
8.2.2
Théorie Générale des Matrices Circulantes
3
8.2.3
Matrices Circulantes : Ouvertures
2
8.2.4
Introduction au Produit de Kronecker
2
8.2.5
Théorie du Produit de Kronecker
2
8.2.6
Applications Structurées et Opérateurs
3
8.3
Matrices stochastiques (Perron-Frobenius)
20
8.3.1
Manipulations algébriques élémentaires
2
8.3.2
Spectre des matrices stochastiques
3
8.3.3
Théorème de Perron-Frobenius (Théorie)
3
8.3.4
Synthèse et Géométrie
3
8.3.5
Applications et Normes
2
8.4
Matrices symetriques et antisymetriques
50
8.4.1
Études élémentaires (Dimension 2 et Complexification)
3
8.4.2
Théorèmes de structure et réduction
3
8.4.3
Problèmes abstraits et avancés
3
9
Applications de la réduction
117
9.1
Calcul
30
9.1.1
Puissances
A
k
A^k
A
k
52
9.1.2
Exponentielle
32
9.2
Suites et Analyse
20
9.2.1
Suites récurrentes linéaires
33
9.2.2
Systèmes différentiels
12
9.3
Équations
70
9.3.1
Racines carrees (X^2 = A)
40
9.3.2
Équations polynomiales (P(X) = A)
32
9.3.3
Autres équations
22
10
TOPOLOGIE DES ESPACES DE MATRICES
76
10.1
Densité et Continuite
18
10.1.1
Densité des matrices diagonalisables (C vs R)
50
10.1.2
Densité de
G
L
n
(
C
)
\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})
GL
n
(
C
)
8
10.2
Normes et Comportement asymptotique
61
10.2.1
Convergence de
A
k
A^k
A
k
(Rayon spectral)
49
10.2.2
Topologie des classes de similitude
51
11
Arithmétique, théorie des groupes et corps
84
11.1
Matrices à coefficients dans
Z
\mathbb{Z}
Z
ou
Q
\mathbb{Q}
Q
55
11.2
Théorie des groupes
50
11.2.1
Groupes matriciels finis
1
11.2.2
Morphismes et structure du groupe linéaire
3
11.2.3
Théorie des représentations et caractères
2
11.3
Réduction sur corps finis
35
11.3.1
Critères de Diagonalisabilité et Trigonalisabilité
3
11.3.2
Dénombrement du Groupe Linéaire
3
11.3.3
Existence de matrices non-réductibles
3
11.3.4
Applications et Matrices Spéciales
1
11.3.5
Dénombrement Avancé et Structure
5
11.3.6
Études de cas complexes
2
11.3.7
Théorie Structurelle
1
11.4
Sous-groupes de
G
L
n
(
K
)
\mathrm{GL}_n(K)
GL
n
(
K
)
59
11.4.1
Propriétés structurelles des sous-groupes finis
3
11.4.2
Moyenne et Projecteurs
4
11.4.3
Génération et Structure Algébrique
2
11.4.4
Torsion et Théorème de Burnside
4
11.4.5
Sous-groupes de
G
L
n
(
R
)
\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})
GL
n
(
R
)
et
G
L
n
(
Z
)
\mathrm{GL}_n(\mathbb{Z})
GL
n
(
Z
)
7
11.4.6
Topologie du Groupe Linéaire
4
11.4.7
Voisinages de l'identité et Discrétion
4
11.4.8
Études spécifiques sur
S
L
2
\mathrm{SL}_2
SL
2
et Représentations
5
Suites et Séries de Fonctions
1
Suites de Fonctions : Modes de Convergence
79
1.1
Convergence Simple (Approche ponctuelle)
30
1.1.1
Détermination de la limite simple
34
1.1.2
Absence de convergence simple
60
1.2
Convergence Uniforme (Méthodes de calcul)
32
1.2.1
Méthode du calcul direct du maximum
27
1.2.2
Méthode par majoration uniforme
22
1.2.3
Convergence uniforme sur tout segment
21
1.2.4
Convergence sur un compact
5
1.3
Théorie de la Convergence Uniforme et Contre-exemples
17
1.3.1
Critère de Cauchy uniforme
25
1.3.2
Théorème de Dini
12
1.3.3
Contre-exemples et distinctions
7
2
Suites de Fonctions : Propriétés de la Limite
237
2.1
Continuité et Limites
104
2.1.1
Transmission de la continuité
55
2.1.2
Théorème de la double limite et commurarions de limites
121
2.2
Intégration et Dérivation des Suites
122
2.2.1
Passage à la limite sous l'intégrale (Segment)
93
2.2.2
Convergence Dominée pour les suites
56
2.2.3
Dérivation de la limite
51
3
Séries de Fonctions : Convergence
632
3.1
Convergence Simple et Absolue
365
3.1.1
Étude de la convergence ponctuelle
127
3.1.2
Convergence absolue
405
3.2
Convergence Normale (Outil Principal)
201
3.2.1
Calcul exact de la norme infinie
181
3.2.2
Méthode par majoration globale
155
3.3
Convergence Uniforme (Cas non normal)
66
3.3.1
Majoration du Reste
43
3.3.2
Critère des séries alternées uniforme
21
3.3.3
Transformation d'Abel uniforme
34
3.3.4
Problèmes aux bornes
17
4
Séries de Fonctions : Propriétés de la Somme
144
4.1
Régularité de la Somme
71
4.1.1
Continuité de la somme
44
4.1.2
Limites et équivalents
65
4.2
Intégration Terme à Terme
54
4.2.1
Intégration sur un segment
43
4.2.2
Intégration sur un intervalle quelconque
21
4.3
Dérivation Terme à Terme
19
4.3.1
Théorème de dérivation
19
4.3.2
Fonctions de classe C-infini
9
5
Approximation et Théorie Avancée
94
5.1
Approximation Polynomiale
42
5.1.1
Théorème de Weierstrass
42
5.1.2
Polynômes de Bernstein
13
5.2
Théorèmes de Structure
30
5.2.1
Théorème de Stone-Weierstrass
14
5.2.2
Théorème d'Ascoli
22
5.3
Problèmes Transversaux
22
5.3.1
Équations Fonctionnelles
14
5.3.2
Fonctions Spéciales
9